高等数学上册总结 张守刚
一、主要内容
一元函数，极限，导数，微分，微分中值定理，不定积分，定积分，微分方程。 从某种角度来说，主要是函数。
学习的目的是认知，很小的时候我们经常被谈认识客观世界，改造客观世界，因而学习就是必经之捷径。
人类社会存在着万千事物，它们之间的纽带或联系用量的方法来陈述也许就可以用函数来表示。因此，从这种角度来说，高数主要研究函数。
二、内容探讨
1、关于函数
（1）什么是函数？为什么研究函数？
客观世界中，事物与事物之间的具有千丝万缕的联系或者关系。从哲学角度来说，研究这种联系可以更好的帮助我们认识客观世界。但这是不够的，因为事物与事物还存在着丰富的数量关系，函数就是表现这种数量关系的工具，能够更加精确的帮助人类认识客观世界，改造客观世界。
客观世界中，相互之间的联系主要有四种表现形式，一对一，一对多，多对一，多对多。 一对一表现出来的数量关系就可以用一元函数来刻画，而一对多可以分成有限个一对一，故我们需要研究一元函数，这就是上册的研究对象。（现在很多教材将一对多也看做是一元函数，我个人觉得这不好，因为我们研究的一定是最简单的，最基本的） 多对一表现出来的数量关系就可以用多元函数来刻画，同样，多对多可以分解为有限个多对一，故多元函数也是我们的研究重点，这是我们下册的主要研究对象。
因为由一元函数推广到二元函数存在着突变过程，有着显著区别，故单独分开来研究。而二元函数到多元函数是一个渐变过程，区别不大，因此，我们主要以二元函数为代表研究多元函数。
（2）如何研究函数？
第一、一元函数的定义、基本初等函数，初等函数，以及函数的结构，即加减乘除、求逆、复合六种运算法则；
第二、一元函数的基本性态，主要有：有界性，单调性，奇偶性，周期性，凹凸性，连续性等，以及单调区间、凹凸区间、最小正周期等的确定；
第三、重点要谈一下连续性。因为连续函数我高等数学的研究对象。连续的客观世界表现是渐变，间断的本质是突变。但需要注意，渐变突变都不是绝对的，客观世界的发展很多方面都是基于渐变突变的基础上所推动的。关于这方面略。客观世界中，绝对的连续也许不存在，我是这么认为的。但我们学习本来就是研究的理想状态下，因此，假定连续，理想状态下。那么，如何刻画连续呢？这需要研究渐变，从而建立极限思想。
第四、函数的构造，或者数量关系的建立，其实这里面也必须用到极限的思想。关于函数构造这是一个非常重要的问题，以后同学们的学习过程中必须经常遇到。而我们上课时却谈的很少，这也许就是所谓的教学脱离实际吧？
2、关于极限
（1）什么是极限？为什么研究极限？
客观世界是不变与变的矛盾统一。不变就跟死水一样，没有生机；变创造了客观世界的生动与美丽。而极限就是刻画客观世界变化的一个美丽的武器。有很多案例可以查询，比如我们后面要谈到的分割、近似、求和、取极限思想。在此不赘述。
简单来说，极限是对事物未来变化趋势的一种肯定。最简单的莫过于唯一的、确定的变化趋势，这就是极限。因为函数就是刻画客观世界理想变化的一种工具，因此，我们主要研究函数的变化趋势，即函数的极限。
在研究函数极限时，必须很好的认识到定义，因为这是基础。它用符号刻画了极限存在的充分必要条件。
基于定义，我们可以建立16个基本初等函数的极限公式、极限的加减乘除、求逆、复合六种运算法则，从而可以建立初等函数的极限公式，以及展开后续讨论。 （2）如何研究极限？
第一、当然是极限的定义，包括哲学定义与数学定义，以及极限的判定准则； 第
二、极限的计算方法。
1）16个基本初等函数的极限公式，应用六种运算法则。这是最最基本的。当其它方法不能解决极限时，就需要回到基本定义及基本法则。 2）两个重要准则，即夹逼准则、单调有界准则；这是判断极限是否存在的非常重要的准则； 3）两个常用极限公式；
4）等价无穷小量。其实无穷小量，无穷大量的提出不是为了求极限，其只是完善了误差理论。因为极限等价于逼近，逼近又约等于近似，这就建立了客观世界与理想世界之间的桥梁。后面我们可以看到，误差理论才是我们工科学生学习高等数学的核心。 5）L’Hospital法则。这是非常重要的求极限方法。
6）Taylor中值定理。Taylor定理非常漂亮，是误差理论的一个基础。 7）定积分。
（3）极限就是理论联系实际的桥梁，当然是在认识、改造客观世界中。这一点大家需要时间慢慢去体会。
3、关于微分学
微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一。简单的来说，微分学就是从微观角度研究客观世界，而积分学从宏观角度。 微积分学中一个重要的数学符号是，微小的形变，很好的理解微小的形变是学习微积分的基础。
（1）连续函数
连续函数是微积分研究对象。连续函数等价于渐变，理想状态下的渐变通过极限刻画，即通过之间的关系刻画。 （2）导数
导数刻画了事物随事物变化的相对趋势，当一个事物发生变化时，另外一个事物也随着发生相应变化。最简单的一类是线性变化，即成比例。但客观世界当中大量的是非线性变化，导数就是刻画这种变化趋势大小的一个指标，即也通过来刻画。从哲学角度来谈的话，其等价于平均与瞬时问题。 （3）微分
微分与导数是一个相对的概念，但有着本质区别。微分概念是基于线性逼近理论基础上所提出来的，或者说是基于误差理论所提出来的。关于线性逼近或者线性近似的理论及线性近似的优越性在这里不详谈。相对于导数刻画了变化趋势大小，而微分刻画了一个事物有确定变化量时，引起的另一个事物的近似变化量，是一个相对变化量，只不过这个相对量刚好是导数而已。但可以非常美妙的诠释复杂问题简单化，呵呵。 （4）导数的计算问题 1）基本定义，可以建立16个基本初等函数的导数公式，加减乘除四则运算、求逆、复合运算法则，可以建立初等函数的导数公式； 2）隐函数求导问题，对数求导法则等； （5）微分的计算问题
一元函数微分等价于导数。 （6）导数与微分的应用 1）近似计算，逼近理论
2）5大微分中值定理：Fermat引理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor定理。该5大定理很好的从理论角度诠释了微积分学的应用。 3）利用导数刻画函数的单调区间，凹凸区间；
4）优化问题或者极值最值问题。优化问题生活中处处存在，可以说我们的生活跟优化息息相关，这点请读者自己领会。
5）不定积分。及已知导数，求原函数；
6）微分方程。包括微分方程的建立与常见微分方程求解问题。 关于微分学的应用实在是非常重要的一件事情，只不过我们在课堂上体会甚少，我们老师也是身不由己。
4、关于积分学
积分学主要包含不定积分与定积分。从本质上来说，而这风马牛不相干。但Newton-Leibniz将二者很好的统一在了一起。 （1）不定积分
不定积分是求导的逆过程。一方面为定积分建立基础，一方面为微分方程求解提供理论基础。 不定积分的计算还是一样，16个基本初等函数的积分公式，加减乘除四则运算法则，以及由复合求导法则所导出的换元法和分部积分法。 （2）定积分
定积分的本质是分割、近似、求和、取极限思想的应用。 客观世界可以分为规则或均匀与不规则或不均匀构成。当我们认识客观世界时，我们首先建立标准，确定某些基本的度量，如，我们规定单位长度、单位面积、体积；规定单位重量，等等，从而很多理想状态下规则的、或均匀问题我们都能够量化，如长度、面积、体积、质量、位移、速度等等。但记住，理想状态，客观世界很难存在的，这里面就有可以忽略的误差。
那么不规则、不均匀问题如何处理呢？有人说近似，关键是如何近似？误差大小？误差能不能接受？
古人谈到，复杂问题简单化，大事化小，小事化了，其实积分学就是这么一种道理。我们首先对不规则问题进行分割，然后对其进行近似，然后求和，从而可以得到原问题的一个近似解决方案，但误差不可控制，可以想象，分割的越细，误差肯定越小，因此，当分割的块数无穷多，每一个小块无限逼近于0时，最终求和结果能够无限逼近真实值。这就是定积分的基本思想。大量案例我就不在这里赘述。
第一、积分学三大理论：连续函数原函数存在定理、原函数之间相差一个常数定理、Newton-Leibniz定理。
该三大定理与微分学5大定理构成了微积分学8大基本定理，是整个微积分学的基础理论。 第二，定积分的计算。 第三，定积分的应用。
三、展望高等数学下册
1、解析几何 空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就。法国数学家笛卡尔和费马均于十七世纪上半叶对此做出了开创性的工作。我们知道，代数学的优越性在于推理方法的程序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何问题的思想，这就是解析几何的基本思想。要用代数方法研究几何问题，就必须沟通代数与几何的联系，而代数和几何中最基本的概念分别是数和点。于是首先要找到一种特定的数学结构，来建立数与点的联系，这种结构就是坐标系。通过坐标系，建立起数与点的一一对应关系，就可以把数学研究的两个基本对象数和形结合起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，空间解析几何对多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用。
2、多元函数微分学
多元函数中代表性函数是二元函数，由二元函数推广到多元函数是很容易的，但由一元函数到二元函数有着突变的现象。
第一、多元函数的定义，基本性态，以及基本结构。多元函数由一元基本初等函数函数通过6种运算构成。
第二、多元函数的极限。这里要强调，一元函数的极限是从两个方向逼近，而多元函数的极限是沿着任意方向逼近，更复杂。
第三、多元函数导数，包括偏导数与方向导数。二元函数的几何意义是空间曲面，因此，沿着任何方向，函数都在变化，故沿着任何方向都有变化趋势，即方向导数。但任何方向的变化趋势与X方向和Y方向都满足三角分解关系。故我们主要研究X方向变化率与Y方向变化率，即俗称偏导数，其计算跟导数计算一致。
第四、多元函数全微分，区别于一元函数微分。二元函数几何含义是空间曲面。一元函数可微等价于在某一点处可以用切线近似，故二元函数可微等价于在某一点处可用切平面近似。还是误差理论，需要好好研究。
第四、多元函数最优化问题，即极值最值问题。这是很重要的一块内容。
3、多元函数积分学
一共包含定积分（一重积分），二重积分，三重积分，两类曲线积分，两类曲面积分。 定积分本质是沿直线分割。
二重积分本质沿平面分割，如空间几何形体体积，不均匀平板质量等。 三重积分本质沿空间分割，如空间不均匀几何形体质量等。
曲线积分本质是沿曲线分割，之所以分为两类，是包含方向与否。如教室中椅子靠背面积，可以直接对曲线分割，不带方向；如物理中变力沿曲线做功，带方向。因我们分割对象是曲线，故命名为曲线积分。
曲面积分本质沿空间曲面分割，同样分为带不带方向。如水流从曲面左侧流向右侧与右侧流向最侧，在物理学中是两个量，需要考虑方向。
总之，积分的基本思想就是分割，近似，求和，取极限。针对问题的不同，所提出的不同概念，请读者在学习过程中慢慢体会。 （1）关于定义
所有定义形式都跟定积分定义一致。 （2）关于计算
最终都是回到定积分的计算。 （3）关于应用 慢慢理解学习。
4、无穷级数 简单来说，无穷多个数之和是否是个常数？无穷多个函数之和是否是个函数？反过来，任何一个初等函数，能否找到一个多项式函数去近似？任何一个周期函数，能否用三角函数系去表示？
第一二个问题等价，我们主要研究幂函数系，对于无穷多个函数的和的问题，当确定x的取值时，就可以得到一个常数级数。如果和是确定常数，称为收敛，反之发散。对于无数多个函数，我们要做的工作有两个：在那些点处收敛，即收敛于；和是多少，或和函数。 用多项式函数去近似初等函数，实际上是taylor公式的延伸，是误差理论的核心。
