初二数学《证明举例》
课题：22.4证明举例（4）
一、教案设计思考与亮点
教案设计思考：本节内容为证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，教案的设计力求通过师生生动活泼的问题研究，不生搬硬套固定的解题模式，让学生亲身经历问题的解决与创设过程。教学中，随着问题的提出、分析和解决，构建积极进取的学习氛围，整个一堂课，始终是在师生的默契配合下进行，师生思维协调同步，处于“共鸣”状态，从而大大提高了课堂教学质效。
教案设计亮点：
1、教学过程中，设计了开放性问题，既可以消除学生“模仿例题”的习惯，又可以克服学生被动学习的弊端，有利于培养学生个性，发挥每个学生的聪明才智，更好地培养他们的思维品质。
2、教学过程中，设计了对例题的简单变式训练，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。
二、教学目标：
1、知识目标：（1）尝试命题教学，学生掌握文字命题的证明步骤。
（2）会用二次三角形全等证明几何问题。
2、能力目标：（1）了解猜想证明与反驳、优化的数学思想方法。
（2）经历了命题的证明过程，学生逐步学会分别从题设和结论
出发，寻求论证思路的综合分析方法。
3、情感目标：注重对学生思维品质的培养，鼓励学生进行有效的合作学习。
三、教学重、难点：重点：用二次三角形全等进行几何证明。
难点：举出反例说明一个命题是假命题。
四、教学过程：
今天这一节课，我们继续来学习几何证明。（写课题）
一、文字命题证明
请同学们看这样一道例题：
例7：求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
（一）提问：
1、文字命题的证明有哪些步骤？
2、这个命题的题设与结论分别是什么？
（二）学生动手操作：
完成画图，写已知和求证。
（学生完成，教师巡视，并抽一份点评，尽量让学生自己发现问题并
解决和完善） AA’
’
DD’
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’,BC= B’C’,AD、A’D’分别是
BC和B’C’边上的中线，AD＝A’D’。
求证：△ABC≌△A’B’C’
[归纳小结]
对于文字命题，我们先要读懂题意，正确理解其中的内涵，再着手
解题。
（三）讨论与分析：
我们如何来证明△ABC≌△A’B’C’，用什么方法？同学投入讨论。
（学生思考并讨论，互相启发，自我教育，然后小组选代表汇报解题思路。） 追问学生：
1、你怎么想到证∠B＝∠B’？
2、如何证得BD’=B’D’？
你们能自己完成这道题的证明了吗？
（四）独立书写证明过程：
证明：∵AD、A’D’分别是BC和B’C’边上的中线（已知）
∴BD=
1212BC，B’C’＝B’C’ （三角形中线定义）
又∵BC= B’C’ （已知）
∴BD= B’D’ （等式性质）
在△ABC和△A’B’C’中
’D’ （已知）
’B’ （已知）
AD＝A’D’ （已知）
∴△ABC≌△A’B’C’ （S • S • S）
∴∠B＝∠B’（全等三角形对应角相等）
在△ABC和△A’B’C’中
’B’ （已知）
∠B＝∠B’（已证）
BC= B’C’ （已知）
∴△ABC≌△A’B’C’ （S • A • S）
（可能还有学生通过证AC= A’C’，从而得到△ABC≌△A’B’C’。此时教
师均给予肯定，然后指出在具体解决问题的过程中，要善于选择简捷的方法，培养学生优选的数学思想。）
（五）[归纳小结]
在这个命题的证明过程中，有两次证明三角形全等，其中第一次证
明所得的两角相等，成为第二次证明三角形全等的条件，这种将上一步推理所得的结论作为下一步推理条件的情况，在证明过程中常常会遇到。
二、变式训练
（一）完成了上述命题的证明：若将其中“一边上的中线”改成“一边上的高”，
命题是否成立？
（学生独立思考，并请一位同学上黑板画图）
估计学生回答此命题仍成立，请学生说明理由。
老师问还有没有其它意见？
若学生没有意见，教师进行反驳，将学生所画的图作如下改变：
’（通过老师画图操作，学生观察分析，从而获得直观的认识）然后提问：
1、观察△ABC≌△A’B’C’中条件是否符合题意？
2、此时，△ABC≌△A’B’C’吗？为什么？
3、老师是用什么方法说明这是个假命题的？
（二）思考题：（让学有余力的同学进行再思考）
1、修正上述命题，使之成为真命题。
2、若改变“一边上中线”为“一角平分线”，其它条件作怎样变化，命题仍
成立，留作同学课外思考。
[归纳小结]
由上可见，我们在思考问题时既要积极大胆，又要注意思维的严密
性，不断优化我们的思维方式。
三、巩固练习：
如图：已知：点D、E分别在AB、AC上，BE和
相交于O点，且DB=EC，
要证明OB=OC，还需要增加什么条件？
BC
（一）放手发动学生积极参与讨论，大胆思维，勇于探索。
（二）鼓励学生敢于发表见解，善于发表见解。
（三）学生提出的问题，还是由学生自己来评判是否正确。
（通过开放性练习，让学生探究尝试，调动学生学习的积极性，培养
学生发散性思维和逆向性思维的能力。）
四、课堂小结：
（先由学生小结，然后老师作点评和补充。）
这节课我们学到了些什么？
1、文字命题证明步骤。
2、二次三角形全等证明有关问题。
3、证明假命题的方法——举反例。
4、良好思维品质的培养。
五、作业布置：
1、课本练习及练习册练习
2、有兴趣的同学继续考虑：
（1）有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等吗？
（2）类似的角平分线、高有没有这样的性质呢？
五、教案说明
课堂教学是有效地开展师生双边活动的主阵地，在教师的主导作用下，广泛地让学生参与，积极思考，亲自实践，培养学生的自我意识、竞争意识和创新意识，发展学生的创造性思维，这是素质教育的要求之一。所以，我在教学过程中，让学生充分的动手、动脑，自由的讨论，在此基础上进行分析与研究，以激发学生学习的主动性，同时通过变式训练及开放性练习，不断开发学生的潜能，注重对学生思维品质的培养，从而提高分析问题，解决问题的能力。
本节内容为22.4证明举例的第四课时，用二次三角形全等来证明有关问题，为了分散难点，先复习了命题的证明步骤，再安排学生根据题意画图并写已知与求证，然后让学生在思考讨论的基础上分析解题思路，突出分析与综合的思想方法，最后独立写证明过程。整个例题基本上是由学生解决的，老师在其中作适当的分析、点评，从而培养学生对问题的观察、比较分析及综合演绎的能力。
由对例题的简单变换，引导学生进行猜想与验证，同时引导学生修正猜想。其中渗透猜想与反驳的数学思想，注重对学生思维品质的培养。之后又进一步提出问题，让学有余力的学生课外有深入的思考余地。这样的处理，使例7与练习第一题成为一个整体，而练习2的思维方式与例7相同，作为课后作业是对知识
进行巩固。
最后一道题则是提高要求，少给一个条件，进行开放性思维训练、要学生通过讨论，大胆探索，提出所增加的条件，再由学生来判断其正确性。这样学生的积极性得到充分的调动，更增添学生学习数学的兴趣，从而培养学生发散思维与逆向思维的能力。本堂课小结基本上由学生完成，使学生明白通过努力，收获还是很多的，同时也培养了学生对知识的概括归纳能力。
六、教学反思
综观本节课的课堂教学，我认为教学其实施过程比较顺利，并能有效地开展教学双边活动。其中学生始终是课堂教学的主人，在教师的调动下，学生积极参与课堂教学活动，学习的主动性与积极性得到充分的发挥。
在教学中，凡是能让学生自己去获取知识的内容，我都给学生提供机会，大胆地放，如例题教学中，命题证明要先根据题意画图，写已知、求证、再进行证明，我就放手让学生操作，然后分析解题思路让学生讲，疑点让学生议，错如让学生剖析，最后加以修正。这样，使新知识易掌握，错误易暴露，也利于及时纠正反馈，同时，对发展学生的逻辑思维能力是十分有利的，从而使例题教学显得充实、有效。
把例题简单变式后，提出问题“此时命题还是否成立？”其实这是老师有意设计的一个问题，我先让学生猜想认可，学生均自以为判断是正确的。然后教师平等地参与学生一起也发表见解，通过老师实际画图，学生观察分析，直观地认识到结论不成立，再来分析原因，从而引起学生的重视与反思。这样的反例反驳，学生不仅错明确误之处，而且更明确用举反例证明假命题的方法，从而得出与原来不同的结论。这样使学生在今后解题过程中，不仅要敢于探索，大胆思维，同时也要注意思维的严密性与批判性，从而培养良好的思维品质，不断优化思维方式。
巩固练习是属于“从不变的结论来探索使结论成立的已知条件”的编题，其题型结构是：
条件条件条件结论
条件（不变）
条件条件（学生探索）
缺条件，当然要设定，而且有多种可能性，这样的开放性问题要求学生从条
件方面进行思维和纵向发散，而这种思维的发散需要先进行广泛的逆向联想，再进行正向的验证，颇具挑战性，很容易激起学生“跃跃欲试”的情感和对数学知识的浓厚兴趣，从而打破学生的思维定势，开阔思维。在整个教学过程中，由于教师的鼓励，适时的引导，使学生敢于创新，大胆创造，特别是增加了“BE=DC”这个条件，它的证明需添设辅助线，此时由于学生的思维始终处于兴奋状态，就很自然地想到了解决的办法，进而提高了学生分析问题、解决问题地能力，从中得到了“以思维的逆向性和变通性”为主的思维转换能力的培养。
从当堂学生的各种反馈及课后的作业来看，本节课完成了教学任务，达到了教学目的与要求，特别注重了思维力度与品质的培养，但在教学过程中，对某些问题的问法设计上还有待改进。
