第二十五章
概率初步
问题一：五名同学参加演讲比赛，以抽签的方式决定每个人的出场顺序，签筒中有5个形状，大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5，小军首先抽签。他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机（任意）地抽取一根纸签，请考虑以下问题：
① 抽到的序号有几种可能的结果？ ② 抽到的序号小于6吗？ ③ 抽到的序号会是0吗？ ④ 抽到的序号会是1吗？
为了回答上面的问题，我们可以在同样的条件下重复进行抽签试 验，从试验结果中我们可以发现：
①每次抽签的结果不一定相同，序号1，2，3，4，5都有可能抽到，共有五种可能的结果，但是事先不能预料一次抽签会出现那一种结果。
②抽到的序号一定小于6。 ③抽到的序号绝对不会是０。
⑤ 抽到的序号可能是１，也可能不是１，事先无法确定。 问题二：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分
别刻有1到6 的点数，每掷一次骰子，骰子向上面的数字怎样，请考虑以下几个问题：
① 可能出现那些点数？ ② 出现的点数大于0吗？ ③ 出现的点数会是7吗？ ④ 出现的点数会是4吗？
为回答上面的问题，我们可以在同样的条件下重复进行掷骰子试验，从试 验结果可以发现：
① 每次掷骰子的结果不一定相同，从1到6 的每一个点数都有可能出现， 所有可能的点数共有6种，但是事先不能预料掷一次骰子会出现那一种结果。
1 ② 出现的点数肯定大于0。 ③ 出现的点数绝对不会是7。
④ 出现的点数可能是4 ，也可能不是4，事先无法确定。
在一定条件下，有些事件必然（肯定）会发生，这样的事件称为必然事件。 相反地，有些事件必然（肯定）不会发生，这样的事件称为不可能事件。必然事件与不可能事件统称为确定性事件。
在一定条件下，有些事件可能发生，也有可能不发生，事先无法确定，这样的事件称为随机事件。在现实世界中存在着大量的随机事件。
练习：指出下面事件中，那些是必然事件，那些是不可能事件，那些是随机事件。 ① 通常加热到100℃，水沸腾。
② 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中。 ③ 掷一次骰子，向上的一面是6点。 ④ 度量三角形的内角和，结果是360°。
⑤ 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯。 ⑥ 某射击运动员身击一次，命中靶心。
问题三：袋子中装有4个黑球2个白球，这些球的形壮、大小、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机地从袋中摸出一个球。 ①这个球是白球不是黑球？
②如果两种球都有可能摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？
为了验证你的想法，动手摸一下吧。在上面的摸球活动中，摸出黑球和摸出白球是两个随机事件。一次摸球可能发生摸出黑球，也可能发生摸出白球，事先不可能确定那个事件发生，但是，由于两种球的数量不等，所以事实上摸出黑球与摸出白球的可能性的大小是不一样的，摸出黑球的可能性大于摸出白球的可能性，你们的试验结果能说明这种规律吗？
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使摸出黑球和摸出白球的可能性大小相同呢？
练习：
1、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比为3：7如果宇宙中飞来一 2 块陨石落在地球上，落在陆地上和落在海洋中的哪个可能性大？
2、你能列举一些生活中的随机事件、不可能事件和必然事件的例子吗？
概 率
在的条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生，那么，它发生的可能性 究尽有多大？能否用数值进行刻画呢？这是我们下面要讨论的问题。 请看下面的两个试验：
1、别标有
1、
2、
3、
4、5的5根纸签中随机的抽取一根，抽出的签上的号 码有5种可能，即
1、
2、
3、
4、5由于纸签的形壮，大小相同，又是随机抽取，所以每个号码抽到的可能性大小相等，都是全部可能结果总数的1/5。
2、掷一枚骰子，向上的一面的点数有6种可能，即
1、
2、
3、
4、
5、6由于 骰子的形壮规则、质地均匀、又是随机掷出，所以出现的每种结果的可能性大小相等，都是全部可能结果总数的1/6。上述试验中的数值1/5和1/6反应了试验中相应随机事件发生可能性的大小。
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性的大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。
经过进一步的研究发现，上述试验有两个共同的特点：①每一次试验中，可能出现的结果只有有限个。②每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。
对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果数在全部可能的结果数中所占的比，分析出事件发生的概率，例如，在上面的抽签事件中，抽到1号这个事件包含一种可能的结果，在全部5种可能的结果中所占的比为1/5，于是这个事件的概率
P（抽到1号）=1/5 抽到偶数号这个事件包含抽到
2、4这两种可能结果，在全部5种可能结果中所占的比为2/5，于是这个事件的概率
P（抽到偶数号）=2/5 一般地，如果在一次试验中，通过对试验结果以及对试验本身的分析，我们就可以求出相应事件的概率，在P（A）=m/n 中，由m和n 的含义可知0≤m≤n，进而有0≤m/n≤1，因此，0≤P(A)≤1 特别地：当A为必然事件时，P(A)=1
3 当A为不可能事件时，P(A)=0 当A为随机事件时，0＜P(A)＜1 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。
例
1、掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下面事件的概率。 ① 点数为2。 ② 点数为奇数。 ③ 点数大于2且小于5。
解：掷一个骰子时，向上一面的点数可能为
1、
2、
3、
4、
5、6共6 种，这些点数出现的可能性相等。
P(点数为2)=1/6 P(点数为奇数)=3/6 P(点数大于2且小于5)=2/6 例
2、如图是一转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分别为黄、绿、蓝三种颜色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），
求下列事件的概率：①指针指向红色。②指针指向红色或黄色。③指针不指向红色。
解：问题中可能出现的结果有7种，即指针可能指向7个扇形中的任何一个，由于这是7个相同的扇形，转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等。
P(指针指向红色)=3/7 P(指针指向红色或黄色)=5/7 P(指针不指向红色)=4/7 4
