线段的垂直平分线和角平分线的性质
1线段的垂直平分线（也叫中垂线）：
线段垂直平分线的性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等！ 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上！
三角形三边的垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等！ 2角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等！
角平分线的逆定理：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角平分线上！
三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！
一、填空题
1．三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________．
2．到线段两端距离相等的点在这条线段的_________．
3．已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________．
4．底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上．
5．如图，直线 l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_________的交点．
6．在△ABC中，AB=AC=6 cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10 cm，则BC=______ cm．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度．
二、选择题
8．下列命题中正确的命题有_________．[]
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个B．2个C．3个D．4个
9．下列作图语句正确的是____
A．过点P作线段AB的中垂线
B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC
C．过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b
D．过点P作直线AB的垂线
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，则图中等于60°的角共有_________．[]
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于_________． A．37.5°B．67.5°C．37.5°或67.5°D．无法确定
12.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()A．1处B.2处C.3处D.4处
13如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC=()A.6B.8C.5D.10 14.下列说法正确的是()
A.每个命题都有逆命题B.直角都是邻补C.若1/a=1/b则a=b.D.真命题的逆命题是真命题.三、解答题
12．已知如图，在△ABC中，AB
=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC．
13．在△ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，若△BCD的周长为m，求证：BC=m－a．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N
求证：CM=2BM
15如图：△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE
AB
,DFAC,垂足分别为E、F。.求证：DE=DF
．
16如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。
17：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD，垂足为E.BF∥AC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF.18在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，你能求出这个等腰三角形的底角的大小吗？（利用分类思想解题）
19如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，若BC=12cm，求△DBC的周长！
20，等腰三角形ABC中，AB=AC=20cm，DE垂直平分AB，若△DBC的周长为35，求BC的长
21如图，三角形ABC中，DE垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长为13cm，AC=6cm，则△ABC的周长为多少？
22，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，求△DEB的周长。
23.已知，如图，O是⊿ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于
E
，若BC = 10 cm，求⊿ODE的周长；
C
24.已知，如图⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG
相等吗？为什么？
D
25.已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE＝CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．求证：BP＝2PQ.
数学思想方法专题辅导： （1） 分类讨论：
例4.若等腰三角形腰上的高线等于腰长的一半，求其顶角的大小。（注：等腰三角形有三种）
（2） 转化思想：
对应练习：如图，在三角形ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C,求证：AB+BD=AC。
