XX届高考数学第一轮不等式专项复习教
案
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件www.daodoc.com 第六章不等式
●网络体系总览
●考点目标定位
.理解不等式的性质及应用.
2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.
3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.
4.掌握不等式的解法.
5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
●复习方略指南
本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.
借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.
本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意：
.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.
2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.
3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.
4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.
5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.
6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.
7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.
6.1不等式的性质
●知识梳理
.比较准则：a－b＞0a＞b；
a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.
2.基本性质：（1）a＞bb＜a.
（2）a＞b，b＞ca＞c.
（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.
（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.
（5）a＞b＞0
＞（n∈N，n＞1）；a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.
3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a＞b，ab＞0
＜，不能弱化条件得a＞b
＜，也不能强化条件得a＞b＞0
＜.
4.要正确处理带等号的情况.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c.
5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.
6.性质（5）中的指数n可以推广到任意正数的情形.
特别提示
不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“”型.要注意二者的区别.
●点击双基
.若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是
A.＞
B.2a＞2b
c.|a|＞|b|
D.（）a＞（）b
解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a•＜b•，即＞成立；
由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.
又（）x是减函数，所以（）a＞（）b成立.故不成立的是B.
答案：B
2.（XX年春季北京，7）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
A.0
B.1
c.2
D.3
解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出－＞0.
bc－ad＞0，两端同除以ab，得－＞0.
同样由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.
ab＞0.
答案：D
3.设α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范围是
A.（0，）
B.（－，）
c.（0，π）
D.（－，π）
解析：由题设得0＜2α＜π，0≤≤.∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.
答案：D
4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，的由大到小的顺序是____________.
解析：特殊值法即可
答案：＞＞＞
5.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________.
解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.
c=5－2=－＞0.b－c=3－7=－＜0.
∴c＞b＞a.
答案：c＞b＞a
●典例剖析
【例1】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.
剖析：∵a+b，a－b的范围已知，
∴要求2a+3b的取值范围，只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.
可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.
解：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴解得
∴－＜（a+b）＜，－2＜－（a－b）＜－1.
∴－＜（a+b）－（a－b）＜，即－＜2a+3b＜.
评述：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3，
①
2＜a－b＜4.
②
①+②得1＜2a＜7.
③
由②得－4＜b－a＜－2.
④
①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.
⑤
③+⑤得－＜2a+3b＜.
思考讨论
.评述中解法错在何处?
2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题：
已知函数f（x）=ax2－c，满足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值.
答案：20－1
【例2】（XX年福建，3）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则
A.“p或q”为假
B.“p且q”为真
c.p真q假
D.p假q真
剖析：只需弄清命题p、q的真假即可.
解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，
而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假.
又函数y=的定义域为|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.
∴x≤－1或x≥3.∴q为真.
答案：D
【例3】比较1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.
剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.
解：（1+logx3）－2logx2=logx.
当或即0＜x＜1或x＞时，有logx＞0，1+logx3＞2logx2.
当①或②时，logx＜0.
解①得无解，解②得1＜x＜，即当1＜x＜时，有logx＜0，1+logx3＜2logx2.
当x=1，即x=时，有logx=0.∴1+logx3=2logx2.
综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2；
当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2；
当x=时，1+logx3=2logx2.
评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.
深化拓展
函数f（x）=x2+（b－1）x+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.当t＜x1时，比较t2+bt+c与x1的大小.
提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），
∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.
把t2+bt+c与x1作差即可.
答案：t2+bt+c＞x1.
●闯关训练
夯实基础
.（XX年辽宁，2）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：
①loga（1+a）＜loga（1+）；②loga（1+a）＞loga（1+）；③a1+a＜a1；④a1+a＞a.其中成立的是
A.①③
B.①④
c.②③
D.②④
解析：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+.∴loga（1+a）＞loga（1+）.
又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.故②与④成立.
答案：D
2.若p=a+（a＞2），q=2，则
A.p＞q
B.p＜q
c.p≥q
D.p≤q
解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.
答案：A
3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，c=，D=则A、B、c、D按从小到大的顺序排列起来是____________.
解析：取特殊值a=－，计算可得A=，B=，c=，D=.
∴D＜B＜A＜c.
答案：D＜B＜A＜c
4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.
解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.
答案：（－3，3）
5.已知a＞2，b＞2，试比较a+b与ab的大小.
解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，
又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.
∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.
6.设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，求证：A≥B.
证明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x）
=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）.
由x∈R+，x－n＞0，得
当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；
当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.
培养能力
7.设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.
解：∵0＜x＜1，∴①当3a＞1，即a＞时，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|
=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）.
∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.
②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］
=3log3a（1－x2）＞0.
综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.
8.设a1≈，令a2=1+.
（1）证明介于a
1、a2之间；
（2）求a
1、a2中哪一个更接近于；
（3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.
（1）证明：（－a1）（－a2）=（－a1）•（－1－）=＜0.
∴介于a
1、a2之间.
（2）解：|－a2|=|－1－|=||
=|－a1|＜|－a1|.
∴a2比a1更接近于.
（3）解：令a3=1+，则a3比a2更接近于.
由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.
探究创新
9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小.
解：设f（x）=（1+x）n－（1+nx），则（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.
由（x）=0得x=0.
当x∈（－1，0）时，（x）＜0，f（x）在（－1，0）上递减.
当x∈（0，+∞）时，（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增.
∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0.
∴（1+x）n≥1+nx.
评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.
●思悟小结
.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.
2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.
3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.
4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.
●教师下载中心
教学点睛
.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.
2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd.
3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.
拓展题例
【例1】已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.
（1）比较m+n与0的大小；
（2）比较f（）与f（）的大小.
剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.
解：（1）∵f（m）=f（n），∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.
∴log22（m+1）=log22（n+1）.
∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，
log2（m+1）（n+1）•log2=0.
∵m＜n，∴≠1.∴log2（m+1）（n+1）=0.
∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.
当m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）时，
由函数y=f（x）的单调性知x∈（－1，0］时，f（x）为减函数，x∈［0，+∞）时，f（x）为增函数，f（m）≠f（n）.
∴－1＜m＜0，n＞0.∴m•n＜0.
∴m+n=－mn＞0.
（2）f（）=|log2|=－log2=log2，
f（）=|log2|=log2.
－==－＞0.
∴f（）＞f（）.
【例2】某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？
解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2.一张全票价格为a元，
那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.
∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.
∴当x＞1.25时，y1＜y2；
当x＜1.25时，y1＞y2.又因x为正整数，
所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社；
当x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.
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