2.2等差数列
（二）
一、教学目标
1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；
2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．
3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．
二、教学重点、难点
重点：等差数列的通项公式、性质及应用．
难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．
三、教学过程
（一）、复习
1．等差数列的定义． 2．等差数列的通项公式：
ana1(n1)d
(anam(nm)d或 an=pn+q (p、q是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d: ① d=an－an
1② d=
ana1aam
③ d=n
nmn14. {an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =(
)
A.667
B.668
C.669
D.670 5.在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是(
)
A.18
B.9
C.12
D.15
二、新课
1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq
特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap 例1.在等差数列{an}中
(1) 若a5=a, a10=b, 求a15;
(2) 若a3+a8=m, 求a5+a6;
(3) 若a5=6, a8=15, 求a14;
(4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a; (2) ∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m (3) a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33 (4)66111, 77122,2a6a1a11, 2a7a2a12从而(a11a12a15)(a1a2a5)2(a6a7a10) a11a12a152(a6a7a10) (a1a2a5)28030130.
2．判断数列是否为等差数列的常用方法： （1） 定义法: 证明an-an-1=d (常数) 例2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1;
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;
∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5
首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)
∴数列{an}成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.例3.已知数列{an}的通项公式为anpnq,其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看anan1（n＞1）是不是一个与n无关的常数。
解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an1（n＞1），
求差得 anan1(pnq)[p{n1)q]pnq(pnpq]p
它是一个与n无关的数.所以{an}是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项a1pq,公差dp。由此我们可以知道对于通项公式是形如anpnq的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象。这个图象有什么特点？ ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列anpnq与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，„„时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列anpnq的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列anpnq中的p的几何意义去探究。
三、课堂小结：
1.等差数列的性质；
2.判断数列是否为等差数列常用的方法．
四、课外作业
1.阅读教材第110～114页；
2.教材第39页练习第
4、5题． 作业：《习案》作业十二
