等差数列的性质总结
(一)等差数列的公式及性质
1.等差数列的定义: anan1d(d为常数)(n2);
2.等差数列通项公式:
ana1(n1)ddna1d(nN*),首项:a1,公差:d,末项:an
推广: anam(nm)d.从而d
3.等差中项
(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A
(2)等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan
24.等差数列的判定方法
(1) 定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列.anam; nmab或2Aab 2
(2) 等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2.
⑶数列an是等差数列anknb(其中k,b是常数)。
(4)数列an是等差数列SnAn2Bn,(其中A、B是常数)。
5.等差数列的证明方法
定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列.
6.提醒:
(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a
1、d、n、an及Sn,其中a
1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项ana1(n1)d
②奇数个数成等差,可设为„,a2d,ad,a,ad,a2d„(公差为d);
③偶数个数成等差,可设为„,a3d,ad,ad,a3d,„(注意;公差为2d)
8..等差数列的性质:
(1)当公差d0时,
等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;
前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.22
2(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差d0,则为常数列。
(3)当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有aman2ap.注:a1ana2an1a3an2,
(4)若an、bn为等差数列,则anb,1an2bn都为等差数列
(5) 数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列 *
(二).等差数列的前n项和公式: (1)Snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 222
2(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
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特别地,当项数为奇数2n1时,an1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S2n12n1a1a2n122n1an1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
(2)若{an}是等差数列,则Sn,S2nSn,S3nS2n ,„也成等差数列
(3)设数列an是等差数列,d为公差,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和
1.当项数为偶数2n时,
S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan
2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1 2
S偶S奇nan1nannan1an=nd
S奇nanan S偶nan1an
12、当项数为奇数2n1时,则
S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 S奇S偶an+1S偶nS偶nan+1
(其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).
(4)an、{bn}的前n和分别为An、Bn,且
则
(5)等差数列{an}的前n项和Smn,前m项和Snm,则前m+n项和Smnmn
(6)求Sn的最值
法一:因等差数列前n项和是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性Anf(n), nan(2n1)anA2n1f(2n1).nn2n1nN*。
法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和
an0即当a10,d0, 由可得Sn达到最大值时的n值. a0n1
(2) “首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。
即 当a10,d0, 由
或求an中正负分界项 an0可得Sn达到最小值时的n值. an10
法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为n
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程;
②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
pq 2
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