上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
数学试卷
（满分120分，考试时间120分钟）
考生注意：除第
一、二大题外其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤．
一．填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）
1
1．计算：22＝__________．
无意义，那么x＝__________．
2．如果分式x3x
23．在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威1”的计算机运算速度为每秒384 000 000 000次，这个速度用科学记数法表示为每秒___________次．
4．方程2x1＝x的根是__________．
5．抛物线y＝x－6x＋3的顶点坐标是 __________．
6．如果f（x）＝kx，f（2）＝－4，那么k＝__________．
7．在方程x＋2221x3x2＝3x－4中，如果设y＝x－3x，那么原方程可化为关于y的整
2式方程是__________．
8．某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断5月份的总营业额约为5×31＝155（万元）根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答：__________．
9．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝__________．
10．在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为a，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为__________米，（用含a的三角比表示）．
11．在△ABC中，如果AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是__________cm．
12．两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为__________．
13．在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于__________度．
14．已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条可以是__________．
二、多项选择题（本大题4题，每题3分，满分12分）
［每题列出的四个答案中，至少有一个是正确的，把所有正确答案的代号填入括号内，错选或不选得0分，否则每漏选一个扣1分，直至扣完为止］
15．在下列各数中，是无理数的是 （
）
（A）π；
（B）
227；
（C）9；
（D）4．
16．在下列各组根式中，是同类二次根式的是 （
）
1
2（A）2和12；
（B）2和；
3（C）4ab和ab；
（D）a1和a1．
17．如果两个半径不相等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能是 （
）
（A）1条；
（B）2条；
（C）3条；
（D）4条
18．下列命题中，正确的是 （
）
（A）正多边形都是轴对称图形；
（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；
（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；
（D）边数大于3的正多边形的对角线长相等．
三、（大小题共4题，每题7分，满分28分） x2x2x12x62
219．计算：．
x1xx6x92
3x15x1,
20．解不等式组：465xx6.33①②
21．如图1，已知四边形ABCD中，BC＝CD＝DB，∠ADB＝90°，cos∠ABD＝求S△ABD︰S△BCD．
45，
图1
22．某校在六年级和九年级男生中分别随机抽取20名男生测量他们的身高，绘制的频数分布直方图如图2所示，其中两条点划线上端的数值分别是每个年级被抽20名男生身高的平均数，该根据该图提供的信息填空：
图2
（1）六年级被抽取的20名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米；
九年级被抽取的20名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米．
（2）估计这所学校九年级男生的平均身高比六年级男生的平均身高高__________厘米．
（3）估计这所学校
六、九两个年级全体男生中，身高不低于153厘米且低于163厘米的男生所占的百分比是__________．
四、（本大题共4题，每题10分，满40分）
23．已知：二次函数y＝x－2（m－1）x＋m－2m－3，其中m为实数．
2
2（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）．B（x2，0），且x
1、x2的倒数和为23，求这个二次函数的解析式．
24．已知：如图3，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M、N．
图3
（1）求证：MO＝NO；
（2）设∠M＝30°，求证：NM＝4CD．
25．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内设进n个球的人数分布情况：
同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个求，问投进3个球和4个求的各有多少人．
26．如图4，直线y＝
12x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．
图4
（1）求点P的坐标；
（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.
五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）
27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
图5图6图7
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．
（图
5、图
6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）
上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
数学试卷答案要点与评分说明
一．填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）
1．4；
6．－2； 2．2；
23．3.84×10；
1
14．x＝1；
5．（3，－6）； 9．12；
13．30； 7．y＋4y＋1＝0；
8．不合理；
12．5；
10．20tan＋1.5；
11．1；
14．AB＝AC、∠B＝∠C、AE＝AF、AE＝ED、DE∥AC、„中的一个
二、多项选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）
15．A、D；
16．B、C
17．A、B、C
18．A、C
三、（本大题共4题，每题7分，满分28分）
19．解：原式＝x2x1x1x3x3x122x3
„„„„„„„„（4分） x3x2x3x32x
3＝
＝
20．
„„„„„„„„（2分）
x3＝1．
„„„„„„„„（1分）
解：由①解得 x＜3
„„„„„„„„（3分）
由②解得 x≥
38
„„„„„„„„（3分）
38
∴ 原不等式组的解集是
21．
解：∵ cos∠ABD＝
45≤x＜3
„„„„„„„„（1分）
∴ 设AB＝5k
BD＝4k（k＞0），得AD＝3k
„„„„„„„„（1分）
于是S△ABC＝12AD·BD＝6k
„„„„„„„„（2分）
2∴ △BCD是等边三角形，
∴ S△BCD＝34BD＝43k
„„„„„„„„（2分）
2
2∴ S△ABD︰S△BCD＝6k︰43k＝3︰2
„„„„„„„„（2分）
22．（1）148～153
„„„„„„„„（1分）
168～173
„„„„„„„„（1分）
（2）18.6
„„„„„„„„（2分）
（3）22.5%
„„„„„„„„（3分）
四、（本大题共4题，每题10分，满分40分）
23．
（1）证明：
和这个二次函数对应的一元二次方程是x－2（m－1）x＋m－2m－3＝0
Δ＝4（m－1）－4（m－2m－3）
„„„„„„„„（1分）
＝4m－8m＋4－4m＋8m＋12
„„„„„„„„（1分）
＝16＞0．
„„„„„„„„（1分）
∵ 方程x－2（m－1）x＋m－2m－3＝0必有两个不相等的实数根．
∴ 不论m取何值，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．
„„„„„（1分）
（2）解：
由题意，可知x
1、x2是方程x－2（m－1）x＋m－2m－3＝0的两个实数根，
∴ x1＋x2＝2（m－1），x1·x2＝m－2m－3．
„„„„„„„„（2分）
∵ 1x11x22
32222
22
22
2
2
2
22，即
x1x2x1x223，∴
2m1m22m323（*） „„„„（1分）
解得 m＝0或m＝5
„„„„„„„„（2分）
经检验：m＝0，m＝5都是方程（*）的解
∴ 所求二次函数的解析是y＝x＋2x－3或y＝x－8x＋12．„„„„„„„„（1分）
24．证明：连结OC、OD．
（1）∵ OC＝OD，∴ ∠OCD＝∠ODC
„„„„„„„„（1分）
∵ CD∥AB，∴ ∠COD＝∠COM，∠ODC∠DON．
∴ ∠COM＝∠DON
„„„„„„„„（1分）
∵ CM、DN分别切半圆O于点C、D，∴ ∠OCM＝∠ODN＝90°． „（1分）
2
2∴ △OCM≌△ODN．
„„„„„„„„（1分）
∴ OM＝ON．
„„„„„„„„（1分）
（2）由（1）△OCM≌△ODN可得∠M＝∠N．
∵ ∠M＝30°∴ ∠N＝30°
„„„„„„„„（1分）
∴ OM＝2OD，ON＝2OD，∠COM＝∠DON＝60°
„„„„„„„„（1分）
∴ ∠COD＝60°
„„„„„„„„（1分）
∴ △COD是等边三角形，即CD＝OC＝OD．
„„„„„„„„（1分）
∴ MN＝OM＋ON＝2OC＋2OD＝4CD．
„„„„„„„„（1分）
25．解：设投进3个球的有x个人，投进4个球的有y个人„„„„„„„„（1分）
3x4y523.5,xy2
由题意，得
（*）„„„„„„„„（4分）
0112273x4y2.5.127xyxy6,
整理，得
„„„„„„„„（2分）
x3y18
解得x9,y
3 „„„„„„„„（2分）
经检验：x9,y3 是方程组（*）的解．
答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人．
„„„„„„„„（1分）
26．解：
（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）．
„„„„„„„„（2分）
设点P的坐标为（a，
由题意，得S△ABP＝
1212a＋2），其中a＞0．
12（a＋4）（a＋2）＝9．
„„„„„„„„（1分）
解得a＝2或a＝－10（舍去）
„„„„„„„„（1分）
而当a＝2时，12a＋2＝3，∴ 点P的坐标为（2，3）． „„„„„„„„（1分）
kx
（2）设反比例函数的解析式为y＝
．
k2
∵ 点P在反比例函数的图象上，∴ 3＝，k＝6
∴ 反比例函数的解析式为y＝
设点R的坐标为（b，
那么BT＝b－2，RT＝
6b6b6x，
„„„„„„„„（1分）
），点T的坐标为（b，0）其中b＞2， ．
RTAOBTCO
①当△RTB～△AOC时，6，即
RTBTAOCO 2， „„„„„„（1分）
∴ b． 2，解得b＝3或b＝－1（舍去）b2
∴ 点R 的坐标为（3，2）．
„„„„„„„„（1分）
①当△RTB∽△COA时，6RTCOBTAO，即
RTBTCOAO12， „„„„„„（1分）
∴ 1b． ，解得b＝1＋13或b＝1－13（舍去）b221312
∴ 点R 的坐标为（1＋13，
）．
„„„„„„„„（1分）
综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋13，
1312）．
五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）
27．
图1
图2
图3
（1）解：PQ＝PB
„„„„„„„„（1分）
证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．
∴ NP＝NC＝MB．
„„„„„„„„（1分）
∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°．
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM．
„„„„„„„„（1分）
又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB． „„„„„„„„（1分）
∴ PQ＝PB．
（2）解法一
由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．
∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝
22x，BM＝PN＝CN＝1－
22x，
∴ CQ＝CD－DQ＝1－2·
22x＝1－2x．
得S△PBC＝1212BC·BM＝
1212×1×（1－
22x）＝
12－
2412x． „„„„„„（1分）
324122
x
（1分）
S△PCQ＝CQ·PN＝
×（1－2x）（1－
122
22x）＝－x＋
S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝
即 y＝
解法二 122
x－2x＋1．
22x－2x＋1（0≤x＜
）．
„„„„„„„„（1分，1分）
作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形．
∴ PT＝CB＝PN．
又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．
S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN „（2分）
＝CN＝（1－
122
22x）＝
2
12x－2x＋1
22
∴ y＝x－2x＋1（0≤x＜2
2）．
„„„„„„„„（1分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，
此时x＝0
„„„„„„„„（1分）
②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）
„„„„„„„„（1分）
解法一 此时，QN＝PM＝
22x，CP＝2－x，CN＝
22CP＝1－
22x．
∴ CQ＝QN－CN＝
22x－（1－
22x）＝2x－1．
当2－x＝2x－1时，得x＝1．
„„„„„„„„（1分）
解法二 此时∠CPQ＝
12∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，
∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，
∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1．
„„„„„„„„（1分）
