初三数学圆教案含答案

发布时间：2020-03-02 11:20:43 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

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第七章圆

一.本周教学内容：

第七章圆

三圆和圆的位置关系

［学习目标］

1.掌握圆和圆的各种位置关系的概念及判定方法； 2.理解并掌握两圆相切的性质定理；

3.掌握相交两圆的性质定理，并完成相关的计算和证明；

4.理解圆的内、外公切线概念，会计算内、外公切线长及两公切线夹角；并能根据公切线的条数确定两圆的位置关系；

5.通过两圆位置关系的学习，进一步理解事物之间是相互联系和运动变化的观点，学会在变化中寻找规律，培养综合运用知识的能力。

［知识回顾］

1.圆与圆的位置关系的判定方法及图形特征两圆位置关公共点个数系外离 0 相对关系一圆在另一圆外部除公共点外，一圆在另一圆外部数量关系 d>R+r 公切线条数 4 外切 1 d=R+r 3 R－r

2.两圆相切的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。 3.两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 4.设两圆公切线长L，两圆半径R、r，两公切线的夹角α

则有：外公切线长L外d2(Rr)2这时sin2Rr d亿库教育网

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内公切线长L内d2(Rr)2这时sin2Rr d

【典型例题】

例1.已知⊙O

1、⊙O2半径分别为15cm和13cm，它们相交于A、B两点，且AB长24cm，求O1O2长。

分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1.两圆心在公共弦的两侧； 2.两圆心在公共弦的同侧；

因此，我们必须分两种情况来解。

解：（1）连结O1O2交AB于C （2）连结O1O2并延长交AB于C ∵⊙O1 ⊙O2交于A、B两点 ∴O1O2⊥AB，且AC1AB12cm 2 在Rt△AO1C中，由勾股定理： O1CO1A2AC21521229(cm)

在Rt△AO2C中，由勾股定理： O2CO2A2AC21321225cm

∴如图（1） O1O2=O1C+O2C=14cm

如图（2） O1O2=O1C－O2C=4cm 亿库教育网

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例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。

例2.如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AC切⊙O2于C交⊙O1于B，AP交⊙O2于D，求证：

（1）PC平分∠BPD （2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。

证明：（1）过P点作公切线PM交AC于M点

∵AC切⊙O2于C ∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC 在⊙O1中，由弦切角定理：

∠BPM=∠A ∵∠CPD为△APC的外角

∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC ∴PC平分∠BPD。

（2）两圆内切时仍有这样的结论。

证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M

∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP ∴∠MPC=∠MCP ∴∠MPB=∠A ∵∠MCP为△CPA的外角 ∠MCP=∠CPA+∠A 又∠MPC=∠MPB+∠BPC ∴∠BPC=∠CPA 即PC平分∠BPD。

在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。

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从这道题我们还可以联想到做过的两道题，

①当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PC⊥AD，即我们书上的例题（P129 例4）

②当APD经过O

1、O2时，PB⊥AC，PC平分∠BPD的证法就更多了。

例3.如图，以FA为直径的⊙O1与以OA为直径的⊙O1内切于点A，△ADF内接于⊙O，DB⊥FA于B，交⊙O1于C，连结AC并延长交⊙O于E，求证：

（1）AC=CE （2）AC=DB－BC

分析：（1）易证

（2）由（1）我们可联想到相交弦定理，延长DB交⊙O于G：即AC·CE=DC·CG 由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。

证明：（1）连结OG，延长DB交⊙O于G，

∵OA为⊙O1直径 ∴OC⊥AE 在⊙O中 OC⊥AE ∴AC=CE （2）在⊙O中， ∵DG⊥直径AF ∴DB=GB 由相交弦定理：AC·CE=DC·CG=（DB－BC）（BG＋BC）

∵AC=CE ∴AC＝DB－BC

本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。

例4.如图：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1切线交⊙O2于点C，过点B作两圆割线交⊙O1和⊙O2于D、E，DE与AC相交于P点，

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（1）求证：PA·PE=PC·PD （2）当AD与⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。

分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。

（2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出AD∥CE，这样，问题就解决了。

（1）证明：∵PA切⊙O1于A，PBD为⊙O1割线 ∴PAPB·PD2PA2∴PB

PD 在⊙O2中由相交弦定理 PA·PCPB·PE∴PBPA·PC

PEPA2PA·PC ∴PDPE （2）连结AB、CE

∴PA·PEPC·PD

∵CA切⊙O1于A AB为弦 ∴∠CAB=∠D ∵⊙O2中∠CAB=∠E ∴∠D=∠E ∴AD∥CE ∴PCPEPAPD∵PC2PA6PD12

∴PEPC·PD2×124

PA6∴PB2×63 4 由相交弦定理：PB·PEPC·PA ∴BE=3+4=7 DB=12－3=9 由切割线定理 AD=DB·DE=9×(9+7) ∴AD=12 亿库教育网

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解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。

例5.如图，已知：⊙O与⊙B相交于点M、N，点B在⊙O上，NE为⊙B的直径，点C在⊙B上，CM交⊙O于点A，连结AB并延长交NC于点D，求证：AD⊥NC。

分析：要证AD⊥NC，我们可证∠C+∠CAD=90°或∠DBN+∠BND=90°，这里可用到的是①NE为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC，而∠ECM=∠ENM，又可利用圆内接四边形的性质得∠ENM=∠CAD，从而得证。

证明：连结EC ∵EN为直径 ∴∠ECM+∠ACD=90°

∵四边形ABNM内接于⊙O ∴∠CAD=∠MNE ∵∠ECM=∠MNE ∴∠CAD+∠ACD=90°

∴∠ADC=180°－90°=90°

∴AD⊥NC 从证明中可见点B在⊙O上这一条件的重要性。

例6.如图：已知△DEC中DE=DC，过DE作⊙O1交EC、DC于B、A，过A、B、C作⊙O2，过B作BF⊥DC 于F，延长FB交⊙O1于G，连DG交EC于H，

（1）求证：BF过⊙O2的圆心O2

（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的长。

分析：要证BF过⊙O2圆心O2，只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长BF交⊙O2于M，连CM，去证∠MCA+∠ACB=90°，而连AB后可得∠MCA转移到∠MBA，再由圆内接四边形的性质转移到∠CDG，而DH⊥EC，于是可证。

（1）证明：延长BF交⊙O2于M，连MC、AB ∵四边形ABGD内接于⊙O1 ∴∠ABM=∠ADG ∵DG⊥EC于H ∴∠ADG+∠DCH=90°

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∵∠ABM=∠ACM ∴∠ADG=∠ACM ∵∠ACM+∠ACB=90° ∴BM为⊙O2直径

∴BF过⊙O2的圆心O2。

（2）解：∵四边形ADEB内接于⊙O1

∴∠CAB=∠E ∵DE=DC ∠E=∠DCB ∴∠CAB=∠ACB ∴AB=BC=4 ∴等腰△CBA∽△CDE ∴CDBC45 ECAC4.86 ∴设CD=5k，EC=6k ∵DH⊥EC DE=DC ∴EC=2EH=12=6k，∴k=2 ∴CD=10 在Rt△DHE中，由勾股定理： DH102628

∵BH=6－4=2 由相交弦定理：DH·HG=EH·HB ∴HGEH·HB2×6315.

DH82 ∴DG=8+1.5=9.5

例7.如图：⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆外公切线，AB与O1O2延长线交于

C点，AP延长线上一点E，满足条件APACABAEPE交⊙O2于点D，

（1）求证：AC⊥EC （2）求证：PC=EC (3)若AP4PD （1）证明：连结BP ∵94求BC的值 ECAPACABAE∠A∠A

∴△APB∽△AEC ∴∠ACE=∠APB 由例4结论得∠APB=90°

∴∠ACE=90° 即AC⊥EC 亿库教育网

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（2）证明：连结BD，

∵∠APB=∠BPD=90° ∴BD为直径

∵AB为外公切线 B为切点 ∴BD⊥AC于B ∵AC⊥EC ∴BD∥EC ∴△PO2D∽△PCE ∴PC=EC （3）解：设PC交⊙O2于F，连结BF 在Rt△ABD中 BP⊥AD ∴由射影定理：BPAP·PD4× ∴BP=3 ∵CB切⊙O2于B ∴∠CBF=∠BPC ∠ABP=∠BFP ∵∠BCF=∠PCB ∴△BCF∽△PCB∴ ∵PC=EC ∴

2O2DEC1 O2PPC9 4BCBFBP3ctg∠BFPctg∠ABP PCBPAP4BCBC3 ECPC4亿库教育网

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