16.1二次根式第一课时
一、教学目标
1.核心素养：
通过学习二次根式的概念，培养学生数感和符号意识．
2.学习目标
（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念,能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系.
（2）知道被开方数必须是非负数的理由,会求二次根式有意义的条件.
3.学习重点
从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念.
4.学习难点
二次根式有意义的条件.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1
回顾：什么叫算术平方根？
任务2
阅读教程P2，思考：什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？
2.预习自测
1．面积为3的正方形的边长为（
）
A.
B.
C.
D.
9
2.
面积为S的正方形的边长为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
当为何值时，有意义（
）
A.
B.
C.
D.
预习自测
1.A
2.A
3.C
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是，0的平方根是0，-5没有平方根.
（2）算术平方根：25的算术平方根是5,3的算术平方根是，0的算术平方根是0，-5没有算术平方根.
2.问题探究
问题探究一
什么样的式子是二次根式？★
活动一
回顾旧知，整体感受
用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？
（1）面积为2的正方形的边长为
，面积为S的正方形边长为
；
（2）一个长方形硬纸板，长是宽的2倍，面积为130cm2,则它的宽为
cm；
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间t（单位：秒）与开始落下时与地面高度h（单位：米）满足关系h=5t2．如果用含h的式子表示t，那么t=
.
活动二
总结反思，得出概念
上面结果都是一些正数的算术平方根，我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根是0；在实数范围里内负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
二次根式的概念：一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
二次根式具备哪些特点？
（1）有二次根号；
（2）被开方数不能小于0.
活动三
牛刀小试
初步运用
例1.式子：，，，，，中，二次根式的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【知识点：二次根式的定义】
详解：，，是二次根式，因此有3个，选C.
点拨：二次根式是一种表示方法，既要看形式是否带有二次根号，又要看被开方数是否为非负数.
问题探究二
二次根式有意义的条件是怎样的？▲
活动一
回顾旧知
开启新知
（1）式子：，，有意义吗？
（2）对于任意实数，一定有意义吗？
（3）实数满足什么条件，二次根式有意义？
点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，因此，三个问题的结果显而易见.（1）式子：，有意义，没有意义；（2）对于任意实数，不一定有意义，因为有可能为负数；（3）二次根式要有意义，只需即可，即.
活动二
牛刀小试
初步运用
例2.当取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？【知识点：二次根式有意义的条件】
（1）
（2）
（3）
详解：（1）中，无论取何值，都有意义；（2）中，无论取何值，都是一个正数，所以，无论取何值，都有意义；（3）中，，即.
点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，如果式子中，除了二次根式外，还有其它形式的式子，如（3），还得综合考虑，既要考虑二次根式有意义，还要考虑整个式子有意义.
3.课堂小结
【知识梳理】
（1）
形如的式子叫做二次根式.
（2）
二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.
【重难点突破】
二次根式有意义的条件探究．①当给定的代数式只是二次根式形式时，只需要满足被开方数为
即可；②当给定的代数式不只含有二次根式时，则要全面综合考虑，如：代数式有意义的条件就应同时满足：≠0和≥0，即>0.
4.随堂检测
1.下列各式不是二次根式的是（
）
A.
B.
C.
D.
【知识点：二次根式的定义】
【参考答案】C
【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.
2.下列式子中，二次根式的个数是（
）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A.
1
B.2
C.3
D.
4
【知识点：二次根式的定义】
【参考答案】B
【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.因此，（1）（3）是二次根式.
3.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【知识点：二次根式有意义的条件】
【参考答案】A
【思路点拨】二次根式有意义的条件就是被开方数要为非负数。因此，只需
即可.
4.
若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
，且
【知识点：二次根式有意义的条件】
【参考答案】D
【思路点拨】整个式子要有意义，需满足两个条件：且.
5.使有意义的正整数为
.
【知识点：二次根式有意义的条件】
【参考答案】2,1
【思路点拨】因为有意义，所以，所以正整数或1
《认识二次根式》预习导学
学习目标
1．
通过实际问题理解二次根式的概念.
2．
理解二次根式的非负性，会判断二次根式有意义的条件.
3．
能列出二次根式解决简单的实际问题.
l
重点：二次根式的非负性.
l
难点：二次根式的应用．
预习导学
旧知导入
同学们，大家还记得二次根号
“”吗？这是在开平方运算中需要用到的符号，同时，我们也认识了无理数．从数到式的理解，是从特殊到一般的认知过程．本节课，我们要来学习带有二次根号的式子---二次根式.
知识点一
二次根式的概念
阅读课本本课时第一个“思考”的内容，思考下列问题.
1．(1)设正方形的边长为x，若面积为2，则x=
；若面积为a，则x=
．
(2)设长方形的宽为x，长为2x，若面积为130，则x=
.
(3)若某物体下落高度h与下落时间t满足关系h=4.9t2，则t=
.
2．上面横线上的式子都带有根号，根号内可以是
，也可以是
，它们的值都为
.
归纳总结
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式，在二次根式中，被开方数必须是
.
知识点二
二次根式有意义的条件
阅读课本本课时“例1”及第二个“思考”的内容，解决下列问题．
1．
明晰概念：对于二次根式，被开方的数（或式子）a应满足
．
2．
(1)对于二次根式，2-x
0，即x
2.
(2)由于x2恒大于或等于0，所以二次根式
；当
x
0时，x3≥0，所以二次根式
.
归纳总结
二次根式的非负性：a
0，
0．
知识链接---开方运算
我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了笔算开平方法.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数，如.实际上，就是二次根式，就像单个数字4，也是一个整式.
人教八下数学《16.3.2_二次根式的混合运算》教学设计2个_
人教八下数学《16.2.2_二次根式的除法法则》教学设计2个_
