线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直
M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO1如图1，在正方体ABCDA平面MBD． 1BC11D1中，
1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，
∴DB⊥平面A平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1．1
2设正方体棱长为a，则A1O2AM在Rt△AC中，M111323a，MO2a2． 2492222a．∵AO，∴AOOM． ∵MOAM111
4OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．
评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
利用面面垂直寻求线面垂直
2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求
证：BC⊥平面PAC．
证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．
因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，
AD平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC
平面PBC，∴AD⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．
∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一
条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图
形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线
面垂直线线垂直．
判定
性质判定性质线面垂直面一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直
面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．
3如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESB，AGSD．
证明：∵SA平面ABCD，
∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAE．∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．
评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．
4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵ACBC，∴CFAB．
∵ADBD，∴DFAB．
又CFDFF，∴AB平面CDF．
∵CD平面CDF，∴CDAB．
又CDBE，BEABB，
∴CD平面ABE，CDAH．
∵AHCD，AHBE，CDBEE，
∴ AH平面BCD．
评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
5如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．
证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC．
∵PA平面ABC，BC平面ABC，
∴PABC．∴BC平面APC．
∵BC平面PBC，
∴平面APC⊥平面PBC．
∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，
∴AE⊥平面PBC．
∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．
评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．
10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC; ②SC平面ANM 分析:
①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。
②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。
证明:
①∵SA平面ABC
∴SABC
又∵BCAB, 且ABSA = A
∴BC平面SAB
∵AN平面SAB
∴ANBC
②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B
∴AN平面SBC
∵SCC平面SBC
∴ANSC
又∵AMSC, 且AMAN = A
∴SC平面ANM
［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
图9—40
（1）求证：AB⊥BC；
（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，
又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，
∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．
［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．
（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD
（1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD，
∴∠PDA=45°
（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则
EN AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN．
∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD．
【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．
［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B
1、BC、C1D
1、B1C1的中点．
2CD 图9—
42（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值．
（1）【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1B1NNC1C1M∴ENB1MNC145
∴MNE90即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，
∴平面MNF⊥平面ENF．
（2）【解】过N作NH⊥EF于H，连结MH．∵MN⊥平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，
2
3∴由三垂线定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中，求得MN=2a，NH=3a，
MN662，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为2． ∴tan∠MHN=NH
4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．
图9—4
5（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．
（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，
又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，
∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD∴CD⊥AF，
又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则
GF 12CD又
AE 12CD， ∴
GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PCD．
（2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC
∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，
FHPFPC，设AD=2，∴PF=2，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CD
PC=PDCD423， 2
226623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=2
【拓展练习】
一、备选题
1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．
（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径
∴BC⊥AC；
又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．
∵BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．
2．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝2a，EC＝a．
（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；
（2）求截面△ADE的面积．
（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN，
则MN∥A′A∥B′B，
∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′
∴B′M⊥平面A′ACC′．
设MN交AE于P，
a
∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．
又DB＝2a，∴PN＝BD．
∵PN∥BD， ∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M，
∴PD∥B′M．
∵B′M⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥平面ACC′A′，而PD平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACC′A′．
（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝2a，
AE＝2a．
∴S△ADE＝2×AE×PD 13622aaa24＝2×．
