第 4 课时:§2.2等差数列(2)
【三维目标】:
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,掌握等差数列的特殊性质及应用;掌握证明等差数列的方法;
2.明确等差中项的概念和性质;会求两个数的等差中项;
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;
4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质,体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,体会等差数列与一次函数的关系;能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
二、过程与方法
通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想。
三、情感、态度与价值观
通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
【教学重点与难点】:
重点:等差中项的概念及等差数列性质的应用。 难点:等差中项的概念及等差数列性质的应用。 【学法与教学用具】:
1.学法:
2.教学用具:多媒体、实物投影仪.【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】:
一、创设情景,揭示课题 1.复习等差数列的定义、通项公式 ; (1)等差数列定义
(2)等差数列的通项公式:ana1(n1)d(anam(nm)d或andnp(p是常数))
ana1n
1anamnm
(3)公差d的求法:① dan-an1②d2.等差数列的性质:
③d
(1)在等差数列an中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是AP如:a1,a3,a5,a7,……;a3,a8,a13,a18,……;
(3)在等差数列an中,对任意m,nN,anam(nm)d,d
anamnm
(mn);
(4)在等差数列an中,若m,n,p,qN且mnpq,则amanapaq
用心爱心专心
3.问题:(1)已知a1,a2,a3,an,an1,,a2n是公差为d的等差数列。 ①an,an1,,a2,a1也成等差数列吗?如果是,公差是多少? ②a2,a4,a6,a2n也成等差数列吗?如果是,公差是多少? (2)已知等差数列an的首项为a1,公差为d。
①将数列an中的每一项都乘以常数a,所得的新数列仍是等差数列吗?如果是,公差是多少? ②由数列an中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列cn是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是多少?
(3)已知数列an是等差数列,当mnpq时,是否一定有amanapaq?
(4)如果在a与b中间插入一个数A,使得a,A,b成等差数列,那么A应满足什么条件?
二、研探新知
1.等差中项的概念:
如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。其中Aa,A,b成等差数列A
2.一个有用的公式:
(1)已知数列{an}是等差数列
①2a5a3a7是否成立?2a5a1a9呢?为什么? ②2anan1an1(n1)是否成立?据此你能得到什么结论? ③2anankank(nk0)是否成立??你又能得到什么结论? (2)在等差数列an中,d为公差,若m,n,p,qN且mnpq 求证:①amanapaq②apaq(pq)d
amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)dapaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d
ab
2ab2
.
证明:①设首项为a1,则
∵ mnpq∴amanapaq
② ∵apa1(p1)daq(pq)da1(q1)d(pq)da1(p1)d ∴ apaq(pq)d
探究:等差数列与一次函数的关系
注意:(1)由此可以证明一个结论:设{an}成AP,则与首末两项距离相等的两项和相等,即:
a1ana2an1a3an2,
同样:若mn2p 则 aman2ap
(2)表示等差数列的各个点在一条直线上,这条直线的斜率是公差d
三、质疑答辩,排难解惑,发展思维
例1(教材P37例3)已知等差数列an的通项公式是an2n1,求首项 a1和公差d。
解:a12111,a22213,∴da2a12或dan1an2(n1)1(2n
1)2,等差数列an的通项公式是an2n1,是关于n的一次式,从图象上看,表示这个数列的各
点(n,an)均在直线y2x1上(如图)
例2 ①在等差数列an中,a2a7a8a136,求a6a9.②在等差数列an中,a1a4a8a12a152,求a3a13的值。 解:①由条件:a6a9a7a8a2a133;
②由条件:∵2a8a1a15a4a12∴a82∴a3a132a84. 例3若 a1a2a530a6a7a1080 求a11a12a15解:∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2……∴ 2a6a1a11,2a7a2a12……从而
(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)
∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5)=2×8030=130一般的:若{an}成等差数列那么Sn、S2nSn、S3nS2n、…也成等差数列
例4 如图,三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列,且AD21cm,这三个正方形的面积之和是179cm。(1)求AB,BC,CD的长;(2)以AB,BC,CD的长为等差
数列的前三项,以第10项为边长的正方形的面积是多少?
解:(1)设公差为d(d0),BCx则ABxd,CDxd
A
B
C
D
(xd)x(xd)21x7x7
由题意得:解得: 或(舍去) 22
2d4d4(xd)x(xd)179
∴AB3(cm),BC7(cm),CD11(cm)
(2)正方形的边长组成已3为首项,公差为4的等差数列an,
∴a103(101)439,∴a103921521(cm)2所求正方形的面积是1521(cm)2。
四、巩固深化,反馈矫正1.教材P37练习
2.在等差数列an中, 若 a56a815 求a1
4解:a8a5(85)d即 1563d ∴ d3从而 a14a5(145)d69333 变题:在等差数列an中,(1)若a5a,a10b 求a15;(2)若a3a8m 求 a5a6 解:(1)2a10a5a15 即2baa15∴ a152ba;(2)a5a6=a3a8m
五、归纳整理,整体认识本节课学习了以下内容: 1.A
ab
2a,A,b,成等差数列,等差中项的有关性质意义
2.在等差数列中, mnpqamanapaq(m,n,p,qN) 3.等差数列性质的应用;掌握证明等差数列的方法。
六、承上启下,留下悬念
1.在等差数列{an}中, 已知a3+a4+a5+a6+a7=450, 求a2+a8及前9项和S9.解:由等差中项公式:a3+a7=2a5, a4+a6=2a5由条件a3+a4+a5+a6+a7=450, 得5a5=450, a5=90,∴a2+a8=2a5=180.
S9=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9
=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5=9a5=810.
七、板书设计(略)
八、课后记:
判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1.定义法:即证明 anan1d(常数)
例:已知数列an的前n项和Sn3n22n,求证数列an成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。
解:a1S1321当n2时anSnSn13n22n[3(n1)22(n1)]6n5
n1时 亦满足∴ an6n5首项a11anan16n5[6(n1)5]6(常数)
∴an成AP且公差为6
2.中项法: 即利用中项公式,若2bac 则a,b,c成AP。例:已知1caba,1b,1c成AP,求证
ba,
cb,
ac
也成AP。
证明: ∵
111成AP∴
21a
,
b
,
c
b
1a
c
化简得:2acb(ac)
bc2
a2
c
aca2c
a
abaab
b(ac)c
bccac
ac
2ac
=
(ac)c)
acbcabac
(ab(ac)
2b
∴a
,
cab
,c
也成AP
3.通项公式法:利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。
例:设数列a2
n其前n项和Snn2n3,问这个数列成AP吗?
解:n1时 a1S12n2时 anSnSn12n3,a1不满足an2n3∴ a21n
a2n3
nn2
∴ 数列n不成AP但从第2项起成AP。