高中数学公式极限与导数

极限与导数

一、极限

1、常用的几个数列极限：limCC(C为常数)；lim10，limqn0(a

列各项和公式SlimSa1(0

2、函数的极限：

(1)当x趋向于无穷大时，函数的极限为alimf(x)limf(x)ann

(2)当xx0时函数的极限为alimf(x)limf(x)a: xx0xx0

3、函数的连续性：

(1)如果对函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义，而且还有limf(x)f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续；

xx0

(2)若f(x)与g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)(g(x)≠0)也在点x0处连续； g(x)

(3)若u(x)在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x0处也连续；

4、连续函数的极限运算:如果函数在点x0处有极限，那么limf(x)f(x0)；

xx0

二、导数

1、导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作yxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0)； x

2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 yf(xx)f(x);(2)求平均变化率yf(xx)f(x);(3)取极限,得导数f(x)limy; x0xxx

3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续；但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导；

4、导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f(x0).相应地，切线方程是yy0f(x0)(xx0);

5、导数的四则运算法则：

g(x/)](uv)uv[f(x)/f(x)/g(x)

(uv)uvuvf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)推论：cf(x)cf(x)(C为常数)

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0) g(x)2g(x)



6、复合函数的导数：yxyuux;uuvuv()vv2

7、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0,那么f(x)为增函数；如果f(x)0,那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f(x)0,那么f(x)为常数；

(2)求可导函数极值的步骤：①求导数f(x)；②求方程f(x)0的根；③检验f(x)在方程f(x)0根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。

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