奥数之鸡兔同笼问题（交换问题） 一．讲解
1.鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡，兔各有多少只？ 用方程解
2.鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中鸡兔各有多少只？
分析 题目中给出了鸡、兔共45只。如果假设这45只全都是兔子，那么就应该有180只脚。而题目只告诉我们有146只脚，我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。为什么呢？因为一只鸡是两只脚，而我们把它当成4只脚算了。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少2之脚，那么，34只脚里包含多少个2只脚，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然34÷2＝17（只）。所以鸡有17只，兔子有28只。当然，我们也可以把45只都假设成是鸡，把以上问题反过来考虑。
解法一 假设全是兔子。
（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）——鸡 45－17＝28（只）——兔 解法二 假设全是鸡。
（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）——兔 45－28＝17（只）——鸡 答：鸡有17只，兔子有28只。
解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、“转换法”、“置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算，直到求出结果。 概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是：
鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）
兔数＝鸡兔总数－鸡数 二．随堂练习
1．盒子里有大、小两种钢珠共10个，共重28克，已知大钢珠每个4克，小钢珠每个2克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？
分析 假设全部都是大钢珠，则共重：10×4＝40（克）； 比原来的克数重：40-28＝12（克）；
小钢珠的个数是：12÷（4-2）＝6（个） 大钢珠的个数是：10-6＝4（个）
同样，也可以假设全部都是小钢珠。算法一样。 解法一 假设全是大钢珠。
（10×4-28）÷（4-2）＝6（个）——小钢珠 10－6＝4（个）——大钢珠
2．一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？
分析 先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是2000分，比原来的总值多120分。而多的120分，是把10分一张的看作是20分的一张的，每张多算10分。因此可以先求出10分一张的邮票有多少张。 解 10分一张的邮票的张数有：
（2000－1880）÷（20－10）＝12（张） 20分一张的邮票张数有： 100－12＝88（张）
答：10分一张的邮票有12张，20分一张的邮票有88张。 3．买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花17元，问两种笔每支各多少元？
分析 根据“买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱”，可知“买1支钢笔的价钱等于买4支圆珠笔的价钱”，买3支钢笔的价钱可以买（4×3）支圆珠笔。这样，我们就可以将买钢笔的支数转换为买圆珠笔的支数了。从而顺利地求出每支圆珠笔的价钱。 解 一支圆珠笔的价钱：
5＋（8÷2）×3＝17（支） 17÷17＝1（元） 一支钢笔的价钱： 1×8÷2＝4（元）
答：一支钢笔4元，一支圆珠笔1元。
4． 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的 蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）. 因此就知道6条腿的小虫共 18-5=13（只）. 也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）. 因此蜻蜓数是13-6=7（只）. 答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.三．课堂习题
1.龟鹤共有100个头，350只脚.龟、鹤各多少只？
2.学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活 动.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？
3.学校买来3个排球和2个足球，共花去111元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球和每个足球各多少元？
4.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多.那么2元、5元、10元各有多少张？
