姓名:__________大连理工大学
学号:__________ 课 程 名 称: 数学分析试卷: A考试形式:闭卷 学院(系):_______授课院(系):_数学___ 考试日期: 2006 年1月 5 日试卷共 5 页
_____ 级_____ 班
装
订
线
一.简答题(20分).下列命题如果正确,请给予证明;如果错误,请给出反例. 1. 集合xsinx|x0,1有界.2.如果limnan2,则limnan2.3.如果fx在0,2上连续,则fx在0,2上有界.1
4.如果函数fx在点x0可导,则fx在点x0一定连续.
二.证明下列命题(12分).
ynA0,1.利用极限定义证明:如果lim则存在自然数N,当nN时,yn0. n
2.设函数fx在点x0的邻域Nx0,中有定义,在点x0可导且有
fxfx0,xNx0,,
证明:fx00.
三.计算下列各题(20分).
1. 设fxcos3(sinx), 求fx.
2.设fx,gx可导,且fx0,gx0,yxgxfx,求dy.
xaaxa0.3.计算极限 limxaxa
4.写出函数fxexsinx的马克劳林(Maclaurin)公式到5阶. 2
四.完成下列各题(24分).
1.叙述函数fx在点a以实数A为极限的定义,并证明limx1
x2,x1 2.求A,B使函数fx ,在x1处可导 AxB,x12x35. 2x3
3.叙述函数fx在区间I上一致连续的否定定义,并证明函数fxcos在0,1上不一致连续.
gx存在,求证gx在2,上一致连续. 4.设函数gx在2,上连续,且xlim1x
五.证明下列各题(24分).
1.设fx在a,b上连续,且limfxA0,limfxB0,证明存在a,b使xaxb
得f0.
2.设函数fx在[a,b]上连续,在a,b内有二阶导数,fafb0, 且存在ca,b使得fc0,证明存在a,b使得f0.
3.证明不等式:ln(1x)x(x1).
4.设函数fx在[0,1]上连续,在0,1内可导,f00,并满足fxfx,x0,1, 证明:fx0(x0,1).