《 随机过程 》课程教学大纲
Stochastic Proce 课程代码： 课程性质：专业基础理论课/必修 适用专业：信息计算、统计 开课学期：5 总学时数：56
总学分数：3.5 编写年月： 2007.5 修订年月：2007.7 执 笔：涂钰青
一、课程的性质和目的
本课程属于随机数学系列课程的组成部分。随机数学系列课程是非数学类研究生数学公共基础课程之一。随机过程是随机数学的一个高级组成部分，也是应用数学的基本研究对象之一，它研究随机现象的数学理论和方法。 在自然科学、工程技术和经济金融领域有广泛应用，学会求解随机数学问题，是众多领域的研究生的最基本的数学素养之一。通过该门课程的学习，要求学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用于解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。提高自己在建立随机数学模型、分析和解决问题方面的水平和能力。
二、课程教学内容及学时分配
本课程作为随机数学系列课程的组成部分，其主干内容包括随机过程的基本理论、思想和方法，教学内容分为五部分：随机过程引论、Poion过程、Markov过程、平稳过程和Brown运动，以下对这五部分教学内容做出详细介绍。
第一章 随机过程引论(6学时)
本章内容：随机过程基本概念和例子
有限维分布和数字特征
平稳过程和独立增量过程
条件期望
矩母函数及生成函数
随机变量序列的收敛性
本章要求
1．了解参数集的定义, 理解随机过程的基本概念和例子；
2．了解有限维分布的概念，掌握有限维分布的计算及其数字特征； 3．理解严平稳和宽平稳的基本定义，掌握平稳独立增量过程的基本定义； 4．理解条件期望的概念, 熟练掌握条件期望的性质和计算；
5．理解矩母函数和生成函数的定义, 掌握用矩母函数来计算随机变量的某些数字特征； 6．了解随机变量序列的收敛性定义，理解均方收敛的定义。 第二章 Poion过程(10学时) 本章内容：Poion过程
与Poion过程相联系的若干分布
非齐次Poion过程
复合Poion过程
标值Poion
过程
空间Poion过程
更新过程
本章要求
1．理解Poion过程的基本定义，掌握满足Poion过程的4个条件；
2．了解Poion过程样本路径的阶梯函数服从指数分布，事件到达时间服从分布，理解等待时间的联合密度的计算公式；
3．理解非齐次Poion过程的基本定义，掌握非齐次Poion过程满足的条件； 4．了解复合Poion过程的基本概念； 5．了解标值Poion过程的基本概念； 6．了解空间Poion过程的基本定义；
7．理解更新过程的基本定义，掌握更新过程的分布。 第三章 Markov过程(14学时) 本章内容：Markov链的定义和例子
互达性和周期性
常返与瞬过
Markov链的极限定理与平稳分布
分支过程
连续时间Markov链
纯生过程
生灭过程
Kolmogorov向后向前微分方程
本章要求
1．了解Markov链的基本定义和一步转移概率的定义，熟练掌握转移概率满足条件和计算； 2．理解可达、互达与周期的定义，理解非周期不可约的Markov链性质，掌握互达性的等 价关系、互达的周期和周期的基本性质；
3．理解常返和顺过的基本定义，理解零常返的概念，掌握常返的充要条件；
4．理解Markov链的基本极限定理，理解Markov链的平稳分布，掌握遍历的不可约Markov链及其极限分布之间关系的重要定理；
5．了解分支过程的基本概念，理解分支过程中群体消亡与生长到无穷的重要定理；
6．理解连续时间Markov链的基本定义及其转移概率，掌握Markov过程转移概率满足的条件； 7．了解纯生过程的基本概念，了解Yule过程； 8．了解生灭过程的基本概念和满足条件；
9．理解Kolmogorov向后微分方程和向前微分方程的表达式，理解Markov过程的性质。第四章平稳过程(10学时)
本章内容：平稳过程的定义和例子
遍历性定理
平稳过程的协方差函数
几个常见随机信号的协方差函数
功率谱密度
一般预报理论
平稳序列的预报
本章要求
1．了解周期平稳过程的含义，理解平稳过程的基本定义、严平稳和宽平稳随机过程、高斯过程和滑动平均序列；
2．了解遍历性的基本概念，理解均值遍历和协方差函数遍历，掌握均值遍历性定理和协方程函数遍历性定理；
3．理解协方差函数的基本性质；
4．了解振幅调制波、频率调制波和平方检波；
5．了解确定性时间函数的能量、能谱密度、功率谱的基本概念，理解平稳过程功率谱的概念，理解Wiener-Khintchine公式；
6．了解最小均方误差预报，理解最佳预报的基本含义；
7．了解平稳序列的预报的基本概念，理解自回归模型的线性最佳预报和滑动平均模型的预报。 第五章 Brown运动(14学时) 本章内容：Brown运动的定义
Brown运动的性质
随机积分
随机微分
关于Brown运动的积分
常系数线性随机微分方程
n阶常系数线性随机微分方程
Ito微分公式
一般随机微分方程简介
Brown运动的其他一些应用
本章要求
1．了解Brown运动的物理含义，理解Brown运动的基本定义； 2．了解Brown桥过程的含义，理解Brown运动的基本性质；
3．了解随机积分、随机微分的基本定义，理解Brown运动的积分及其计算；
4．了解随机微分方程引入的物理背景，理解一般常系数线性随机微分方程和n阶常系数线性随机微分方程； 5．了解Ito微分公式的金融背景，理解Ito微分公式；
6．了解扩散方程，理解Black-Scholes公式及其在金融中的应用； 7．了解Donsker定理、反正弦律和Brown桥在经验分布函数中的应用。
三、课程教学的基本要求
随机过程是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻。是一门应用性很强的学科，教学上注意引导学生从传统的确定性思维模式进入随机性思维模式，使学生掌握处理在工程、经济管理、生命科学、人文社科以及科学研究中出现的随机问题的数学方法，强调注重理论联系实际的教学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力，通过对本课程的学习，学生应熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。
课堂教学采用和现代化的教学手段结合的形式，利用多媒体教学手段效率高的特点，结合传统板书的讲授形式。
（一）课堂讲授
由于本课程有其独特的数学概念和方法，并大量向各学科渗透并与之结合成不少边缘学科，其教学方式应注重启发式、引导式，课堂上应注意经常列举概率在各领域成功应用的实例，来联系已学过课程的有关概念、理论和方法，使同学加深对本课程的基本概念、基本理论和基本方法的理解。
（二）习题课
同时配合理论教学需要，习题课以典型例题分析为主，并适当安排开阔思路及综合性的练习及讨论，使同学通
过做题既加深对课堂讲授的内容的理解，又增强运用理论知识建立数学模型、解决实际问题的能力。
（三）课外作业
课外作业的内容选择基于对基本理论的理解和巩固，培养综合计算和分析、判断能力以及计算能力。习题以计算性小题为主，平均每学时3~6道题。
（四）考试
考试采用闭卷的形式，题型包括基本概念，基本理论的选择题，真空题题型和分析计算题。 总评成绩：课外作业，平时测验，实验占30%；期末闭卷考试占70%
四、本课程与其它课程的联系与分工
先修课程：数学分析
高等代数
概率论、数理统计等 后续课程：时间序列
统计的预测与决策等
五、建议教材及教学参考书
[1] 方兆本、缪柏其编著，《随机过程》（第二版），科学出版社，2004 [2] 盛骤等编，《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社 [3] 《概率论》第三册——随机过程，复旦大学，人民教育出版社，1981 [4] 钱敏平，龚光鲁，《应用随机过程》，北京大学出版社，1998 [5] S.M.Ro,《Stochastic Procees》, John Wiley & Sons
