高等数学B上册 求极限方法总结

锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

出自----荀子----《劝学》

求极限的几种常用方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限limx1x41x1

【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

x1x1x212【解】lim=limx1x1=4 x1x1x1

2．分子分母同除求极限

例2：求极限limxx3x2 33x1

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。  

1132xx1 【解】limlimx3x31x1333x【说明】

【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方；

0m>n

anxnan1xn1...a0m

anm=n bn

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限limxx32

2x21 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】limxx3x21limxx23x21x23x21x23x21

lim

2x3x1

x

0

例4：求极限lim

x0

tanxsinx

x3

【解】lim

x0

tanxsinxtanxsinx

= limx0x3x3tanxsinx

=lim

x0

1tanxsinx1tanxsinx1

=limlim33x0x0x2x4tanxsinx

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键

4.应用两个重要极限求极限

两个重要的极限（1）lim

sinx

1

x0x

x

n

11

（2）lim1lim1lim1xxe

xxx0

xn

在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可

以利用公式。

x1

例5：求极限lim

xx1

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑+

x

，最后凑指数部分。x

x11xx2122x11【解】lime2 =lim1lim1xx1xx1x1xx1

2

补：求下列函数的极限 (1)limlimcoscos



n0n





x2

xxxcos......cos 22232n

n2

(2)（2）lim12 mm

m

5.利用无穷小量的性质求极限

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果limfx0，gx在

x0

某区间x,xx,x有界，则limfxgx0。这种方法可以处理一个函数不存

x0

在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

0 xx

【解】因为sinx1lim

6.用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1x~e1，

x

1cosx~

12b

x，1ax1~abx 2

(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。 (3) 此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

xln1x x01cosx

xln1xxx

【解】limlim2

x01cosxx02

x2

sinxx

例8：求极限lim

x0tan3x

例7：lim

12x

sinxxsinxxcosx11 【解】lim=limlimlimx0tan3xx0x0x03x2x33x26



7.利用函数的连续性求极限

这种方法适合求复合函数的极限。如果ugx在点x0处连续gx0u0，而

fu在点x0处连续，那么复合函数yfgx在点x0处连续。limfgx=fgx0=

xx0



flimgx也就说，极限号lim与f可以互换顺序。

xx0

xx01例9：求limln1

x

x1

【解】令ylnu,u1

x

1

因为lnu在点u0lim1e处连续

x

x1

所以limln1

x

x

x

xx

x

1x

=lnlim1

xx

=lne

=1

8．用洛必达法则求极限

洛必达法则只能对

0

或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，0

f\'xfx等于A时，那么lim存g\'xgx然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在lim

在且等于A。如果lim

f\'xfx不存在时，并不能断定lim也不存在，这是不能用洛必达

g\'xgxfx。

gx法则的，而须用其他方法讨论lim

lncos2xln1sin2x

例10：求极限lim

x0x2lncos2xln1sin2x

【解】lim 2x0x





2sin2xsin2x

2

=limx02x

=lim=3

sin2x21

 2x02xcos2x1sinx

9.用对数恒等式求limfxgx极限

例11：求极限lim1ln1x

x0

2x

【解】lim1ln1x=lime

x0

x0



2x2

ln1ln1xx

e

x0

lim

2ln1ln1x

x

=e

x0

lim

2ln1xx

e2

【注】对于1型未定义式，也可以用公式limfx因为

limfx

gx

gx

1e



limfx1gx

elimgxln1fx1elimfx1gx

10.利用两个准则求极限

（1）夹逼准则：若一正数N。当n>N时，有xnynzn且limxnlimzna，则有

x

x

limyna.

x

利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列yn和zn，使得ynxnzn。 例12：xn

1n1



1n2

......

1nn

求xn的极限。

【解】因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项xn

1nn1n1

22



1nn1n1

22

......

1nn1n1

22



nnnnn1

22

xn

......

nnn

n

xn

nn1n

又因为lim

x

nn

lim

x

n1

1

所以limxn1

x

（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的 通项递推公式求极限。

例，证明下列极限存在，并求其极限。y1

a,y2aa,y3aaa,......,ynaaa...a

证明：从这个数列看yn显然是增加的。用归纳法可证。又因为y2

ay1,y3ay2,......,ynayn1

所以得ynayn1.因为前面证明yn是单调增加的。两端除以yn得yn

a1 yn

因为yny1

a,则

aa

a，从而1a1 ynyn

ayna1

即yn是有界的。根据定理yn有极限且极限唯一。

令limynl则limylimyn1a

nnn

则lla，因为yn>0.解方程得l

14a1

所以limynl

n

14a1

本文对极限的求法作了一下小结归纳了几种求极限的基本方法。对一般的极限用上面的方法可以求出来，复杂一点的可能要综合几种方法才能求出，关键是“运用之妙，存孚一心”。

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