数学分析的论文范文（精选多篇）

推荐第1篇：数学分析论文

数学与统计学院

期中考试（论文）

学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：姓名：牟景峰

14级本科一班

2015年11月11日

讨论n元函数的极限的证明与计算方法

牟景峰

（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）

【摘要】 联系一元函数定义、极限、以及极限的证明方法和计算方法讨论得出多元函数极限的证明和计算方法。

【关键词】 n元函数 极限 证明 计算方法

引言

在此之前我们已经学过一元函数，把一元函数的主要概念和极限推广到多元函数上是至关重要的，多元函数与一元函数相比，多元函数定义域的复杂性使得对讨论多元函数相关问题带来不便，因此，我们要在讨论多元函数时既要注意的多元函数与一元函数的区别，也要注意到它们的联系。这里我们将讨论两个问题，分别是多元函数极限的证明和计算方法。在此之前，我们首先给出多元函数的概念。

一、n元函数的概念

1、n维欧氏空间

众所周知，实数轴上的点与全体实数一一对应。在确定的坐标系下平面上的点与所有有序实数对（x,y）一一对应，空间中点与所有有序三元实数组（x,y,z）一一对应。一般来说，定义所有有序n元实数组(x1,x2,…,xn)所组成的集合为n维欧几里德（Euclid）空间，简称n维欧氏空间，记为Rn，即

Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn为实数}

2、n元函数的概念

⒈有了前面n维欧氏空间的概念我们就可以建立n元函数的概念了。我们学过一元和二元函数，将其推广到n（≥3）元函数，就没有什么原则上的困难。为此我们先建立n维欧氏空间

Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn为实数} 也就是说，Rn是全体有序的n个实数组的集合，把每个n元实数组看成Rn空间的点X=（x1，…，xi，…，xn），xi是它的第i（1≤i≤n）个坐标.Rn中的点X=（x1，…，xn）与Y=（y1,…,yn），当且仅当xiyi（1≤i≤n）时，才有X=Y成立。Rn的任何子集叫做n维点集。这样，n元函数不过是由n维点集到实数集的映射罢了。 ⒉设DRn,MR，fD×M,且对每个X=（x1，…，xn）D，有唯一确定的数uM与之对应，使（X,u）=（x1，…，xn；u）f，则称f为定义于D,取值于M的n元函数。记作

f:D→M；或u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）D，

D称为函数f的定义域，M称为f的取值域。

n元函数u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）D的图像为集合 S={（x1，…，xn；u）{u=f(x1，…，xn),（x1，…，xn）D}Rn1}.当n≥3时，S就没有直观的几何表示，我们称它为Rn1空间的超曲面。

二、n元函数的极限的证明

00设f(X)是n元函数，D称为其定义域，x0=（x1,x2,…,x0n）是D的聚点。对于实数A,如果任给﹥0，存在﹥0，使得当x属于D且0﹤|x﹣x0|﹤时，就有

|f(X)﹣A|﹤，

⑴

则称A是xx0时f(X)的极限，记为

xx0limf(X)=A.

⑵

特别地，当n等于2时，也记作limf（x1，x2）=A 0xx10xx20注：U0（x0，）={（x1，…，xn）||xi﹣x1|﹤，i=1,2,…,n且（x1，x2，…，xn）≠（x,x,…,x）}或U（x0，）={（x1，…，xn）|0﹤01020n0(xk1nk02xk)﹤} 据上定义，要证，limf(X)=A，只需证对任意的﹥0，存在﹥0，当DU0（x0，xx0）X时，有，

|f(X)﹣A|﹤。

这里找关键，通常是从不等式⑴入手，通过解⑴得到要找的，大家知道这往往是很困难的，常常要考虑函数f(X)本身的性态和一些解题技巧。 一般地，证明⑵采取适当放大不等式⑴的方法。

000|f(X)﹣A|≤…≤|x1x1|·|g1（x）|+|x2x2|·|g2(x)|+…+|xnxn|·|gn（x）| ⑶ (ⅰ)若|gi（x）|=M,（i=1,2,…,n）即gi（x）皆为常数，则取 M=max{M1,M2,…,Mn} 任意的﹥0取nM﹥0,当DU0（x0，）X时，有

00|f(X)﹣A|≤…≤|x1x1|M1+…+|xnxn|Mn﹤

M1M2Mn++…+nMnMnM≤即，limf(X)=A xx0

（ⅱ）若存在1﹥0，使gi（x）（i=1,2,…,n）在U0（x0，1）D内有界，即

当M﹥0,使任意的XU0（x0，1）D有 |gi（x）|=M,（i=1,2,…,n） 于是，当XU0（x0，1）D时，有

00|f(X)﹣A|≤M（|x1x1|+…+|xnxn|）

任意的﹥0，取=min（

，1）XU0（x0，1）D时，有 nM00|f(X)﹣A|≤M（|x1x1|+…+|xnxn|）=

即证明了：limf(X)=A xx0现在的问题是将如何将|f(X)﹣A|放大为满足（ⅰ）或（ⅱ）的不等式⑶，上面主要给出了证明的主要思想，至于说具体做法，要根据不同的函数来定。一般都是用直接放大法和变量替换，这里就不再重复，下面介绍一种利用代数方法导出的一种证明方法——多元多项式的带余除法（此方法仅适用于证明多元多项式的极限）。

由一元多项式的带余除法理论不难得到如下结果。

n00R定理1 设f(x1，…，xn)为n元多项式，则对任意的x0=（x1），,x2,…,x0n若存在多项式f1(x1，…，xn)、f2(x2，…，xn)、…、fn(xn)及常数M，使成立

000f(x1，…，xn)=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+（xnxn）fn(xn)+M

⑷

0事实上，应用一元多项式的带余除法，先用（x1x1）去除f(x1，…，xn)可得到

0f(x1，…，xn)=（x1x1）f1(x1，…，xn)+g1(x1，…，xn) 0再用x2x2去除g1(x1，…，xn)可得到

0g(x2，…，xn)=（x2x2）f2(x2，…，xn)+g2（x3，…，xn）

0继续用x3x3去除g2（x3，…，xn）可得

0）f3（x3，…，xn）+g3（x4，…，xn） g2（x3，…，xn）=（x3x3……

0）fn(xn)+M gn1（xn）=（xnxn于是

000f(x1，…，xn)=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+（xnxn）fn(xn)+M

00推论1 n元多项式f(x1，…，xn)可表示为

⑷式f（x1,x2,…,x0n）=M 推论2 若n元多项式f(x1，…，xn)可表示为

⑷式，则表示式是唯一的。 定理2 若n元多项式f(x1，…，xn)可表示为

⑷式，则

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=M 证明：由假设，⑷式成立，首先任意取定1﹥0，则f1（xi,xi1,…,xn），（i=1,2,…,n）00在点（x1,x2,…,x0n）的1空心邻域内有界，即存在K﹥0,使|f1（xi,xi1,…,xn）|

00≤K［|xixi0|﹤1，i=1,2,…,n.（x1，x2，…，xn）≠（x1］ ,x2,…,x0n）00此时，由⑷式得|f(x1，…，xn)﹣M|≤K（|x1x1|+…+|xnxn|）

，1），当|xixi0|﹤，且（x1，x2，…，xn）

nK00x≠（x1）时，有|f(，…，)﹣M|﹤K（，…，）= x,x2,…,x01nnnKnK任意的﹥0，取=min（从而证明了

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=M

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)定理3 若f(x1，…，xn)为n元多项式，且则f(x1，…，xn)﹣A可表示为

limf(x1，…，xn)=A，

00f(x1，…，xn)﹣A=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+0（xnxn）fn(xn)其中f1(x1，…，xn)，f2(x2，…，xn)，…，fn(xn)为多项式。 0证明：由定理1多项式f(x1，…，xn)﹣A可表示为f(x1，…，xn)﹣A=（x1x1）00）f2(x2，…，xn)+…+（xnxn）fn(xn)+M f1(x1，…，xn)+（x2x2据定理2，

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)lim［f(x1，…，xn)﹣A］=M，又因为

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=A，从而，M=0，即本定理为真。

从以上结果我们就得到了用定义证明多元多项式极限的方法。

三、n元函数极限的计算方法

我们对求一元函数的极限研究的比较多，找到一些十分有效的方法，但对多元函数求极限的方法了解不够多。这里以二元函数为例介绍几种求极限的方法。

1、定义法

通过观察或求方向极限，求出一个数值，然后再用二元函数极限的定义证明该数值介绍二元函数的极限。 例1 求(x,y)(0,0)limxy(x2y2) 22xy解：当（x，y）沿y轴趋向于（0，0）时，此方向极限为0.下面证明0就是所求的极限值。

xy(x2y2)x2y2因为|﹣0|=xy·2≤xy

x2y2xy2所以任给﹥0，取S=，当x﹤S,y﹤S,（x，y）≠（0，0）时，

xy(x2y2)xy(x2y2)有|﹣0|≤xy﹤·=，故lim=0 2222(x,y)(0,0)xyxy

2、四则运算法

例2 求解：所以xy

(x,y)(1,2)x2xyy2lim(x,y)(1,2)(x,y)(1,2)lim(xy)3,lim(x2xyy2)3

xy=1.(x,y)(1,2)x2xyy2lim

3、迫敛法

例3 求(x,y)(0,0)limx2y2 22xyxy|≤

x2y222xy解：因为当（x，y）≠（0,0）时，有0≤|而lim1(x2y2)12=xy 222xy(x,y)(0,0)1x2y2xy=0，所以lim=0 22(x,y)(0,0)2xy

4、利用重要极限法

例4 求解：(x,y)(0,1)limsinxy x(x,y)(0,1)limsinxysinxysinxy=lim（·y）=lim·limy=1·1=1 (x,y)(0,1)(x,y)(0,1)(x,y)(0,1)xxyxy

5、有理化法

如要求极限的分子或分母中含有根式，将分子或分母有理化，常可解决问题。 例5

(x,y)(0,0)limx2y21xy1=22

解：因为x2y21x2y2122(x2y2)(1x2y21)(1x2y2)21lim=1x2y21

而(x,y)(0,0)lim（1xy1）=2，所以

x2y21xy122(x,y)(0,0)=2

6、等价量代换法

例6

(x,y)(0,0)limsin(x5y5)

xy解：因为当（x，y）（0,0）时，x5y50,， 所以sin(x5y5)~x5y5..故 lim(x,y)(0,0)sin(x5y5)x5y5=lim (x,y)(0,0)xyxy=(x,y)(0,0)lim(xy)(x4x3yx2y2xy3y4)

xy=(x,y)(0,0)lim（x4x3yx2y2xy3y4）

=0

7、取对数法

如要求的极限形如lim(x,y)(x,g)种形式，则通常应用先取对数而后求极限的方法。 例7 求(x,y)(0,0)lim(x2y2)x22y

2222解：令Z=(xy)22x2y2x2y22222，则有㏑Z=xylnxy2，xylnxy2xyx2y2=0

x2y21lntt=lim（-t）=0.=limx2y2lnx2y2=limt01t01t02tt由例3结果得(x,y)(0,0)lim又令t=x2y2时，(x,y)(0,0)lim所以(x,y)(0,0)lim㏑Z=0，即

(x,y)(0,0)lim(x2y2)x22y=e0=1.

8、设辅助未知法

适当的设辅助未知数，将二元函数转化为一元函数，然后再用一元函数求极限的方法求值。 例8 求

10xyexy

x,y-∞,∞lim,y∞时，有t∞解：设x+y=t，则当x∞，

所以x,y-∞,∞limxy10exyt10=limte=limt t∞t∞e10t10!10t910xylimlimlim=……==0，即=0 xyettt∞t∞x,y-∞,∞ee

9、极坐标换元法

例9 求(x,y)(0,0)limxyxy22

xrcosxy解：设，有r=x2y2,当（x，y）（0，0）时，有r0，又

x2y2yrsin=rcossin，且对任意的，均有sincos≤1， 所以(x,y)(0,0)limxyxy22=0.

10、转换法

转换法是指将多元函数求极限转化为一元函数求极限的方法.例10 求x,y-∞,∞limx2y2exy

解:因为x2y2exy=(x2ex)ey+y2eyex, 所以x,y-∞,∞limx2y2exy=

x,y-∞,∞lim(x2ex)ey+

x,y-∞,∞limy2eyex

2yxlimx2eylimey+limyelime=0+0=0.x∞x∞y∞y∞以上我们主要介绍了二元函数极限的一些求法,但是,在一般情况下,要求一个二元或更多元函数的极限问题.需综合应用上述各有关方法.

参考文献

［1］黄玉民，李成章.数学分析（下册）［M］.北京：科学出版社，1999（南开大学数学教学系列丛书）

［2］郑宪祖，王仲春，蔡伟，田学正，辛发元，刘夫孔，王利民.数学分析（下册）［M］陕西：陕西科学技术出版社，1985 ［3］刘玉琏，吕凤，范德新，王大海.数学分析第二版（下册）［M］.北京：高等教育出版社，1994 ［4］华东师范大学数学系.数学分析（下册）［M］.北京：高等教育出版社，2010 ［5］张天德，孙书荣.华东师大第四版（下册）辅导及习题精解.延边大学出版社 

推荐第2篇：数学分析课程论文选题

1.初等函数的定义及分类。2.分段函数的性质及应用。 3.复合函数的性质研究。

4.数列极限定义（N）的注。5.极限求法综述。

6.利用公理（实数连续性）证明极限的若干技巧。7.利用两边夹定理证明极限的若干技巧。 8.极限证明方法综述。

9.连续函数的若干等价定义。

10.函数一致连续性的等价性及性质。

11．闭区间上的连续函数的性质及其应用。

12．初等函数的连续性及对中学数学教学的指导作用。 13．实数的构造理论。

14．闭区间套定理的证明、推广及应用。 15．有限覆盖定理的证明、推广及应用。 16．实数的连续性定理的等价性。 17．上、下确界的性质及应用。 18．对各种导数的研究。

19．微分在近似计算中的应用。 20．（高阶导数）莱布尼兹公式的应用及推广。 21．拉格朗日中值定理的证明及应用。 22．柯西中值定理的证明及应用。 23．泰勒公式的证明及应用。

24．中值定理“中间值”的渐进性。 25．罗尔中值定理的证明及应用。 26．泰勒公式在近似计算中的应用。 27．利用导数证明不等式。 28．凸函数的等价定义。

29．凸函数在不等式证明中的应用。 30.函数的最值研究。（一元、多元） 31．函数的极值研究。（一元、多元） 32．常用的几个函数的图象及性质。（正态分布的密度函数、函数……） 33．不定积分计算中的若干技巧。 34．分部积分法中U、V的选取技巧。 35．换元积分法中的换元技巧。

36．有理函数的不定积分计算中的若干技巧。 37．三角函数的不定积分计算中的若干技巧。 38．黎曼积分的定义。 39．可积准则的等价性。

40．积分变限函数的若干应用。 41．积分等式证明的若干技巧。 42．积分不等式证明的若干技巧。 43．平面图形的面积的计算方法。 44．积分中值定理的证明及推广。 45．积分中值定理中间值的渐进性。 46．（不同旋转轴的）旋转体体积的计算方法。 47．微积分在物理学中的应用。 48．微积分在经济学中的应用。 49．正项级数判别法综述。 50．绝对收敛级数的若干性质。 51．一致收敛性质及其判别法。 52．和函数的分析性质及其应用。 53．将函数展开为幂级数的若干方法。 54．幂级数的应用。

55．Fourier级数收敛定理的证明及应用。 56．闭区间套定理的推广及其应用。

57．二元函数的极限、连续、偏导数、可微性之间的关系。 58．方向导数的性质及其应用。 59．多元函数极值的充要条件。 60．Lagrange乘数法及应用。 61．最小二乘法及应用。 62．隐函数的存在性。

63．广义积分的收敛判别法。 64．函数的性质及其应用。 65．B函数的性质及其应用。

66．含参变量有限积分的性质及应用。 67．含参变量无穷积分的性质及应用。 68．二重积分的计算方法。 69．三重积分的计算方法。 70．重积分在几何中的应用。 71．重积分在物理学中的应用。 72．分片函数的重积分的计算方法。 73．分片函数的可微性及其应用。 74．第一型曲线积分的性质及其应用。 75．格林公式及其应用。 76．奥高公式及其应用。

77．奇偶对称性在重积分中的应用。 78．奇偶对称性在曲线积分中的应用。 79．代换技巧在曲线积分中的应用。 80．第二型曲线（面）积分的计算方法。 81．斯托克斯公式及其应用。

推荐第3篇：数学分析

360《数学分析》考试大纲

一． 考试要求：掌握函数，极限，微分，积分与级数等内容。

二． 考试内容：

第一篇 函数

一元与多元函数的概念，性质，若干特殊函数，连续性。 第二篇 极限

数列极限，一元与多元函数极限的概念及其性质，实数的连续性（确界原理，单调有界原理，区间套定理，聚点定理，有限覆盖定理等）。

第三篇 微分

一元与多元函数导数（偏导数）与微分的概念，性质，公式，法则及应用；函数的单调性与凸性，极值与拐点，渐进线，函数作图；隐函数。

第三篇 积分

不定积分的概念，性质，公式，法则；定积分的概念，性质，公式，法则及应用；反常积分与含参积分；重积分与曲线曲面积分。 第四篇 级数

数项级数，函数项级数，幂级数与傅立叶级数的概念，性质，公式，法则及应用。

参考书目：华东师范大学数学系，数学分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。

推荐第4篇：数学分析

《数学分析》考试大纲

一、本大纲适用于报考苏州科技学院基础数学专业的硕士研究生入学考试。主要考核数学分析课程的基本概念、基本理论、基本方法。

二、考试内容与要求

(一) 实数集与函数

1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;

2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理;

3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；

4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

要求：了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式；弄清区间和邻域的概念, 理解确界概念、确界原理，会利用定义证明一些简单数集的确界；掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。

(二)数列极限

1、极限概念；

2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；

3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。

要求：逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用-N语言处理极限问题；掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能运用；了解数列极限柯西准则,了解子列的概念及其与数列极限的关系；了解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系.(三)函数极限

1、函数极限的概念，单侧极限的概念；

2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；

3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），柯西准则；

4、两个重要极限；

5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。

要求：理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用-, -X语言处理极限问题；了解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极

限来处理极限问题。

(四)函数连续

1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；

2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；

3、初等函数的连续性。

要求：理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。

（五）导数与微分

1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；

2、求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；

3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；

4、高阶导数与高阶微分。

要求：理解和掌握导数与微分概念，了解它的几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数；理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；了解导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。

（六）微分学基本定理

1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限

（七）导数的应用

1、函数的单调性与极值；

2、函数凹凸性与拐点.要求：了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法，能利用函数的特性解决相关的实际问题。

（八）实数完备性定理及应用

1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；

2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；

3、上、下极限。

要求：了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明；理解聚点的概念，上、下极限的概念。

（九）不定积分

1、不定积分概念；

2、换元积分法与分部积分法；

3、几类可化为有理函数的积分；

要求：理解原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。

（十）定积分

1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；

2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；

3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；

4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。

要求：理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类，会一些较简单的可积性证明；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。

（十一）定积分的应用

1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；

2、定积分在物理上的应用：功、液体压力、引力。

要求：重点掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；在理解并掌握\"微元法\"。

（十二）数项级数

1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；

2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；

3、一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

要求：理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念；掌握收敛级数的性质；能够应用正项级数与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性；熟悉几何级数调和级数与p级数。

（十三）函数项级数

1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；

2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。

要求：掌握收敛域、极限函数与和函数一致敛等概念；掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明)；能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。

（十四）幂级数

1、幂级数：阿贝尔定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；

2、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。

要求：了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念；掌握幂级数的性质；会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域；会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式

（十五）付里叶级数

1、付里叶级数：三角函数与正交函数系, 付里叶级数与傅里叶系数, 以２ 为周期函数的付里叶级数, 收敛定理；

2、以2L为周期的付里叶级数；

3、收敛定理的证明。

要求：理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念；掌握傅里叶级数收敛性判别法；能将一些函数展开成傅里叶级数；了解收敛定理的证明。

（十六）多元函数极限与连续

1、平面点集与多元函数的概念；

2、二元函数的极限、累次极限；

3、二元函数的连续性：二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。要求：理解平面点集、多元函数的基本概念；理解二元函数的极限、累次极限、连续性概念，会计算一些简单的二元函数极限；了解闭区间套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。 （十七）多元函数的微分学

1、可微性：偏导数的概念 ，偏导数的几何意义，偏导数与连续性；全微分概念；连续性与可微性，偏导数与可微性；

2、多元复合函数微分法及求导公式；

3、方向导数与梯度；

4、泰勒定理与极值。

要求：理解并掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念及其计算；弄清全微分、偏导数、连续之间的关系；了解泰勒公式；会求函数的极值、最值。

（十八）隐函数定理及其应用

1、隐函数：隐函数的概念，隐函数的定理，隐函数求导举例；

2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式；

3、几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线；条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。

要求：了解隐函数的概念及隐函数的存在定理，会求隐函数的导数；了解隐函数组的概念及隐函数组定理，会求隐函数组的偏导数；会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程；了解条件极值概念及求法。

（十九）重积分

1、二重积分概念：二重积分的概念，可积条件，可积函数，二重积分的性质；

2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；

3、含参变量的积分；

4、三重积分计算：化三重积分为累次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球坐标变换）；

5、重积分应用：立体体积，曲面的面积，物体的重心，转动惯量；

6、含参量非正常积分概念及其一致敛性：含参变量非正常积分及其一致收敛性概念，一致收敛的判别法(柯西准则，与函数项级数一致收敛性的关系，一致收敛的M判别法)，含参变量非正常积分的分析性质；

7、欧拉积分：格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。

要求：了解含参变量定积分的概念与性质；熟练掌握二重、三重积分的概念、性质、计算及基本应用；了解含参变量非正常积分的收敛与一致收敛的概念；理解含参变量非正常积分一致收敛的判别定理，并掌握它们的应用；了解欧拉积分。

（二十）曲线积分与曲面积分

1、第一型曲线积分的概念、性质与计算，第一型曲面积分的的概念、性质与计算；

2、第二型曲线积分的概念、性质与计算，变力作功，两类曲线积分的联系；

3、格林公式，曲线积分与路线的无关性, 全函数；

4、曲面的侧，第二型曲面积分概念及性质与计算，两类曲面积分的关系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关性；

6、场论初步：场的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算；了解两类曲线积分的关系和两类曲面积分的关系；熟练掌握格林公式的证明及其应用，会利用高斯公式、斯托克斯公式计算一些曲面积分与曲线积分；了解场论的初步知识。

三、主要参考书

《数学分析》（第三版），华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2004年。 《数学分析中的典型问题与方法》，裴礼文，高等教育出版社，1993年。

四、主要题型：

填空题，选择题，计算题，解答题，证明题，应用题。

推荐第5篇：数学分析学习心得

数学分析学习心得

数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了 300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪 50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。

我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要 。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程 现代计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课：（1）矩阵理论（2）随机过程（3）信息论与编码（4）现代数字信号处理（5）通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学 。（6）模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学 。大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学， 专业基础课： 物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理 西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课： 中级微观经济学（数学） 中级宏观经济学 中国市场经济研究 经济分析方法（数学） 经济理论与实践前沿 金融理论与实践 必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，（理论、微观）经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程！数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！基础中的基础！

正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习中的困难。在本书中，以有界数集的确界定理作为出发点，不加证明地承认该定理，利用它证明了单调有界数列的极限存在定理，然后逐步展开证明了其他几个基本定理。定理虽易记诵，但对于理解的要求甚高，举例来说，在课后习题中有这样一题，证明单调有界函数存在左右极限。这题着实将我难住许久许久，尽管该题在数学分析中只是初级的难度，但初学者的我起初甚是无解。写到这里，我又发现我的一个问题，当然这个问题也是共性的。许多同学在学习数学分析的过程存在着这样的问题：上课能听懂，课后解题却不知所措。这一问题的产生由于一方面对基本概念、基本定理理解得不够深入，对定理的条件、结论理解得不够贴切，对各部分知识之间的联系区别不甚清楚。在极限续论中，由于内容相当抽象，在老师一次次的详细讲解下，上课基本能听懂，但这就可能是大学与高中最大的区别，特别是我的专业要求——理论要求，自己不反思，不更深刻去想，去悟，想学好很难，所以另一方面，做题太少，类型太少，并且对做过学过的题目缺少归纳总结，因而不清楚常见的题目都有哪些类型，也不明了各类型题目常常采用什么方法，用什么知识去解释这些理论问题，总之，是心中无数。著名数学家、教育家乔治·波利亚说过：“解题可以是人的最富有特征性的活动······假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应该在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他问题时，能起到指

导的作用。”特征 ，的确每位老师在讲课时都会将同类题一起讲解，这对我们的帮助是相当大的，在寒假，我重温了一下我的数学分析书和相关资料，从中，我发现在特征中显现出我曾经并未发现的，并未熟知的，甚至将我某些一学期都未曾搞清的问题驾驭自如，触类旁通！

尽管我们要把理论学好学扎实，但我自己也要培养实际操作能力，在本书与高等数学中都有积分计算，某些积分计算往往是难到要做好几小时的，在王老师的推荐下买了吉米多维奇数学分析习题集题解，很有用，这书就好比是字典，题典，有不会，我就向它寻求适当的解法，有时，闲暇之余还会与同寝室同学共同研究方法的优劣，我发现我的解法往往麻烦繁琐。蒋科伟，吕孙权的做法有时可作为我修改的借鉴，其实，作为一名数学专业的学生来说，应该具有团队配合的意识，加强对实际应用知识的学习，更多关注学科的变化，培养对问题的思考。在研究积分题的过程中，我巩固了所学的积分概念，有效地提高我的运算能力，特别是有些难题还迫使我学会综合分析的思维方法。写到这我想起高中老师曾讲过在不等式证明中的综合法，原来在高中我已接触了大学知识，忽然又发现高中老师讲过许多上海高考都不考的知识，都是对我大学学习的良好铺垫，受益匪浅。实践出真知，至理啊！在自学高等数学期间也有过困难，有时感到学的太多，杂了。遇到困难，幸好有数学分析这门课给与理论支持！在统计班同学考试资料的支持下，我还是多少学到点东西与解题技巧的。这很是让我感到欣慰啊。

现在是科技的时代，在掌握好基本运算后我们接触了数学软件——Mathematica。该软件是应用广泛的数学软件，它不仅可以进行各种数值运算，而且可以进行符号运算、函数作图等。此软件使我理解导数、微分概念，理解泰勒公式，函数的N次近似多项式及余项概念，了解N次近似多项式随N增大一般是逐步逼近原函数的结果。熟悉了Mathematica数学软件的求导数和求微分命令，以及求n阶泰勒公式命令和求函数的n次近似多项式命令。不仅如此，我还通过它理解了不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的简单近似计算方法。这些正如诺基亚的广告词：科技以人为本。有了这些，对于我们来说，计算不再是困难，在高等数学的计算部分的自学中也可操作自如，再加上我的英语基础较好，在寒假下载了MATHEMATICA6操作软件，初试时还是有难度的，但在王老师下发的操作资料中还是有很强的辅助作用的。现在数学给了我自信，让我寻找其中的乐趣！

在这第一学期，王老师对我的帮助太大了！原来的我虽然数学基础较好，但初学分析我是真的一筹莫展，这时，王老师对我学习中的的问题耐心又仔细地回答，让我在一次次郁闷中寻找到真知！正因为老师的不辞辛劳的帮助，让我取得现有的成绩，这还仅仅是一部分，老师对我思想与在带班级上也给出过帮助，让我各方面都在原有的基础上得到巨大的提高，使我更能看清自己的能力与潜力，老师谢谢你对我在一学期的帮助，我会继续努力的，尽管我离班级学习最好的同学差距甚远，但我不会放弃努力与奋斗的目标，我会达到更高的数学领地，取得更好的成绩.

推荐第6篇：数学分析教案

数学分析教案

第7章 实数的完备性

§7.1 实数完备性的基本定理

数学分析是建立在极限理论这个基础上，而极限理论的基础是实数，实数理论就成为基础的基础．有关实数理论的知识，参见华东师大编写的《数学分析》附录2．在这里主要介绍实数的完备性即连续性，有关实数连续性的基本定理有7个．

1 戴德金分划 任一有理分划必确定一个实数．参见华东师大编写的《数学分析》附录2．

2 确界原理 有界数集必有确界．本书作为公理． 3 单调有界定理 有界的单调数列必有极限． 此定理可分为两个部分，即

(1) 数列an单调上升且有上界，则an必有极限； (2) 数列an单调下降且有下界，则an必有极限．

证：设an单调上升有上界，由确界存在定理知，an有上确界．

an} = a，于是n, ana，且0, N0, “aNa”， 设sup{ima na ，从而ana，所以

ln于是nN时，

aaNana

同理可证(2)． 4 区间套定理

an,bnan1,bn1；

定义1 若闭区间列an,bn满足(1) n，lim(ban)0(2) nn，则称这列闭区间列an,bn为闭区间套，简称区间套．

在区间套an,bn中，端点满足a1a2anbnb2b1．即由左端点构成的数列an单调上升有上界；由右端点构成的数列bn单调下降有下界． “n, an,bn”定理1 (区间套定理) 若闭区间列an,bn为区间套，则|, ．

bn收敛． 证：(存在性) 因为an,bn为闭区间套，所以由单调有界性定理知an、由nlim(bnan)0知两极限相等．设nlimanlimbnn，则 n, an,bn．

“n, an,bn”(唯一性) 若,，则n, ||bnan．

而nlim(bnan)0，所以．综上可知，结论成立．

注意：

a,b(1) 是闭区间套nn确定的点，则

0, N0, “nNan,bnU(,)”；

10,(2) 闭区间套定理中，若把闭区间换为开区间，则定理不成立．例如n，就找不到适合定理结论的；

(3) 在闭区间套定理的应用中，一般要构造一个满足题设条件与结论的闭区间套．方法见下面柯西定理充分性的证明．

5 柯西收敛准则

定理2 (数列的柯西收敛准则) 数列an收敛

0,N0, “m,nN |aman|”

证：设数列an收敛于A， 即nlimanA，

|aA|m2”0, N0,“ mn, N|aA|n2 ， 于是

|+ |anA|． 因而m, nN时，|aman| |amA()设数列an满足 0, N0, “m, nN |aman|”． N0,“ nNan |aN|”， 于是

0,即在区间[aN, aN]中含有an除去有限项外的所有项．

据此，取此区间为1,1． 111N1, “aN1,aN122中含有an除去有限项外的所有项”2，则，记

111N2,“aN22,aN2222中含有an除去有限项外的所有项”22，则再取． 11a,a1,12,2NN222222记区间．则2,2含有an除去有限项外的所有项，且2,21,1, 2211212．

继之而得闭区间列n,n，满足

n,nn1,n1；

(1)n，(2)nlim(nn)0；

n,n中含有an除去有限项外的所有项．

(3) n，“n, n,n”由 (1)、(2) 知n,n为闭区间套，所以，|, ， N0,“ nNnn,U(”, )且

0,．由(3)知U(,)内含有an除去有限项外的所有项．于是n6 聚点原理

定义2 设S是直线上的点集，是一定点．如果0,U(,)S，有无穷多个点，则称为点集S的聚点．

0等价定义：为点集S的聚点0,U(,)S． liman，故an收敛．

注：S 的聚点可能在S中，也可能不在S中．

1n1S1Sn有两个聚点11,21；n只有一个聚点0；例如点集点集

点集 S = (a，b) 的所有聚点构成的集合是[a，b]； 点集 S ={1, 2, 3,„ } 没有聚点．

定理3(维尔斯特拉斯聚点原理) 有界无限点集必有聚点．

证：设S为有界无限点集，则M0, xS, xM，

取a1,b1M,M,

则Sa1,b1，均分a1,b1为两个子区间，则至少有一个子区间含S的无穷多个点，记此子区间为a2,b2，且继之而得一列闭区间an,bn，满足

b2a2b1a1M2．

均分a2,b2为两个子区间，则至少有一个子区间含S的无穷多个点，记此子区间为a3,b3．

an,bnan1,bn1；

(1) n，(2) lim(bnan)0n；

an,bn中含有S的无穷多个点． (3) n，“n, an,bn”由 (1)、(2) 知，an,bn为闭区间套，所以|, , “,nNanbn,U(”,．) 且

0,N0由(3)知U(,)内含有S的无穷多个点，即为S的聚点，故定理成立． 推论(致密性定理) 有界数列必有收敛的子列．

证：设数列xn有界，如果xn中有无限项相等，则其有一子列的每一项都相等，此时结论成立．

若xn中不含无限多相等的项，则由聚点原理知xn至少有一个聚点，记作x0，由聚

0点的等价定义得0, U(x0,)xn． xx0； 取11， 则xn1U(x0,1)xn，且n112，则xn2U(x0,2)xn，且xn2x0； 取1kk，则xnkU(x0,k)xn，且xnkx0； 取

1xxxn0kk， 继之得xn的一子列n，满足 k2k且x收敛， 故致密性定理成立． nk7 有限覆盖定理

“x”定义3 设S是直线上的点集，H为一开区间集，如果xS, H, ，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S．

若H中的开区间是无限个，则称H为S的一个无限开覆盖； 若H中的开区间是有限个，则称H为S的一个有限开覆盖．

11H,:n1,2,3,n2n，其覆盖了开区间(0，1)． 例如实因：x(0,1)，

n, “n111n2”xn，所以H覆盖了开区间(0，x，即 n21)，且是无限开覆盖．

又如f(x)在(a, b)内连续，则x0(a,b), 0, 0, “xx0f(x)f(x0)”．

开区间集Hx0,x0:x0(a,b)是(a, b)的一个无限开覆盖．

定理4 (波雷尔有限覆盖定理) H为闭区间[a, b]的一个开覆盖，则在H中存在有限开覆盖覆盖[a, b] ．

证：(反证法)假设在H中不存在有限开覆盖覆盖[a, b]．均分[a, b]为两个子区间，则至少有一个子区间在H中不存在有限开覆盖，记此区间为a1,b1，再均分a1,b1为两个子区间，亦至少有一个子区间在H中不存在有限开覆盖，记此区间为a2,b2，

继之得一列闭区间列an,bn,满足

an,bnan1,bn1；(1) n，

(2) lim(bnan)0n；

an,bn,

H中不存在有限开覆盖． (3) n，“n, an,bn”由 (1)、(2) 知，an,bn为闭区间套，所以，|, ，而H覆盖“,”了[a, b]，所以,H, ．又当 n 充分大时，an,bn(,)，

此与(3)矛盾，故定理成立．

注：以上介绍的7个定理是等价的，即从其中任一个定理出发，都可以推出其余的6个定理．一般的证明方法是

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(1)．

为了得到思维锻炼，还可以用下面的推理给出证明．

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)． 具体证明可参见朱时老师编写的《数学分析扎记》．

习

题

1n1n有且只有两个聚点11和21． 1 验证数集2 证明：任何有限数集都没有聚点． 3 设an,bn是一个严格开区间套，即满足

．证明：|，“anbn,n1,2,”．

a1a2anbnb2b1， 且nlimbn,an04 试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定里、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．

11H,:n1,2,n2n． 5 设(1) H能否覆盖(0,1)？(2) 能否从H中选出有限个开区间覆盖

11(i)0,, (ii),12100．

6 证明：闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身．

7 设xn为单调数列．证明：若xn存在聚点，则必是唯一的，且为xn的确界． 8 试用有限覆盖定理证明聚点定理． 9 试用聚点定理证明柯西收敛准则．

§7.2 闭区间上连续函数性质的证明

本节是用实数关于完备性的基本定理证明闭区间上连续函数的性质． 性质1 (有界性) 如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界． 即f(x)在[a,b]上连续 M >0，“x[a,b]f(x)M”． 证1：(用有限覆盖定理证)

因为f (x)在[a, b]上连续，所以x0a,b, M00,00，

“xU(x0,0)a,bf(x)M0”．

开区间集HU(x0,0):x0[a,b]是闭区间[a, b]的无限开覆盖．由有限覆盖定理知，

kH*U(xi,i):xi[a,b],i1,2,,k,“[a,b]U(xi,i)”i1，

“xU(xi,i)[a,b]f(x)Mi,i1,2,,k”且 Mi0,．

取MmaxMi1ik，则x[a,b]f(x)M，故f (x)在 [a, b]上有界．

我们不能在无穷多个数中取最大，但可在有限个数中取最大．可以看见，有限覆盖定理在证明中的作用．

证2：(用致密性定理证) 假设f (x)在[a, b]上连续，而f (x)在[a, b]上无界，

“|f(xn)|n”则

n,xn[a,b]0,， 由此而得数列xn[a,b]．

由致密性定理知其有收敛子列

x，且limf(xnkknk)．

limxlimf(xnk)f()limf(xnk)设knk，则[a,b]，由连续性知k，此与k矛盾， 故f(x)在[a,b]上有界．

在用致密性定理证明命题中，一般采用反证法．证明中的技巧就是构造反例．

性质2(最值性) 如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值、最小值．即

x1,x2[a,b], “f(x1)max{f(x)}, f(x2)min{f(x)}”x[a,b]x[a,b]．

证：(用确界定理证) 因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有界，于是f(x)在[a,b]上有上确界M．

假设f(x)在[a,b]不存在最大值，即x[a,b],f(x)M，令

g(x)1, x[a,b]Mf(x)．

显然，因为g(x)在[a,b]上连续，于是[a,b]在上有界，故而在[a,b]上有上确界G，

11x[a,b], 0g(x)Gx[a,b],f(x)MMf(x)G，

即，从而 此与M为f (x)在[a, b]上的上确界矛盾，所以 f (x)在[a, b]上存在最大值． 同理可证f (x)在[a, b]上存在最小值．

最值一定在我们讨论的范围内，确界却没有这一要求．例如f(x)x,x(0,1)有确界而无最值．定理的证明就是紧扣这一性质而得．

性质3(零点存在性) 如果f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，

“f(x0)0”则x0(a,b),．

注意：此性质只给出存在性，没有唯一性．

ab,f(a)0f(b)02 证：(用区间套定理证) 不妨设，，取如果f()0，则定理得证，如果f()0，则必与f(a)、f(b)之一异号，记异号的

区间为a1,b1．

a1b12，如果f()0，则定理得证，如果f()0，则必与fa1,f(b1)之再取一异号，记异号的区间为a2,b2． 继之得一列区间an,bn，满足  an,bnan1,bn1；(1) n，

(2)

；

f(an)0,f(bn)0． (3) n，nlim(bnan)0由 (1)、(2) 知，

“n, a,b”a,b为闭区间套，所以|, ，

nnnnnnn且n，

由

f(an)0知f()0，由f(bn)0知f()0，所以f()0．定理得证．

a), f(b)之性质4(介值性) 如果 f (x)在[a, b]上连续，且 f (a) ≠ f (b) ，则 介于f(limf(a)f()limf(b)f(x0)”间，x0(a,b), “，

即介于 f (a)、f (b)之间的任一数μ在f下都有原象．介值性定理指出，函数 f (x)的值域为[ m, M ]，其中mmin{f(x)}x[a,b]，

Mmax{f(x)}x[a,b]．

用零点存在定理，证明如下．

证：不妨设faf(b)，作函数g(x)f(x)，

g(x0)0”则g (x)在[a, b]上连续，且g(a)g(b)0，由零点存在定理知x0(a,b),“， 即f(x0)．故结论成立．

用确界定理证明如下．

证：不妨设f(a)f(b)，作函数g(x)f(x)，g(x)则在[a, b]上连续，且g(a)0，g(b)0，记Ex:g(x)0,x[a,b]，则E，实因bE． 由确界定理知E有下确界，记x0infE．因g(a)0，g(b)0，

所以由保号性知x0a且x0b，即x0(a,b)．今证g(x0)0．假设g(x0)0，不妨设g(x0)0，则由保号性知0, “g(x0)0”， 于是x0E，此与x0infE矛盾，故g(x0)0，即f(x0)．

性质5 (一致连续性) 若f (x)在[a, b]上连续，则f (x)在[a, b]上一致连续． 证：(用有限覆盖定理证) 因为f (x)在[a, b]上连续，

“xU(x,x)f(x)f(x)”2． ∴x[a,b], 0, x0，HUx,x2设

:x[a,b],则H覆盖了[a, b]．由有限覆盖

:x[a,b], k1,2,,nk覆盖了[a, b]．

H*Uxk,k2定理，存在H的一个有限子集取minkkx,x[a,b], xxk, “x,xUxk,21kn2，于是 ”，

f(x)f(xk), f(x)f(xk)22， 从而 xxk,xxk，故而

由此得xxf(x)f(x)，所以f (x)在 [a, b]上一致连续．

用致密性定理证明如下．

证：假设f(x)在[a,b]上非一致连续，则

00,0,x,x,“xx，而f(x)f(x)0”，

11“xxnn、xn，n，则xnn， 取)f(xn)0”，因xn[a,b]，所以由致密性定理 而f(xnkxn,“limxnkx0[a,b]”xnk．

1kx0xnkxnkxnkx00xnlimxx0nk而，于是knk． 又由f(x)在xx0点连续得 kxnkxn1xxf(x)f(x)n0n0kk2nk20,k0,“”1xxk)f(x0)f(xnnk02nk2， 1kxnkf(xnk)f(xnk)xn)f(xn)0矛盾， nk从而．此与f(xn故f(x)在[a,b]上一致连续．

习题

1 设f为R上连续的周期函数．证明f在R上有最大值与最小值． 2 设I为有限区间．证明若f在I上一致连续，则f在I上有界．举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立．

3 证明 f(x)sinxx在(0,)上一致连续．

总练习题7

1 证明xn为有界数列xn的任一子列都存在其收敛的子列．

limf(x)lim0xb2 设f在(a,b)内连续，且xa．证明f在(a,b)内有最大值或最小值．

“limf(xn)A”3 设f在[a,b]上连续，又xn[a,b]，n， 证明x0[a,b]，“f(x0)A”．

4 设函数f和g都在区间I上一致连续．

(1) 若I为有限区间，证明fg在I上一致连续；

(2) 若I为无限区间，举例说明fg在I上不一定一致连续．

limf(xn)5 设f定义在(a,b)上．证明若对(a,b)内任一收敛数列xn，极限n都存在，则f在(a,b)上一致连续．

“lim[f(x)bxc]0”6 设函数f在[a,)上连续，且有斜渐近线，即b,cR，x． 证明f在[a,)上一致连续．

推荐第7篇：数学分析 证明题

第十一章: 函数项级数

1.证明：函数级数f(x)=sinnx

n3在（,)上一致收敛。

nx 2.证明函数列fn(x)1在a,b上的极限函数为ex。 n

3.证明函数项级数

在R内一致收敛。

4.证明函数

5.证明函数项级数在区间

内连续在R内的一致收敛。 第十二章 幂级数

1.证明：幂级数xn，x1的和函数为

n11。 1x

xn2.证明：幂级数2在（1,1)一致收敛。 n1n

xn3.证明：幂级数的和函数在R上连续。

n1n!

x24.证明：幂级数的和函数在R上连续。 2nn1(1x)

5.证明：幂级数n1

3n11xn的收敛域为（-,） 33n6.证明：幂级数n!xn的收敛半径为R=0。

n1

(x1)n7.证明：幂级数n的收敛域为[-1，3）。 n12n

第十四章多元函数微分学

y2u2u

1.证明函数uarctan满足方程220

xxy

2.证明极限lim(4x3y)19 x2

y1

3.证明：lim(3x22y)14

x2

y1

x2y

4.证明：函数f(x,y)=4((x,y)(0,0))在原点(0,0)不存在极限 2

xy

x2y

(x,y)(0,0)

5.证明函数fx,yx2y2在原点（0，0）连续.

(x,y)(0,0)0

6.验证方程Fx,yxy2x2y0在点0的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数yx

xy2

7．证明：lim20．

x0xy2y0

第十六章 重积分

1.设f在可求面积的区域D上连续.证明： 若在D上,f(x,y)0,f(x,y)0,则f(x,y)dxdy0.

D

2.证明若f(x,y)在有界闭区域D上可积，且k是常数，则

kf(x,y)dxdykf(x,y)dxdy

D

D

3.证明：若f(x,y,z)在有界闭体V上连续，则在有界闭体V内至少存在 一点(,,)，使f(x,y,z)dxdydzf(,,)V，其中V是V的体积；

V

4.证明 若f(x,y)，g(x,y)在有界闭区域D上可积，且在区域D上有

f(x,y)g(x,y，则)f(x,y)dxdyg(x,y)dxdy

D

D

5.证明若f(x,y)1，则f(x,y)dxdydxdyD，其中D是区域D的面积

D

D

6.若函数f在R可积,则函数f在R也可积，且

fd

R

R

f.

7.若函数f在有界闭区域R连续，则至少存在一点,R，使

fx,ydf,R ，其中R表示R的面积.

R

8.设f(x,y)在所积分的区域D上连续，adxaf(x,y)dyadyyf(x,y)dx． 9.设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分D1和D2，证明： 若f(x,y)关于x为奇函数，即f(x,y)f(x,y)，则f(x,y)dxdy0；

D

bxbb

10.设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分D1和D2，证明：若

f(x,y)关于x为偶函数，即f(x,y)f(x,y)，则

f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy．

D

D1

D2

第十七章 曲线积分与曲面积分

1.证明若f(x,y)，g(x,y)在光滑曲线C上可积，且在光滑曲线C上有

f(x,y)g(x,y)，则f(x,y)dsg(x,y)ds

c

c

2.证明若f(x,y)在光滑曲线C上可积，且k≠0的常数，则kf(x,y)也在光滑曲线C上可积，且 kf(x,y)dskf(x,y)ds

c

c

3.若f(x,y)在光滑曲线C上可积，且C1来表示曲线C的反方向，则 有



c

f(x,y)dx1f(x,y)dx

c

推荐第8篇：数学分析学习心得

数学分析学习心得

学院：理学院

专业：计算科学1001

姓名：郭宏岩

数学分析内容简介

数学分析内容有实数集与函数、数列极限函数极限、函数连续性、导数、微分等。书中内容大都以证明为主，计算部分较少。

课前预习

课本中每节的内容构架都是相似的，大都为引言、定理、定理的证明、例题、课后习题。了解了构架。那么我们就应该预习重点部分，在时间充足的的情况下，再看其他未看内容。

引言，不重要，可以浏览一下，也可以不看；定理，是核心的内容，不仅看而且要详细的记住它，所谓详细的记住是指：把定理的条件不要记错，这个对证明很有用；接下来是证明，证明影响你对定理的理解程度和运用的熟练程度。可先了解证明思路证明中的计算可以忽略，这样在老师的讲解下就可以明白；最后是例题和习题，例题是对定理最简单最贴切的应用，所以课前掌握最好，习题可看可不看。

记录笔记

在紧张的课堂学习中，要记好自己的笔记让它清晰工整是不容易的。因为你还在用心听老师讲课，所以要有方法。

首先，学会省略。减轻课堂负担，在课后补充。比如：定理，你可以把定理的内容在课本上画下来，在笔记中留出空白。用这段时间理解并记忆定理。计算也可以省略，留到课下自己计算。

其次，学会缩写。在数学分析中，有很多符号语言，比如：∑（加和）∞（无穷大）∵（因为）th(定理)等。

最后，抓住重点记录。重点可以分为两部分：一部分是老师上课所说的重点部分，那一定是精华，所以不要错过；另一部分是自己不懂或难懂的部分，记录下来，课下反复思考，复习。

课后复习

课后复习要从两方面出发：

一方面是老师要求掌握的内容，这些内容是考试内容，对期末复习打下良好的基础。 另一方面是自己难以掌握的内容，这些内容是最容易忘记的也是应用熟练程度最差的。所以也要作为重点复习。

复习要有一定的周期性，不能本周看了，之后就让它冬眠，这样大脑会一片空白的。可以根据自己的记忆能力，一星期或两星期看一次。

读书方法

读书要有侧重点，数学分析中的定理，有的要着重看它的证明方法，他的方法是独特的，可以给自己以借鉴；有的要着重看定理的内容，它的定理应用，推广会更多一些；有的当做了解内容，因为它可能是为其它定理作铺垫的。

其中的例题一定要看，这个会是定理的浅显应用，对于初学者来说，能够为以后做难题提供思路和方法。

数学分析中的创新与应用

在创新方面，一般是定理推广，它的推广会被现实生活中应用的更加广泛。

在应用方面，这个很多，一般是竞赛中的应用，比如数学建模。在计算机程序中也有很多应用。

学好数学分析，其天赋是一方面，另一方面就是自己的不断努力下所积累的做题经验

和逻辑性思维。只有努力才有收获！

推荐第9篇：《数学分析》教案

《数学分析》教案

S F 01 ( 数 )

C h0 数学分析课程简介

C h 1 实数集与函数

计划课时： Ch 0

2时

Ch 1

6时

P 1—8

说 明：

1．

这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案. 该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期 ，增加了8 0 学时 ）.按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容.本教案共2 7 9页 ，分2 1章 . 2.取材的教材: [1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东， 数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991； [3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999； [4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.

Ch 0

数学分析课程简介 ( 2 时 ) 一.数学分析(mathematical analysis)简介:

1.背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.2.极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算：

3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值

函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.

.二． 数学分析的形成过程：

1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期: 3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分

析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72.

4. 十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：参阅 《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—75.

三. 数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的8000), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂,习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一.一般懂得了证明后,

能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.

有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂

七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四.课堂讲授方法:

1. 关于教材: 没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东， 数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；

[3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999；

[4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999；

[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处.本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容. 因此删去了[1]中第

八、十

五、十九和二十二等四章， 相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.

2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.

3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论. 定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.在第

一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.五.要求、辅导及考试：

1. 学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色.课堂上以听为主, 但要做课堂笔记. 课后一定要认真复习消化, 补充笔记. 一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3 ( 国外这个比例通常是 1 : 4 . 参《西北师大报》№191，2000.9.30.第二版:

本科节段如何培养高素质创新人材 ——

伯利克大学的启示.

注: 伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.) 对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富:

要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.

2. 作业:

作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题和[4]中的计算题为主要内容.大体上每两周收一次作业, 一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.

要求活页作业, 最好用西北师大稿纸.要有作业封面, 尺寸为19.527.5cm.作业布置方式: [1]P…, [4]P…

3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.

4. 考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题.

考试题为标准化试题.

2

Ch 1 实数集与函数 ( 6时 )

§ 1

实数集与确界 （3时）

一．

实数集R：回顾中学中关于实数集的定义.1.四则运算封闭性: 2.三歧性( 即有序性 ): 3. Rrchimedes性: a,bR, ba0, nN,  nab.4. 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.5. 实数集的几何表示 ─── 数轴: 6.两实数相等的充要条件: ab,  0, ab  .7.区间和邻域:

二. 几个重要不等式:

1. 绝对值不等式: 定义 a maxa , a .[1]P2 的六个不等式.

2. 其他不等式:

⑴ a2b22ab,

sinx  1. sinx  x .

⑵

均值不等式: 对aa1,a2,,nR, 记

M(aa1a2anni) n 1nai,

(算术平均值)

i11n

G(ai)na1a2annai,

(几何平均值) i1

H(ai)n11nnna11111.(调和平均值) 1a2anni1aii1ai有平均值不等式:

H(ai)  G(ai)  M(ai),

等号当且仅当a1a2an时成立.

⑶

Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) x1,

有不等式 (1x)n1nx, nN.

当x1 且 x0, nN且n2时, 有严格不等式 (1x)n1nx.(现采用《数学教学研究》1991.№ 1马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明) 证 由 1x0且1x0,  (1x)nn1(1x)n111 n n(1x)nn (1x). (1x)n1nx.

⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对h0, 由二项展开式 (1h)n1nhn(n1)2!h2n(n1)(n2)3!hh,

3n 有 (1h)n上式右端任何一项.

三. 有界数集与确界原理: 1.有界数集:

定义(上、下有界, 有界)， 闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，

集合 Ey ysinx, x (  ,  )也是有界数集.

无界数集: 定义, (  ,  ) , (  , 0 ) , ( 0 ,  )等都是无界数集,

1, x( 0 , 1 )也是无界数集.x集合 Ey y2.确界: 给出直观和刻画两种定义.

n(1 )

例

1⑴

S1n,

则supS______, infS_______.

⑵ Ey ysinx, x(0,).则

supE________, infE_________.

例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S和A是非空数集，且有SA.则有 supSsupA, infSinfA..例4 设A和B是非空数集.若对xA和yB,都有xy, 则有

supAinfB.

4 证 yB, y是A的上界,  supAy. supA是B的下界,  supAinfB.

例5 A和B为非空数集, SAB.试证明: infSmin infA , infB .证

xS,有xA或xB, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

xinfA或xinfB. xmin infA , infB .即min infA , infB 是数集S的下界,  infSmin infA , infB .

又SA,  S的下界就是A的下界,infS是S的下界,  infS是A的下界,  infSinfA; 同理有infSinfB.于是有 infSmin infA , infB . 综上, 有 infSmin infA , infB .3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.

4.确界与最值的关系: 设 E为数集.

⑴

E的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点.

⑵

非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.

⑶

若maxE存在, 必有 maxEsupE.

对下确界有类似的结论.四.确界原理:

Th (确界原理).

Ex

[1]P4 3，4，9，10；

P9

2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函数 ( 3时 )

一. 函数:

1. 函数:

[1]P10—12的五点说明.

2. 定义域: 定义域和存在域.

3.函数的表示法:

4.反函数:

一 一 对应, 反函数存在定理.

5.函数的代数运算:

1x, x1,f(x)2, x1,

2x, x1

二. 分段函数: 以函数介绍概念.

2x, x1,和g(x)2为例

x, x1例1 f(x)32x1, 去掉绝对值符号.

x  1,x, 1x, x 1.例

2f(x)

求 f(0), f(1), f(2).

例

3设 f(x)x3, x10,ff(x5), x10.

求 f(5).

(答案为8)

三. 函数的复合:

例4 yf(u)定义域.

例

5⑴

f(1x)xx1, f (x ) _____________.

112x2.

则f(x) ( ) xx222u, u g(x)1x.求

2fg(x)fg(x).并求

⑵

fx2

A. x,

B.

x1,

C. x2,

D. x2.

[4]P407 E62.

2四. 初等函数:

1.基本初等函数:

2.初等函数:

6 3.初等函数的几个特例: 设函数f(x)和g(x)都是初等函数, 则

⑴ f(x) 是初等函数, 因为 f(x) f(x)2.

⑵ (x)maxf(x) , g(x) 和 (x)minf(x) , g(x)都是初等函数, 因为 (x)maxf(x) , g(x) (x)minf(x) , g(x)  ⑶ 幂指函数 f(x) f(x)g(x)1212f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) , f(x)g(x) .

g(x) f(x)0是初等函数,因为

g(x) elnf(x)eg(x)lnf(x).

五.有界函数: 有界函数概念.

例6

验证函数 f(x)225x2x32在R内有界.

2解法一 由2x3(2x)(3)25x2x322x326x, 当x0时,有

f(x) 5x2x325x26x5263.

f(0) 03,



对 xR, 总有 f(x) 3, 即f(x)在R内有界.解法二

令 y5x2x32,  关于x的二次方程 2yx225x3y0有实数根.22

 524y0,  y25244,  y2.

解法三

令 xtgt, t,对应x(  ,  ).于是 2223f(x)5x2x3252332tgt2533tgt2tgt322tgt15sint126costsect

 526sin2t,  f(x) 526sin2t526.

关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1]P22—25，[4]P19—24.

Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；

P25 1，2，5，8，12；

[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.

推荐第10篇：数学分析教学大纲

《数学分析》教学大纲

教学目的

1.通过本课程的教学，使学生获得极限论、一元微积分、无穷级数与多元微积分等方面的系统知识，正确理解和掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，提高学生的抽象思维、逻辑推理及分析运算能力；

2.为学生进一步学习复变函数论、常微分方程、概率论理数理统计、实变函数论等后继课程提供必要的数学概念、理论、方法以及运算技能；

3.使学生掌握本课程与此同时学数学内容的内在联系，加深对中学数学内容、方法的理解，为用高观点指导中学数学教学打下必要的基础。

4.本课程的教学应使学生理解的掌握常量与变量、直与曲、有限与无限、特殊与一般，具体与抽象等辨证关系，培养的辩证唯物主义观点；应重视数学思想方法的数学，培养学生学数学，用数学的能力，提高学生分析问题解决问题的能力。

教学内容

数学分析是现代数学的基础学科，是学习和掌握其它数学学科及科学技术的基础和工具，是数学专业的一门重要基础课程。在实数范围内用极限方法研究函数性质，本课程的基本内容包括：函数、极限与连续，一元函数微积分学，无穷级数与多元函数微积分学。

教学基本内容及要求

（一）

第一章： 实数集与函数

1，教学基本要求 [目的要求]

（1）理解实数系，实数的性质与不等式； （2）准确理解上确界与下确界、确界存在定理；

(3) 熟练掌握一元实函数、初等函数、基本初等函数、函数的表示； (4) 掌握函数的有界、单调、周期性。 [重点难点] 重点： 基本初等函数；难点：确界

2教学具体内容

实数系，实数的性质与不等式。上确界与下确界、确界存在定理。一元实函数、初等函数、基本初等函数、函数的表示。函数的有界、单调、周期性。

第二章： 数列极限

1，教学基本要求

[目的要求]

1 （1）领会实数的性质，能用数列极限的定义进行分析、证明； （2）掌握数列极限定义、性质、四则运算，极限存在的条件。 [重点难点] 重点：极限 ；难点：极限定义，极限存在的条件

2教学具体内容

数列、数列极限的定义、无穷小量，数列极限和性质，数列极限的四则运算；数列极限和性质，数列极限的四则运算；单调有界收敛定量Cauchy收敛定理。

第三章： 函数极限 1，教学基本要求

[目的要求] （1）准确理解函数极限的定义，性质、四则运算、与数列极限的关系； （2）熟练掌握单侧极限Cauchy收敛原理；

（3）熟练掌握两个重要极限，无穷小量与无穷大量的阶。 [重点难点] 重点：两个重要极限 ；难点：函数极限的定义

2教学具体内容

函数极限定义、单侧极限、函数极限定义的推广。函数极限的性质――唯一性、局部保序性、局部有界性、夹逼性、函数极限的四则运算；函数极限与数列极限的关系――Heine定理、Cauchy收敛原理；两个重要极限 ；无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量、无穷大量和比较、高阶、同阶、等价无穷大理、等价量、等价量的代换。

第四章：连续函数

1，教学基本要求

[目的要求] （1）熟练掌握连续函数的定义、连续函数的四则运算、不连续点的类型、反函数的连续性、复合函数 的连续性；

（2）掌握闭区间上连续函数的性质、理解一致连续的概念。 [重点难点] 重点：连续函数的定义 ；难点：一致连续的概念

2教学具体内容

连续函数的定义、单侧连续、不连续点的类型；连续函数的四则运算，反函数连续性定理、复合函数的连续性，闭区间连续函数的有界性定义、最值性定理、零点存在定理、中间值定理、一致连续的概念、闭区间上连续函数的一致连续性；初等函数连续性质

第五章：导数与 微分

1，教学基本要求

[目的要求] （1） 熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用；

（2）理解一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则； （3）会应用Leibniz公式、理解和掌握复合函数求高阶导数的链式法则。 [重点难点]

重点：导数的定义；难点：复合函数的求导法则

2教学具体内容

导数的定义和微分的关系导数产生的背景、几何意义、单侧导数；用定义求导数、求导的四则运算、反函数求导法则、基本求导公式，复合函数求导法则——链式法则、一阶微分

2 形式的不变性；微分的定义、导数的定义和微分的关系；高阶导数的定义、运算、高阶微分的概念；参数形式的函数求导，参数方程所确定函数的高阶导数。

第六章：微分中值定理及其应用

1，教学基本要求

[目的要求] （1） 使学生掌握微分中值定理、Taylor公式及其应用（函数的极值与最值；函数的凸性拐点）

（2）熟练掌握LHospital法则和应用；

（3）数学建模及函数方程的近似求解，会进行函数作图。 [重点难点]

重点：中值定理；难点：Taylor公式 \'2教学具体内容

函数单调性；极值、Fermat引理、Rolle定理、Lagrange中值定理、函数单调性凸函数、二阶导数与凸函数的关系、Cauchy中值定理；LHospital法则 ；Taylor公式及其Lagrange型余项、Peano 型余项；求极限、最值问题，求曲线的渐进线方程； 函数的凸性拐点；函数作图。

\'第七章：实数的完备性定理

1，教学基本要求

[目的要求]

使学生掌握实数的完备性定理，确界原理，区间套定理等 [重点难点]

重点：区间套定理 ；难点：完备性定理

2教学具体内容

实数的基本定理；闭区间上的连续函数性质的证明 。

第八章：不定积分

1，教学基本要求

[目的要求] （1）理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法； （2）熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法；

（3）掌握有理函数积分的计算、区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型 [重点难点]

重点：分部积分法和换元积分法；难点：有理函数积分的计算

2教学具体内容

原函数、不定积分的定义、不定积分线性性质、不定积分的基本公式，基本积分表；换元积分法——第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法；有理函数、有理函数的积分、可化为有理函数不定积分的情况。

3

教学基本内容及要求

（二）

第九章：定积分

1，教学基本要求

[目的要求] （1）重点掌握定积分的概念；

（2）了解可积的充要条件，可积函数类；

（3）掌握定积分的性质，微积分基本定理，定积分计算方法（换元法、分部积分法及奇偶函数的定积分等。

[重点难点]

重点：微积分基本定理；难点：定积分的概念

2教学具体内容

定积分的引入和概念； 积分上、下限函数，微积分基本定理；Riemann可积的充要条件和一些可积函数类；定积分的基本性质（定积分的基本性质：线性性，保序性，区间可加性和积分第一中值定理等）；定积分的计算（定积分的换元积分法和分部积分法，奇偶函数的定积分）。

第十章 ：

定积分的应用

1，教学基本要求

[目的要求] （1）重点掌握求面积、弧长、体积和侧面积： （2）了解微元法及其应用。

[重点难点]

重点：求面积 ；难点：微元法

2教学具体内容

求平面图形的面积；求几何体的体积 ；求曲线的弧长 ；求旋转体的侧面积

；定积分在理上的应用 。

第十一章 ：

反常积分

1，教学基本要求

[目的要求] （1） 掌握反常积分敛散性的定义，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子， （2）理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，

（3）理解一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。

[重点难点]

重点：反常积分敛散性的判定；难点：Abel、Dirichlet判别法

2教学具体内容

反常积分的概念和计算 ；绝对收敛和条件收敛的概念，反常积分的Cauchy收敛原理，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel,Dirichlet判别法。

第十二章：

数项级数

1，教学基本要求

[目的要求] （1） 准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质， （2）熟练地求一些级数的和；

4 （3）比较熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert判别法及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法判别正项级数的敛散性；

（4）准确理解Leibniz级数，并比较熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet判别法判别一般级数的敛散性。

[重点难点]

重点：级数敛散性的判定；难点：Cauchy、D`Alembert判别法

2教学具体内容

数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和其它性质，一些简单的级数求和。正项级数的概念，正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D`Alembert及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法；级数的Cauchy收敛原理，Leibniz级数及其判别法，Abel变换、条件收敛和绝对收敛概念，Abel、Dirichlet判别法，条件收敛和绝对收敛的级数具有的性质。

第十三章：

函数项级数

1，教学基本要求

[目的要求] （1）重点理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法； （2）掌握并学会应用函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstra判别法，Abel、Dirichlet判别法，

（3）掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性

[重点难点]

重点：一致收敛级数的连续性、可导性和可积性 ；难点：一致收敛

2教学具体内容

点态收敛，收敛域，部分和函数，点态收敛函数项级数的基本问题，一致收敛、内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法。函数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstra判别法，Abel、Dirichlet判别法，一致收敛级数的连续性、可导性和可积性。

第十四章：

幂级数

1，教学基本要求

[目的要求] （1） 掌握幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法， （2）掌握函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开 [重点难点]

重点：幂级数展开；难点：幂级数展开的条件

2教学具体内容

幂级数概念，收敛半径和收敛域，利用Cauchy-Hadamard定理，D`Alembert判别法求收敛半径，幂级数的连续、可导和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和。函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开。

第十五章：

Fourier级数

1，教学基本要求

[目的要求]

熟练掌握函数的Fourier级数的概念和Fourier级数各种展开。

[重点难点]

重点：Fourier级数各种展开 ；难点：Fourier级数各种展开

2教学具体内容

Fourier级数的来历及与Taylor展开的比较；周期为2π的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开。将函数展开为正弦级数与余弦级数；任意周期的函数的Fourier展开。收敛定理的证明（说明思路，不证明）

第十六章：

多元函数的极限和连续

1，教学基本要求

5 [目的要求] （1）理解有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭包， （2）理解闭矩形套定理， Bolzano-Weierstra定理，Cauchy收敛定理， Heine-Borel定理；（3）掌握多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系，多元函数的连续，、连续等性质，连续函数的有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理，

（4）掌握连通集和区域等概念。

[重点难点]

重点：多元函数的重极限和二次极限 ；难点多元函数的重极限和二次极限：

2教学具体内容

Rn的极限，有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭矩形套定理， Bolzano-Weierstra定理，Cauchy收敛定理， Heine-Borel定理等。多元函数的定义，多元函数的重极限和二次极限及其关系。多元函数的连续，连续函数的性质：有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理等，连通集和区域。

第十七章：

多元函数的微分学

1，教学基本要求

[目的要求] （1）重点掌握偏导数，方向导数，全微分，连续、可偏导、可微之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分，

（2）了解混合偏导数的相等，重点掌握多元复合函数的链式法及其应用， （3）了解一阶全微分的形式不变性。

[重点难点]

重点：偏导数 ；难点：多元复合函数的链式法

2教学具体内容

偏增量和全增量，偏导数，全微分，连续，可偏导，可微之间的关系；多元复合函数的链式法及其应用，一阶全微分的形式不变性。方向导数与梯度 ；高阶偏导数和高阶全微分，混合偏导数的相等，Taylor公式及Lagrange余项的计算；Taylor公式的简单应用，条件极值的几个基本结论；最小二乘法；函数的无条件极值与最值的计算；无条件极值在几何及不等式中的应用。

教学基本内容及要求

（三） 第十八章： 隐函数定理及应用

1，教学基本要求

[目的要求] （1）理解隐函数，隐函数组，反函数组的概念及相关定理。

（2）熟练计算隐函数的导数；偏导数和高阶偏导数，计算隐函数组的导数；偏导数。 （3）会求曲线的切线与法平面的方程；曲面在给定点处的切平面与法线方程。 （4）掌握无条件极值与条件极值的求法。

[重点难点]

重点：隐函数的导数 ；难点：条件极值

2教学具体内容

一元及多元隐函数存在定理；由方程或方程组所确定的隐函数的偏导数的计算；通过变量变换进行方程的化简和变换。隐函数组 ；空间曲线的切线与法平面的概念及对应的切线与法平面方程的计算；曲面的切平面与法线的概念；会计算曲面在给定点处的切平面与法线方程；偏导数与在几何中的其它应用； 条件极值 。

第十九章：

含参变量积分

6 1，教学基本要求

[目的要求]

（1）理解含参变量的常义积分的定义及分析性质；

（2）掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质； （3）掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。 [重点难点]

重点：含参变量积分的定义；难点：一致收敛积分

2教学具体内容

含参变量正常积分 ；含参变量的反常积分 ；掌握Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系。

第二十章：

曲线积分

1，教学基本要求

[目的要求]

理解第

一、二类曲线积分的概念；掌握计算曲线积分的方法。 [重点难点]

重点：曲线积分的计算 ；难点：曲线积分的概念

2教学具体内容

第一类曲线积分的概念；第一类曲线积分的性质；第一类曲线积分的计算公式。第二类曲线积分的概念及性质：方向性、线性性与路径可加性；第二类曲线积分的计算公式。

第二十一章：

重积分

1，教学基本要求

[目的要求]

（1）理解重积分的概念；掌握二重积分、三重积分的计算； （2）理解二重积分与三重积分的变量代换； （3）掌握重积分的应用

[重点难点]

重点：重积分的计算 ；难点：变量代换

2教学具体内容

二重积分的概念与了解二重积分七条基本性质、按定义计算有界闭区域上的重积分。 直角坐标下二重积分的计算； Green公式与曲线积分与路径无关的条件 ；二重积分变量代换 ；三重积分的计算

；重积分的应用。

第二十二章

曲面积分

1，教学基本要求

[目的要求] （1）理解第

一、二类曲面积分的概念；

（2）掌握利用Green公式、Gau公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法； （3）理解曲线积分与路径无关的条件；理解梯度、通量与散度、旋度的概念。

[重点难点]

重点：Green公式、Gau公式和Stokes公式；难点：曲面积分的概念

2教学具体内容

第一类曲面积分的概念、计算及应用。第二类曲面积分的概念及性质：方向性、线性性与曲面可加性；第二类曲面积分的计算及应用。Gau公式及其应用；Stokes公式及其应用；Green公式、Gau公式和Stokes公式三者之间的关系。

第11篇：数学分析教学大纲..

数学分析课程教学大纲

一、课程说明

1、课程性质

本课程是数学与应用数学专业的专业基础核心课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学生学习数学与应用数学专业其它后继课程的重要基础。 掌握这门课程的基本理论和基本方法，对于学习本专业基础课和专业课以及进一步学习、研究和应用都是至关重要。数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值函数。主要研究微分和积分两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数。数学分析基本上是连续函数的微积分理论。

2、教学目的与要求和要求

数学分析是数学与应用数学专业的一门主干基础课和必修课，本课程的目的是为后继课程提供必要的知识，同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用。

本课程学习经典数学分析的基本知识，包括极限论、一元微积分学、级数论和多元微积分等基本内容，并用"连续量的演算体系及其数学理论"的观点统率整个体系。在教学上要求学生能掌握四个基本方面，即基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。在教学基本要求上分为三个档次，即牢固掌握、一般掌握和一般了解。

牢固掌握：基本概念明确，能联系几何与物理的直观背景，并能从正反两方面进行理解（极限论、一元微积分学和级数论的概念按此要求）；基本理论较扎实，具有较好的推理论证和分析问题的能力（极限论、一元微积分学和级数论的理论一般按此要求，但实数理论和定积分可积性理论除外）；基本方法较熟练，具备较好的运算和解决应用问题的能力，并能较灵活地运用基本技巧（本课程的一般方法和技巧按此要求，但含参变量积分的方法和技巧除外）。

一般掌握：对基本概念一般只要求能从正面理解（广义积分和多元微积分学的概念按此要求）；对基本理论一般要求能应用和了解如何证明（实数理论、定积分可积性理论和多元微积分学的理论按此要求）；对基本方法一般要求能掌握运用，但不要求很熟练和技巧性（含参变量积分的方法按此要求）。

一般了解：对基本理论只要求能应用，不要求掌握证明方法（隐函数存在定 1 理、重积分一般变量替换公式和富里埃级数收敛性理论按此要求）；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧（如果讲授本大纲中的选讲内容，则按此要求）。

3、先修课程和后继课程

先修课程：初等数学，包括：代数，三角，立体几何，平面解析几何。 后继课程：常微分方程，复变函数，实变函数，泛函分析。

4、教课时数分配

5、使用教材

《数学分析》第四版上、下册，华东师范大学数学系主编，高等教育出版社，2001年6月。

6、教学方法与手段

本课程以黑板讲授、学生自学、精讲精练相结合的教学方法为主，个别章节辅之以多媒体教学手段或数学实验手段。

在教学过程中，应当积极开展对教学要点与知识点与课程体系、教学方法与教学手段的改革，认真总结经验，并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来，不断提高教学质量。要不断更新教学要点与知识点，逐步实现教学要点与知识点的现代化；要加强不同数学分支间的相互结合和相互渗透，进行课程和内容的重组；要突出数学思想方法的教学，加强数学应用能力的培养，注重运算技巧的训练；要尊重个性，发挥特长，探索现阶段因材施教的新方法、新模式；要不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式的教学方法；要积极采用现代教育技术手段，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取长补短。

7、考核方式

本课程采用闭卷考试形式。

8、主要参考书目

《数学分析讲义》(第四版)，刘玉琏主编，高等教育出版社，2003年。

二、课程内容

第一章 实数集与函数（14课时）

第一节 实数（2课时）

1、教学目的与要求：掌握实数的基本概念和最常见的不等式，以备以后各章应用．

2、教学要点与知识点：实数的基本性质和绝对值的不等式,实数的有序性，稠密性，阿基米德性．实数的四则运算．

3、教学重点与难点：用无限小数统一表示实数的意义及引入不足近似值与过剩近似值的作用．

第二节 数集.确界原理（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A的上确界为 ．即：

xA,x, 且 a,x0A,x0a；

或 xA,x, 且 0,x0A, x0．

(2) 较高要求：掌握确界原理的证明，并用确界原理认识实数的完备性．掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念．

2、教学要点与知识点：

实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．

3、教学重点与难点：

(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．

(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习题．

第三节 函数概念（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握函数的定义与表示法；理解复合函数与反函数；懂得初等函数的定义，认识狄利克莱函数和黎曼函数．

(2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的认识．掌握函数概念和不同的表示方法．

2、学要点与知识点：函数的定义与表示法；复合函数与反函数；初等函数．

3、教学重点与难点：通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的认识从具体上升到抽象．

第四节 具有某些特性的函数（4课时）

1、教学目的与要求：掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．

2、教学要点与知识点：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培养学生了解研究抽象函数性质的方法．

(2) 本节的难点是要求用分析的方法定义函数的无界性．对较好学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方法．

第二章 数列极限（12课时）

第一节 数列极限概念（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：理解数列极限的分析定义，学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中 与 N的关系．

(2) 较高要求：学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧．掌握数列极限概念。

2、学要点与知识点：数列极限．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性．具

lim10limnna0nk； ；( |a|1)，然后教会他们用这体教学中先教会他们证明 n些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）．

(2) 本节的难点仍是数列极限的分析定义．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义．

第二节 数列极限的性质（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：理解数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．

(2) 较高要求：掌握这些性质的较难的证明方法，以及证明抽象形式的数列极限的方法．掌握数列极限的主要性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．

2、学要点与知识点：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则和数列的子列及有关子列的定理．

3、教学重点与难点：

4 (1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题．

(2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如：

第三节 数列极限存在的条件（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存

1lim(1)nn存在的证明．理解柯西收敛准则的直观意义． 在性，其中包括 nnlimnn1．

(2) 较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准则判别抽象数列（极限）的敛散性．

2、教学要点与知识点：单调有界定理，柯西收敛准则．

3、教学重点与难点：

（1) 本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．

(2)本节的难点是柯西收敛准则．要求较好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性．

第三章 函数极限（16课时）

第一节 函数极限概念（2课时）

xxxxxx0x0；

1、教学目的与要求：掌握当 ； ； ； ；

xx0时函数极限的分析定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限．掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．

2、学要点与知识点：各种函数极限的分析定义．

3、教学重点与难点：本节的重点是各种函数极限的分析定义．对多数学生要求主要掌握当 xx0时函数极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限．

第二节 函数极限的性质（2课时）

1、教学目的与要求：

5 (1) 基本要求：掌握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则，并会用这些性质计算函数的极限．

(2) 较高要求：理解函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的认识．掌握函数极限的性质．

2、教学要点与知识点：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运算法则．

3、教学重点与难点：

（1）本节的重点是函数极限的各种性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系．

（2）本节的难点是函数极限的局部性质．对较好学生，要求懂得这些局部的 （的大小）不仅与 有关，而且与点 x0有关，为以后讲解函数的一致连续性作准备．

第三节 函数极限存在的条件（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握函数极限的归结，理解函数极限的柯西准则． (2) 较高要求：能够写出各种函数极限的归结原理和柯西准则．

(3) 函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，理解函数极限的柯西准则

1、教学要点与知识点：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准则．

2、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性．

(2) 本节的难点是函数极限的柯西准则．要求较好学生能够熟练地写出和运用各种函数极限的归结原理和柯西准则．

第四节 两个重要的极限（3课时）

1、教学目的与要求：

limsinx1x的证明方法，利用两个重要极限计算函数极限(1) 基本要求：掌握 x0与数列极限．

1lim1xxe证明方法．掌握两个重要极限： (2) 较高要求：掌握 1sinx1limlim1x0x； xxe．

sinx11；lim1e．

2、学要点与知识点：两个重要极限：lim x0x xxxxx

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方法：

1sin(x)lim1lim1(x)(x)0(x)(x) ；

(x)e，其中 (x)、(x)分别为任一趋于0或趋于∞的函数．

1lim1(2) 本节的难点是利用迫敛性证明 xxe． 第五节 无穷小量与无穷大量（3课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．

(2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“ o”与“ O”掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．

2、学要点与知识点：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念． (2)本节的难点是熟练使用“ o”与“ O”进行运算．

第四章 函数的连续性（10课时）

第一节 连续性概念（3课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义．

x(2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性．掌握函数连续性概念．

2、学要点与知识点：函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．

3、教学重点与难点：

(1)函数连续性概念是本节的重点．对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类．

(2)本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，可在此节中对较好学生布置有关习题．

第二节 连续函数的性质（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握函数局部性质概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点；了解闭区间上连续函数的性质．

(2) 较高要求：对一致连续性的深入理解．掌握连续函数的局部性质和闭区间上连续函数的整体性质．

2、学要点与知识点：

连续函数的局部保号性，局部有界性，四则运算；闭区间上连续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的连续性，一致连续性．

3、教学重点与难点：

(1) 函数连续性概念是本节的重点．要求学生掌握函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类，了解连续函数的整体性质．对一致连续性作出几何上的解释．

(2)本节的难点是连续函数的整体性质，尤其是一致连续性和非一致连续性的特征．可在此节中对较好学生布置判别函数一致连续性的习题．

第三节 初等函数的连续性（1课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握初等函数的连续性．

(2) 较高要求：掌握指数函数的严格定义．了解指数函数的定义.

2、教学要点与知识点：指数函数的定义；初等函数的连续性．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是初等函数的连续性．要求学生会用初等函数的连续性计算极限．

(2) 本节的难点是理解和掌握指数函数的性质．

第五章 导数和微分（20课时）

第一节 导数的概念（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，理解费马定理．

(2) 较高要求：理解达布定理．掌握导数的概念，了解费马定理、达布定理．

2、学要点与知识点：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是导数的定义和导数的几何意义．会用定义计算函数在一点处的导数．

(2) 本节的难点是达布定理．对较好学生可布置运用达布定理的习题． 第二节 求导法则（4课时）

1、教学目的与要求：熟练掌握求导法则和熟记基本初等函数的求导公式．

2、学要点与知识点：导数的四则运算，反函数求导，复合函数的求导，基本初等函数的求导公式．

3、教学重点与难点：求导法则 第三节 参变量函数的导数（2课时）

1.教学目的与要求： 熟练掌握参变量函数的导数的求导法则． 2.教学要点与知识点：参变量函数的导数的求导法则．

3、教学重点与难点：参变量函数的求导法则． 第四节 高阶导数（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数． (2) 较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式掌握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式．

2、教学要点与知识点：高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是高阶导数的概念和计算．要求学生熟练掌握．

9 (2) 本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，特别是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别．可要求较好学生掌握求参变量函数的二阶导数．

第五节 微分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定函数的高阶导数。 (2) 较高要求：掌握并理解参变量函数的二阶导数的求导公式掌握微分的概念和微分的运算方法，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用。

2、教学要点与知识点：微分的概念，微分的运算法则，高阶微分，微分在近似计算中的应用。

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是掌握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部。

(2)本节的难点是高阶微分，可要求较好学生掌握这些概念。

第六章

微分中值定理及其应用（22课时）

第一节 拉格朗日定理和函数的单调性（3课时）

1、教学目的与要求：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．

2、要点与知识点：

(1) 基本要求：掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．

(2) 较高要求：掌握导数极限定理．罗尔中值定理；拉格朗日中值定理．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，知道证明的方法．

(2)本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理．

第二节 柯西中值定理和不定式极限（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．

10 (2) 较高要求：掌握洛必达法则

0型定理的证明．了解柯西中值定理。

0

2、教学要点与知识点：柯西中值定理；洛必达法则的使用．

3、教学重点与难点：

(1)本节的重点是掌握用洛必达法则求各种不定式极限．可强调洛必达法则的重要性，并总结求各种不定式极限的方法．

(2)本节的难点是掌握洛必达法则定理的证明，特别是第三节 泰勒公式（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求各种不定式极限．

0(2) 较高要求：掌握洛必达法则 0型定理的证明．理解带佩亚诺余项和带拉格

型的证明． 

朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．

2、教学要点与知识点：带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．

(2) 本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明．对较好学生可要求掌握证明的方法．

第四节 函数的极值与最大(小)值（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握函数的极值的第

一、二充分条件；学会求闭区间上连续函数的最值及其应用．

(2) 较高要求：掌握函数的极值的第三充分条件．掌握函数的极值与最大(小)值的概念．

2、教学要点与知识点：函数的极值与最值．

3、教学重点与难点：函数的不可导点和导函数（以及二阶导数）的零点（稳定点）凸区间，函数极值．

第五节 函数的凸性与拐点（2课时）

1、教学目的与要求：

（1） 基本要求：掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式． （2）较高要求：运用詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的存在与连续的关系．

2、学要点与知识点：函数的凸性与拐点．

3、教学重点与难点： (1)判断凸性的充分条件．

(2) 本节的难点是运用詹森不等式证明不等式． 第六节 函数图象的讨论（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握直角坐标系下显式函数图象的大致描绘．

(2) 较高要求：能描绘参数形式的函数图象．掌握函数图象的大致描绘．

2、教学要点与知识点：作函数图象．

3、教学重点与难点：根据函数的性态表，以及函数的单调区间，凸区间，大致描绘函数图象．

第七章 实数的完备性（8课时）

第一节 关于实数集完备性的基本定理（3课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握和运用区间套定理、致密性定理．

(2) 较高要求：掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．掌握区间套定理和柯西判别准则的证明，了解有限覆盖定理和聚点定理(较熟练运用致密性定理)．

2、教学要点与知识点：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理．

3、教学重点与难点：

本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理和致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理．

本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．

第二节 闭区间上的连续函数性质的证明（4课时）

1、教学目的与要求：

12 （1）基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．

（2） 较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性．证明闭区间上的连续函数性质．

2、教学要点与知识点：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．

(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明，对较好学生可布置这方面的习题．

第八章 不定积分（14课时）

第一节 不定积分的概念与基本积分公式（4课时）

1、教学目的与要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式．掌握原函数的概念和基本积分公式

2、教学要点与知识点：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义．

3、教学点与难点：原函数的概念，基本积分公式 第二节 换元积分法与分部积分法（4课时）

1、教学目的与要求：熟练掌握第

一、二换元积分法与分部积分法．

2、教学要点与知识点：第

一、二换元积分法；分部积分法．

3、教学重点与难点：换元积分法与分部积分法.第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．

(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．

2、教学要点与知识点：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．

3、教学重点与难点：

(1)三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分

(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生

掌握.

第九章 定积分（20课时）

第一节 定积分的概念（3课时）

1、教学目的与要求：掌握定积分的定义，了解定积分的几何意义和物理意义．引进定积分的概念．

2、教学要点与知识点：定积分的定义．

3、教学重点与难点：定积分的定义及定积分的几何意义． 第二节 牛顿-莱布尼茨公式（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式． (2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．

2、学要点与知识点：牛顿-莱布尼茨公式．

3、教学重点与难点：应用牛顿-莱布尼茨公式． 第三节 可积条件（3课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握定积分的第

一、二充要条件．

(2) 较高要求：掌握定积分的第三充要条件．理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件．

2、教学要点与知识点：

定积分的充分条件和必要条件；可积函数类

3、教学重点与难点：

(1) 理解定积分的第

一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握． (2) 证明定积分的第

一、

二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌 握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性．

第四节 定积分的性质（3课时）

1、教学目的与要求：

（1） 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理．

14 （2） 较高要求：较难的积分不等式的证明．

2、教学要点与知识点：定积分的基本性质；积分第一中值定理．

3、教学重点与难点：

(1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用．

(2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题． 第五节 微积分学基本定理（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换 元积分法及分部积分法．

(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．

2、学要点与知识点：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．

3、教学重点与难点：

(1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．

(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容．

第十章 定积分的应用（10课时）

第一节平面图形的面积（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2) 较高要求：提出微元法的要领．掌握平面图形面积的计算公式． 2.教学要点与知识点：平面图形面积的计算公式．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2) 领会微元法的要领．

第二节 由平行截面面积求体积（1课时）

1、教学目的与要求：

掌握由平行截面面积求体积的计算公式．

2、教学要点与知识点：

由平行截面面积求体积的计算公式．

3、教学重点与难点：

平行截面面积求体积的计算公式，微元法的要领． 第三节平面曲线的弧长与曲率（2课时）

1、教学目的与要求：

（1） 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式． （2）较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式．

2、学要点与知识点：

平面曲线的弧长与曲率的计算公式．

3、教学重点与难点： 平面曲线的弧长计算公式． 第四节 旋转曲面的面积（2课时）

1、教学目的与要求：

掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；

掌握平面曲线的曲率的计算公式．

2、教学要点与知识点：旋转曲面的面积计算公式．

3、教学重点与难点：旋转曲面面积的计算公式，参数方程定义的旋转曲面的面积．

第五节 定积分在物理中的某些应用（3课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式． (2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．掌握定积分在物理中的应用的基本方法．

2、教学要点与知识点：液体静压力；引力；功与平均功率．

3、教学重点与难点：液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．

十一章 反常积分（10课时）

第一节 反常积分的概念（2课时）

1、教学目的与要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．掌握反常积分的定义与计算方法．

2、教学要点与知识点：无穷积分；瑕积分．

3、教学重点与难点：讲清反常积分是变限积分的极限． 第二节 无穷积分的性质与收敛判别（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．

(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．掌握无穷积分的性质与收敛判别准则．

2、教学要点与知识点：无穷积分的收敛；条件收敛；绝对收敛；比较判别法；柯西判别法；狄利克雷判别法；阿贝尔判别法．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是掌握判别无穷积分与瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．

(2) 本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．举例说明：当有 x

a|f(x)|dx收敛时，不一定limf(x)0，由此使学生对柯西准则有进一步的理解．

第三节 瑕积分的性质与收敛判别（2课时）

1、教学目的与要求：掌握瑕积分的定义，会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．掌握瑕积分的性质与收敛判别准则．

2、教学要点与知识点：瑕积分的收敛；

3、教学重点与难点：

（1）本节的重点是掌握判别瑕积分收敛的方法，要求学生主要学会用柯西判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性．

（2）本节的难点是用狄利克雷判别法或阿贝尔判别法判别无穷积分与瑕积分的敛散性，对较好学生布置这方面的习题．

第十二章 数项级数（14课时）

第一节 级数的收敛性（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握数项级数收敛性的定义和基本性质，等比级数，调和级数． (2) 较高要求：应用柯西收敛准则判别级数的敛散性．

2、学要点与知识点：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数．

3、教学重点与难点：数项级数收敛性的基本性质；应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求．

第二节 正项级数（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． (2) 较高要求：介绍拉贝判别法．

2、教学要点与知识点：比较判别法；比式判别法；根式判别法；积分判别法．

3、教学重点与难点： 比较判别法，比式判别法，根式判别法，拉贝判别法。 第三节 一般项级数（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握条件收敛和绝对收敛的定义，掌握交错级数的莱布尼茨判别法．

(2) 较高要求：掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的性质．

2、教学要点与知识点：交错级数；莱布尼茨判别法； 狄利克雷判别法；阿贝尔判别法；条件收敛；绝对收敛．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是要求学生必须熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握条件收敛和绝对收敛的定义，了解绝对收敛级数性质的结论．总结判别一般项级数的敛散性的各种方法．

(2) 本节的难点是要求学生掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，要求较好学生掌握绝对收敛级数的性质．

第十三章 函数序列与函数项级数（10课时）

第一节 一致收敛性（4课时）

1、教学目的与要求：

18 (1)基本要求：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2)较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

2、学要点与知识点：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

3、教学重点与难点：函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

第二节 一致收敛函数序列与函数项级数的性质（4课时）

1、教学目的与要求：

（1） 基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．

（2）较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．

2、学要点与知识点：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别；可积性的判别，可微性的判别．

3、教学重点与难点：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论．

第十四章 幂级数（10课时）

第一节 幂级数（4课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，学会解答有关幂级数收敛半径和收敛区间的习题．

（2）较高要求：学会解答有关幂级数收敛区域的习题．掌握幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法，掌握幂级数的性质和运算．

2、教学要点与知识点：幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法；掌握幂级数收敛半径，收敛区间和收敛域的概念．

3、教学重点与难点：求幂级数收敛半径和收敛区间。第二节 函数的幂级数展开（4课时）

1、教学目的与要求：

19 (1) 基本要求：掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开．

(2) 较高要求：学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开．掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开．

2、教学要点与知识点：泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式．

3、教学重点与难点：泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开某些初函数或作间接展开．

第十五章 傅里叶级数（12课时）

第一节 傅里叶级数（3课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．

（2）较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)．

2、学要点与知识点：三角级数；正交函数系；傅里叶级数定义；傅里叶级数的收敛定理．

3、教学重点与难点：傅里叶级数的展开． 第二节 以 2l为周期的函数的展开式（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握以 2l为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法． (2) 较高要求：掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本方法．掌握以 2l为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数．

2、教学要点与知识点：对以 2l为周期的函数作傅里叶级数展开的基本方法；偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开；正弦级数；余弦级数

3、教学重点与难点：三角级数和傅里叶级数的展开式。第三节 收敛定理的证明（3课时）

1、教学目的与要求：

20 （1）基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点．

（2）较高要求：理解收敛定理的证明．

2、教学要点与知识点：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；收敛定理的证明．

3、教学重点与难点：贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，收敛定理的证明．

第十六章 多元函数的极限与连续（14课时）

第一节平面点集与多元函数（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：了解平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义，以及 R2的完备性，掌握二元及多元函数的定义．

(2) 较高要求：掌握 R2的完备性定理．

2、教学要点与知识点：平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域的定义；R2的完备性；二元及多元函数的定义．

3、教学重点与难点： 平面中的邻域，开集，闭集，开域，闭域等有关 R2的概念。

第二节 二元函数的极限（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．

(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．

2、教学要点与知识点：二元函数的极限的定义；累次极限．

3、教学重点与难点：一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，重极限与累次极限的区别与联系。

第三节 二元函数的连续性（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质．

21 (2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质．

2、教学要点与知识点：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性．

3、教学重点与难点：有界闭域上多元连续函数的性质对

第十七章 多元函数微分学（22课时）

第一节 可微性（5课时）

1、教学目的与要求：

(1)基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．

(2)较高要求：切平面存在定理的证明．

2、教学要点与知识点：多元函数偏导数，可微性与全微分的定义；可微的必要条件与充分条件．

3、教学重点与难点：

（1）本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．

（2）通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．

第二节 复合函数微分法（8课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握复合函数求导的链式法则．

（2）较高要求：掌握链式法则的证明和理解一阶全微分形式不变性．

2、学要点与知识点：复合函数链式法则；复合函数的全微分；一阶全微分形式不变性．

3、教学重点与难点： 复合函数求导的链式法则， 一阶全微分形式不变性 第三节 方向导数与梯度（2课时）

1、教学目的与要求：掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算．

2、教学要点与知识点：方向导数与梯度的定义；方向导数与梯度的计算公式．

3、教学重点与难点： 方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系． 第四节 泰勒公式与极值问题（4课时）

1、教学目的与要求：

22 （1） 基本要求：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．

（2） 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．

2、教学要点与知识点：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件．

3、教学重点与难点： 二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值。

第十八章 隐函数定理及其应用（14课时）

第一节 隐函数（4课时）

1、教学目的与要求：

（1）基本要求：掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；学会隐函数求导法．

（2）较高要求：掌握隐函数定理的证明．

2、学要点与知识点：隐函数的定义；隐函数存在性定理；隐函数可微性定理．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是隐函数定理，学会隐函数求导法．要求学生必须熟记隐函数定理的条件与结论，了解隐函数定理的证明要点．

(2) 本节的难点是隐函数定理的严格证明，对较好学生在这方面提出要求． 第二节 隐函数组（3课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法．

（2）较高要求：理解隐函数组和反函数组定理的证明．

2、教学要点与知识点：隐函数组的定义；隐函数组定理；反函数组的定义与求导法．

3、教学重点与难点： 隐函数组和反函数组存在的条件与证明。 第三节 几何应用（2课时）

1、教学目的与要求：能够写出平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程．掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线，求空间曲线的切线与法平面，求曲面的切平面与法线．

23

2、教学要点与知识点：平面曲线的切线与法线方程；空间曲线的切线与法平面方程；求曲面的切平面与法线方程．

3、教学重点与难点：平面曲线的切线与法线方程，空间曲线的切线与法平面方程以及曲面的切平面与法线方程的求法。

第四节 条件极值（3课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．

(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式．了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．

2、教学要点与知识点：条件极值；拉格朗日乘数法．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．

(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．

第十九章 含参量积分（14课时）

第一节 含参量正常积分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．

(2) 较高要求：掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理。

2、教学要点与知识点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明；含参量正常积分的导数的计算．

3、教学重点与难点： 参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明.第二节 含参量反常积分（3课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法．

24 (2) 较高要求：掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．

2、教学要点与知识点：含参量反常积分的一致收敛性及其判别法；含参量反常积分的性质；含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，狄里克雷判别法和阿贝尔判别法；含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性．

(2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结．

第三节 欧拉积分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：了解 函数与 函数的定义与有关性质．

(2) 较高要求：了解 函数与 函数的关系公式．了解 函数与 函数的定义．

2、教学要点与知识点： 函数与 函数的定义； 函数与 函数的联系．

3、教学重点与难点： 函数与 函数的定义和性质，函数与 函数的关系．

第二十章 曲线积分（8课时）

第一节 第一型曲线积分（2课时）

1、教学目的与要求：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．

2、教学要点与知识点：第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．

3、教学重点与难点：第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 第二节 第二型曲线积分（4课时）

1、教学目的与要求：

25 (1)基本要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第

一、二型曲线积分的差别．

(2) 较高要求：了解两类曲线积分的联系．掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．

2、教学要点与知识点：第二型曲线积分的定义，性质和计算公式．

3、教学重点与难点：第二型曲线积分的定义和计算公式．

第二十一章 重积分（24课时）

第一节 二重积分概念（2课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．

(2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件．

2、教学要点与知识点：二重积分的定义和性质．

3、教学重点与难点： 二元函数可积的充要条件.第二节 直角坐标下二重积分的计算（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式．

(2) 较高要求：掌握二重积分化为累次积分公式的证明．掌握直角坐标下二重积分的计算公式．

2、教学要点与知识点：二重积分化为累次积分；累次积分的积分次序的交换．

3、教学重点与难点：

（1）直角坐标下二重积分的计算公式． （2）掌握二重积分化为累次积分公式的证明． 第三节 格林公式，曲线积分与路线无关性（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，理解格林公式以及曲线积分与路线无关的条件的定理的证明．

(2) 较高要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件定理应用的特殊技巧．

26

2、教学要点与知识点：格林公式；曲线积分与路线无关的条件．

3、教学重点与难点：格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，并应用格林公式化二重积分为曲线积分和化曲线积分为二重积分， 曲线积分与路线无关的条件的定理时掌握“挖”“补”等某些特殊技巧．

第四节 二重积分的变量变换（4课时）．

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握二重积分的极坐标变换．

(2) 较高要求：理解二重积分的一般的变量变换公式的证明．

2、教学要点与知识点：二重积分的一般的变量变换公式；极坐标变换公式．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是极坐标变换公式，要求学生必须熟练掌握．

(2) 本节的难点是二重积分的一般的变量变换公式的证明，可要求较好学生了解．

第五节 三重积分（4课时）

1、教学目的与要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．

2、教学要点与知识点：三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换．

3、教学重点与难点：三重积分的定义和性质，有界闭区域上的连续函数必可积． 第六节 重积分的应用（4课时）

1、教学目的与要求：学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力．

2、教学要点与知识点：曲面面积的计算公式；物体重心的计算公式；转动惯量的计算公式；引力的计算公式．

3、教学重点与难点：曲面面积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，

第二十二章 曲面积分（16课时）

第一节 第一型曲面积分（2课时）

1、教学目的与要求：

27 (1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．

(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．

2、教学要点与知识点：第一型曲面积分的定义和计算公式．

3、教学重点与难点：曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式．隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．

第二节 第二型曲面积分（4课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系．

2、教学要点与知识点：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．

3、教学重点与难点：

(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调

一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．

(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握．

第三节 高斯公式与斯托克斯公式（6课时）

1、教学目的与要求：

(1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．

(2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧．

2、教学要点与知识点：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．

3、教学重点与难点：本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系．

28

第12篇：数学分析报告

高崖学区2011—2012学年度第一学期期末 质量监测六年级语、数、外卷面分析报告

分析人：贺成贵

根据《高崖学区2011—2012学年度第二学期工作计划》和《高崖学区2011—2012学年度第二学期教研工作计划》，学区决定2012年3月8日把本学期各学校六年级的任课教师召集到一起来，共同探讨、交流目前我们六年级各科教学中存在的问题，希望大家积极交流，互相学习，共同提高。

一、在分析之前我首先在这里说四个感谢：

1、感谢上级领导的正确领导和大力支持，以及大家的精诚团结。

2、感谢上届毕业班各位任课教师们的辛勤耕耘和无私奉献。

3、感谢已经走向中学的那401名同学的刻苦学习和努力。

4、感谢今天在座的各位校长、教务主任和以老岳为首的接任、顺任的各位毕业班教师们。和往年相比本届毕业班在任课教师的配置上阵容之强大是空前的（我学区六年级有10个教学班，其中任课教师里有5位校长、5位教务主任和若干名年轻骨干教师）大家每天辛苦在教育第一线，面对上学期的“创强”和本学期党的阳光政策“营养计划”所带来的大家在工作中精力和时间上的分配问题，但你们在完成以上工作的同时，依然有条不紊的、加班加点的进行着毕业班的教学，这里向大家道一声：你们辛苦了！

二、下面我就上学期期末六年级各科统一质量监测的试卷及成绩，结合上届毕业班在接受海原县教育体育局2011年7月质量监测时的具体成绩和各学校的实际情况分学科做以下简单分析

(一)语文

1试卷分析：上学期六年级期末监测时语文试卷的从整体上来说试卷的内容较多涉及和涵盖了小学人教版语文第十一册的教材内容，题型较新颖，题量不是太大，试卷中没有过偏、过难的试题出现。整个试卷的试题组成就是由基础知识、阅读、作文等组成。基本符合我学区六年级学生的学习水平。

2成绩分析：上学期期末监测时我学区六年级学生语文的平均成绩是76.04分（不含附加分），其中最高的班成绩是79.26分（高出平均成绩3.22分）最低的班成绩是69.42分（低于平均成绩6.62分），10个教学班中有3个班级低于学区平均分。我学区上届毕业生在接受教育局统一质量监测时的语文平均成绩是69.04分，居全县乡镇学区第14名。通过以上数据的分析我们不难发现：目前我学区六年级学生的语文教学和学习水平很接近，各班之间差距不大。那么，在目前的教学和学习水平上要想再突破、再提高，给大家几点建议: （1）继续加强学生对1—6年级基础知识的牢固掌握（基础知识在每年的试题中占 40%的比例，要想再突破，基础知识的平均得分率必须在90%左右）。

（2）有计划、有目的的拓宽学生的阅读视野，加大学生的课外阅读量，让他们“见多识广”，同时要着力培养和训练学生在答阅读题时语言的精准性，尽可能做到言简意赅。（阅读知识一般占试题的30%的比例，由一个课内阅读和一个课外阅读组成，阅读知识的平均得分率应在80%左右）。

（3）科学引导和指导学生多写多练，要求学生写日记、周记，熟知小学作文的类型和要求。（作文一般占试题的30%的比例，平均得分率应在75%--80%之间）。

（4）培养学生答卷时的书写认真。

（二）数学

1试卷分析：1试卷分析：上学期六年级期末监测时数学试卷从整体上来说试卷的内容大量涉及和涵盖了小学人教版数学第十一册的教材内容，题型新颖，题量不是太大，试卷中没有过偏、过难的试题出现。整个试卷的试题组成就是由基本概念、计算、数学的应用等组成。基本符合我学区六年级学生的学习水平。

2成绩分析：上学期期末监测时我学区六年级学生数学平均成绩是73.92分（不含附加分），其中最高的班成绩是87.51分（高出平均成绩13.59分），最低的班成绩是55.59分（低于平均成绩18.33分），10个教学班中有4个班级低于学区平均分。我学区上届毕业生在接受教育局统一质量监测时的数学平均成绩是69.41分，居全县乡镇学区第16名。和我学区在全县乡镇学区中的总名次一样。通过以上数据的分析我们可以发现：目前我学区六年级学生的数学教学和学习水平不是很接近，各班之间差距相对较大。可见我们的数学教学相对来说有着很大的教学潜力。那么，在目前的教学和学习水平上要想再突破、再提高，给大家几点建议: （1）继续加强学生对1—6年级数学概念的牢固掌握和理解（概念知识在每年的试题中占 40%左右的比例，部分班级要想再突破，概念知识的平均得分率必须在85%---90%左右）。

（2）继续保持和提高学生的计算能力，目前来看本届毕业班学生的计算能力较往年相比优于以往，但我们不能骄傲，要继续加强训练和指导，尤其是学生的速算能力（计算题一般占试题的30%左右，计算题的平均得分率应在90%以上）。

（3）分类别、有目的的对学生进行应用题的专项训练。应用题在小学数学教学阶段是难点也是重点，训练时应该由简到难，循循善诱，逐步渗透。（应用题在试题中占30%左右的比例，应用题的平均得分率应该在80%左右）。

（4）通过学习提高课堂效益，建议部分学校的数学教师在面对自己的课堂教学所产生的教学效益或者学生的实际成绩，应该到其他教师的课堂中去学习这些教师高效的教学方法和对作业、练习的布置，以及他们对差生的辅导。希望大家以谦虚的教学胸怀，积极地去学习和交流，以便我们数学教学的共同提高。

（三）英语

成绩分析和建议：上学期期末监测时我学区六年级学生英语平均成绩是90.81分（不含附加分），其中最高的班成绩是98.11分（高出平均成绩7.3分），最低的班成绩是80.70分（低于平均成绩10.11分），10个教学班中有3个班级低于学区平均分。我学区上届毕业生综合学科在接受教育局统一质量监测时的平均成绩是32.65分，（其中英语平均成绩是10.67分，思品平均成绩是13.56分，科学平均成绩是8.42分）居全县乡镇学区第11名。高于我学区在全县乡镇学区中语文、数学的名次。通过以上数据的分析我们发现：目前我学区六年级学生的英语教学和学习水平很不错，各班之间差距相对不大。可见我们的英语教学相对来说有着很好的势头。希望各任课教师再接再厉，继续保持和发扬目前的教学方式，个别班级应该积极跟进，以求共同提高。同时建议和要求任思品、科学的教师一定要吸取去年的教训，应该科学、合理的对思品和科学的教学，指导学生在学习和复习中不可以拘泥于固定的模式中，尤其是科学（上届毕业生的平均成绩8.42分）。应该多渠道引导学生全面、系统地掌握小学3—6年级的相关知识，以达到我们整体提高的教学目的。

二0一二年三月六日

第13篇：数学分析教案

《数学分析Ⅲ》教案编写目录（1—16周，96学时）

课时教学计划（教案21-1）

课题：§21-1二重积分的概念

一、教学目的：

1．理解二重积分的概念，其中包括二重积分的定义、几何意义和存在性。2．理解二重积分的7条性质。

二、教学重点：二重积分的概念；二重积分的存在性和性质。

三、教学难点：二重积分的定义；二重积分的存在性。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由平面图形的面积和曲顶柱体的体积引出二重积分的概念。 平面图形的面积

（约40min，投影、图示与黑板讲解）

1．平面图形面积的定义；

2．平面图形可求面积的充分必要条件；

二重积分的定义及其存在性

1.2. 二重积分的定义；

二重积分存在的充分条件和必要条件。

二重积分的性质

（约25min，图示与黑板讲解）

结合二重积分的定义讲解二重积分的7条性质。

 补充例子：

（约10min，黑板讲解）

1．根据二重积分的定义计算二重积分； 2．根据二重积分的性质证明不等式。

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质。

八、作业：P217 习题

1，2，3，4，5，6，8。

1

课时教学计划（教案21-2）

课题：§21-2直角坐标系下二重积分的计算

一、教学目的：

掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法。

二、教学重点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

三、教学难点：定理21.8，21.9。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

由曲顶柱体的体积引出二重积分计算的直观概念。  定理21.8，21.9的证明



X型、y型区域的讲解及其定理21.10的证明

 直角坐标系下二重积分的计算举例

教材中例1—例4。

 补充例子：

利用二重积分计算体积；

七、课程小结：

直角坐标系下二重积分的计算。

八、作业：P222 习题

1，2，3，4，5，6，8。

（约5min，语言表述）

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约25min，图示与黑板讲解）

（约30min，图示与黑板讲解）

（约20min，黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案21-3）

课题：二重积分的概念与计算习题课

一、教学目的：

1．巩固二重积分的概念，其中包括二重积分的定义、几何意义和存在性。2．巩固在直角坐标系下二重积分的计算方法。

二、教学重点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

三、教学难点：直角坐标系下二重积分的计算方法。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的概念与性质

（约95min，投影、图示与黑板讲解）

1．二重积分的概念复习； 2．二重积分的性质复习。



二重积分的计算

1.2.利用二重积分的定义和限制计算二重积分和某些不等式；在直角坐标系下计算二重积分。

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质；二重积分的计算。

八、作业：P278

总练习题

1，2。

3

课时教学计划（教案21-4）

课题：§21-3格林公式、曲线积分与路线的无关性

一、教学目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在计算二重积分和曲线积分的方法。3.掌握曲线积分与路线无关的条件和应用方法。

二、教学重点：格林公式的理解和方法。

三、教学难点：定理21.11，21.12。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 格林公式，定理21.11的证明



例1—例3的讲解

 曲线积分与路线的无关性，定理21.12的证明

例4的讲解。

 补充例子：

利用二重积分计算曲线积分。

七、课程小结：

格林公式与曲线积分与路径无关的概念。

八、作业：P231 习题

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约25min，图示与黑板讲解）

（约30min，图示与黑板讲解）

（约20min，黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案21-5）

课题：§21-4二重积分的变量变换

一、教学目的：

1.理解二重积分的变量变换的基本思想；

2.3.掌握二重积分变量变换的方法特别是极坐标变换。掌握在极坐标系下计算二重积分的方法。

二、教学重点：二重积分的变量变换。

三、教学难点：引理和定理21.13，21.14。

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的变量变换公式

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



引理证明，定理21.13证明，例1，例2讲解

（约25min，图示与黑板讲解）

  用极坐标计算二重积分，定理21.14证明

（约20min，图示与黑板讲解） 二重积分在极坐标系下化为累次积分，例3，例4，例5，例6讲解

（约35min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的变量变换，在极坐标系下计算二重积分的方法。

八、作业：P242 习题

1，2，3，4，5。

5

课时教学计划（教案21-6）

课题：格林公式、曲线积分与路线的无关性

及积分变换习题课

一、教学目的：

1.2.巩固格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换；

巩固格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换的计算方法。

二、教学重点：格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换

三、教学难点：格林公式、曲线积分与路线的无关性及积分变换

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 讲解格林公式、曲线积分与路线的无关性的计算题

（约95min，投影、图示与黑板讲解）



讲解积分变换的计算题

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

二重积分的定义；二重积分性质；二重积分的计算。

八、作业：P243

总练习题

7，8 6

课时教学计划（教案21-7）

课题：§21-5 三重积分

一、教学目的：

1.2.3.理解三重积分的概念；

掌握化三重积分为累次积分的方法； 掌握三重积分换元法。

二、教学重点：三重积分换元法

三、教学难点：定义和定理21.15

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 三重积分的定义

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



定理21.15证明，例1，例2讲解

（约25min，图示与黑板讲解）

  三重积分还原公式，柱面坐标变换，球面坐标变换 （约20min，图示与黑板讲解） 例3，例4，例5讲解

（约35min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

三重积分的定义，在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下计算三重积分的方法。

八、作业：P251 习题

1，2，3，4，5。

7 课时教学计划（教案21-8）

课题：§21-6 重积分的应用

一、教学目的：

1.2.3.掌握重积分在求曲面面积的应用；了解重积分在重心的应用； 了解重积分在转动惯量的应用。

二、教学重点：重积分求曲面面积

三、教学难点：运用重积分公式求解曲面面积

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由曲面的面积引出重积分的应用。



建立曲面面积的计算公式

（约40min，图示与黑板讲解）

  例1讲解

（约35min，图示与黑板讲解） 简单介绍重积分在重心、转动惯量的应用

（约15min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

曲面面积的概念，重积分在计算曲面面积、重心、转动惯量中的应用。

八、作业：P259 1，2。

8 课时教学计划（教案21-9）

课题：§21-8 反常二重积分

一、教学目的：

掌握反常二重积分及其计算

二、教学重点：反常二重积分及其计算

三、教学难点：反常二重积分及其计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：



无界区域上的二重积分

（约10min，图示与黑板讲解）

    定理21.16，定理21.17的证明

（约40min，图示与黑板讲解） 例1的讲解

（约15min，图示与黑板讲解） 定理21.18，定理21.19

（约15min，图示与黑板讲解） 无界函数上的二重积分及定理21.20

（约15min，图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

曲面面积的概念，重积分在计算曲面面积、重心、转动惯量中的应用。

八、作业：P272 1，2，3。

9 课时教学计划（教案21-10）

课题：三重积分及重积分的应用习题课

一、教学目的：

1.巩固三重积分的概念，其中包括三重积分的定义、几何意义和存在性。2.巩固在直角坐标系下三重积分的计算方法。 3.巩固化三重积分为累次积分的方法。 4.巩固三重积分换元法。

二、教学重点：直角坐标系下三重积分的计算方法。

三、教学难点：三重积分换元法

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 二重积分的概念与性质

1.三重积分的概念复习；2.三重积分的性质复习。



三重积分的计算

1.化三重积分为累次积分；

2.在柱面坐标、球面坐标下计算三重积分；3.计算曲面面积。

七、课程小结：

三重积分的定义；三重积分性质；三重积分的计算。

八、作业：P278

总练习题

8

15min，投影、图示与黑板讲解）

（约80min，投影、图示与黑板讲解）

（约5min，黑板讲解）

（约

课时教学计划（教案22-1）

课题：§22-1第一型曲面积分

一、教学目的：

1.2.第一型曲面积分的概念。第一型曲面积分的计算。

二、教学重点：第一型曲面积分计算

三、教学难点：第一型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由求曲面的质量引出第一型曲面积分的概念。

 第一型曲面积分的概念

（约25min，投影、图示与黑板讲解）



第一型曲面积分的计算

1.2.定理22.1第一型曲面积分计算公式

（约30min，投影、图示与黑板讲解） 例1，例2的求解

（约35min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第一型曲面积分的定义；第一型曲面积分的计算。

八、作业：P282 1，2，3，4

11 课时教学计划（教案22-2）

课题：§22-2第二型曲面积分

一、教学目的：

1.2.第二型曲面积分的概念。第二型曲面积分的计算。

二、教学重点：第二型曲面积分计算

三、教学难点：第二型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

[引例]：

（约5min，语言表述）

由求流量问题引出第二型曲面积分的概念。

 第二型曲面积分的概念

（约25min，投影、图示与黑板讲解）



第二型曲面积分的计算

1.2.3.定理22.2第二型曲面积分计算公式

（约30min，投影、图示与黑板讲解） 例1，例2的求解

（约35min，投影、图示与黑板讲解）

简单介绍两类曲面积分的联系

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第二型曲面积分的定义；第二型曲面积分的计算。

八、作业：P289 1，2 12 课时教学计划（教案22-3）

课题：第

一、二型曲面积分复习课

一、教学目的：

1.2.巩固第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念。巩固第一型曲面积分、第二型曲面积分的计算。

二、教学重点：第

一、二型曲面积分计算

三、教学难点：第

一、二型曲面积分计算

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 第

一、二型曲面积分的概念

（约10min，投影、图示与黑板讲解）



第一、二型曲面积分的计算

1.2.习题巩固第

一、二型曲面积分计算公式

（约75min，投影、图示与黑板讲解） 简单介绍两类曲面积分的联系

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

第一、二型曲面积分的定义；第

一、二型曲面积分的计算。

八、作业：P305 1，2

13 课时教学计划（教案22-4）

课题：§22-3高斯公式与斯托克斯公式

一、教学目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教学重点：高斯公式与斯托克斯公式

三、教学难点：高斯公式与斯托克斯公式

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 高斯公式的重要意义

（约5min，投影、图示与黑板讲解）



高斯公式

1.2. 定理22.3证明

（约25min，投影、图示与黑板讲解） 例1的求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

斯托克斯公式的重要意义

（约5min，投影、图示与黑板讲解）



斯托克说公式

1.2.3.定理22.4证明

（约15min，投影、图示与黑板讲解） 例2的求解

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

定理22.5及例3

（约20min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式的计算

八、作业：P296 1，2，3，4 14 课时教学计划（教案22-5）

课题：§22-4场论初步

一、教学目的：

1.2.了解场的概念 掌握梯度场、散度场

二、教学重点：梯度场、散度场

三、教学难点：梯度场、散度场

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 场的概念、向量场线

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



梯度场的定义及其基本性质

（约20min，投影、图示与黑板讲解） 

例1求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解）

 散度场的定义及其基本性质

（约20min，投影、图示与黑板讲解）



例2求解

（约15min，投影、图示与黑板讲解） 

了解其他场

（约10min，投影、图示与黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

场的概念；梯度场、散度场。

八、作业：P296 1，2，3，4。

15 课时教学计划（教案22-6）

课题：高斯公式与斯托克斯公式和场论初步复习课

一、教学目的：

1.2.巩固高斯公式与斯托克斯公式 巩固梯度场、散度场

二、教学重点：高斯公式与斯托克斯公式

三、教学难点：高斯公式与斯托克斯公式

四、教学方法：多媒体、问题讨论与黑板讲解穿插教学。

五、教学用具：黑板、CAI课件及硬件支持

六、教学过程：

 高斯公式与斯托克斯公式

（约15min，投影、图示与黑板讲解）



高斯公式与斯托克斯公式的计算

（约65min，投影、图示与黑板讲解） 

复习场论知识

（约15min，黑板讲解）

七、课程小结：

（约5min，黑板讲解）

高斯公式与斯托克斯公式；高斯公式与斯托克斯公式的计算； 场的概念；梯度场、散度场。

八、作业：P305 3，4。

第14篇：数学分析 教案

第九章

空间解析几何

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念. 3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念. 4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算. 5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程. 6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形. 7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影. 8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘、点积与叉积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、点积与叉积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.教学难点：向量的概念，向量的点积与叉积的概念与计算，利用向量的点积与叉积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：14学时 教学手段：板书

学法建议：解析几何的实质是建立点与实数有序数组之间的关系，把代数方程与曲线、曲面对应起来，从而能用代数方法研究几何图形建议在本章的学习中，应注意对空间图形想象能力的培养，有些空间图形是比较难以想像和描绘的，这是学习本章的一个难点.为了今后学习多元函数重积分的需要，同学们应自觉培养这方面的能力.

参考资料： 使用教材：《高等数学》（第三版），高职高专十一五规划教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主编.参考教材： 1.《高等数学》，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月，宋立温等主编.2.《高等数学》，教育部高职高专规划教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主编.3.《高等数学》，第五版.同济大学数学教研室编，高等教育出版社.4.《高等数学应用205例》，李心灿编，1986年，高等教育出版社.5.《高等数学》，宋立温等主编，21世纪高职高专精品教材，北京理工大学出版社，2005年5月.

第一节 空间直角坐标系与向量的概念

教学目标：

1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式. 2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念. 3．理解向量的加法、数乘、点积与叉积的概念. 4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学重点：向量的概念，向量的加法、数乘的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘的运算.教学难点：向量的概念.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（3分钟）

(提问)举几个既有大小又有方向的量.(温故知新,进行一些必要知识铺垫。)

二、讲授新课（72分钟）

（一） 空间直角坐标系（17分钟）

在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O，这三条数轴分别称为x轴、y轴和z轴，一般是把x轴和y轴放置在水平面上，z轴垂直于水平面.z轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转090指向y轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz.在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，简称坐标面.x轴与yz轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分别称为x坐标，y坐标，z坐标.(提问)根据点的坐标的规定，点（0,0,c）在哪条坐标轴上，点（a，b，0）(a,0,c)在哪个坐标面上？（目的在于检验学生能否正确理解点与有序数组的对应关系，并在问题中正确应用.）

（二） 向量的基本概念及线性运算（15分钟） 1.向量的基本概念

（此部分内容在高中阶段已学，故可由教师引导，师生共同回忆完成） ⑴向量的定义：既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量．

⑵向量的模：向量的大小称为向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量． ⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.⑹自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量.2.向量的线性运算 ⑴ 向量的加法

① 三角形法则 若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为起点，以b的终点为终点的向量称为向量a与b的和向量，记为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.②平行四边形法则 将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为ab.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律：ab=ba； 结合律：（ab）+c=a+（b+c）.⑵ 向量与数的乘法运算

实数与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数的乘积，记作a，并且规定：

①a a；

②当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反； ③当0时，a是零向量. 设,都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：

结合律：(a)()a(a)；

分配律：()aaa , (a+b)=a+b.

向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.⑶ 求与a同向的单位向量的方法 设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量

eaa.a ⑷ 负向量 当1时，记(-1)a=-a，则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向量a的负向量. ⑸ 向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为 a-b=a +(-1)b .向量的减法也可按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a-b即是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量.

（三）向量的坐标表示（40分钟）

1、向径及其坐标表示

⑴ 基本单位向量 i,j,k分别为与x轴,y轴,z轴同向的单位向量.⑵ 向径及其坐标表示

向径 终点为P的向量OP称为点P的向径,记为OP.点P(a1,a2,a3)的向径OP的坐标表达式为OP=a1ia2ja3k或简记为 OP={a1,a2,a3}.讲解例1（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向径的坐标表示.）

2、向量M1M2的坐标表示

设以M1(x1,y1,z1)为起点,以M2(x2,y2,z2)为终点的向量M1M2的坐标表达式为 M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k.讲解例2（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确应用向量M1M2的坐标表示.）

3、向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.

4、空间两点间距离公式

222点M1(x1,y1,z1)与点M2(x2,y2,z2)间的距离记为d(M1M2),则d(M1M2)M1M2, 而M1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k 所以d(M1M2)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

讲解例

3、例4（学生讲解，考察学生对所学知识进行运用的情况） 5.坐标表示下的向量运算

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则有 （1）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k； （2）ab(a1b1)i(a2b2)j(a3b3)k； （3）a(a1ia2ja3k)a1ia2ja3k； （4）aba1b1,a2b2,a3b3 （5）a∥ba=ba1a2a3.b1b2b3引导学生看书、探究证明方法.由老师分析归纳证明思路，指出定理的作用与用法.讲解例5（师生共同完成，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

三、课堂练习（9分钟） 教材169页1—5题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度。旨在训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳）

（一） 空间直角坐标系

（二） 向量的基本概念及线性运算 1.向量的基本概念 2.向量的线性运算

（三）向量的坐标表示 1.向径及其坐标表示 2.向量M1M2的坐标表示

3.向量aa1ia2ja3k的模 a=a1a2a3.4.空间两点间距离公式 5.坐标表示下的向量运算

五、布置作业(2分钟) 1.教材169页

2、

4、6题

2.预习第二节向量的点积与叉积

222第二节 向量的点积与叉积

教学目标：熟练掌握用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学重点：向量点积与叉积的概念.教学难点：用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算.教学方法：讲授为主的综合法 教学学时：2学时 教学手段：板书

一、引入新课（5分钟）

(提问) 1.向径及其坐标表示2.向量M1M2的坐标表示3.向量aa1ia2ja3k的模

222a2a34.空间两点间距离公式 a=a1(温故知新,为用向量的坐标表示进行向量点积与叉积的运算做一些必要的知识铺垫。)

二、讲授新课（64分钟）

（一）向量的点积（34分钟）

1、引例

已知力F与x轴正向夹角为，其大小为F,在力F的作用下，一质点M沿x轴由x=a移动到x=b,求力F所做的功？（创设学习的情景，激发学生学习数学的兴趣）

分析：在力F使质点M沿x轴由x=a移动到x=b,所做的功等于F的模与位移的模及其夹角余弦的积.解略.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的点积的定义.

2、定义 设向量a,b之间的夹角为(0π)，则称abcos为向量a与b的数 量积，记作a·b，即 a·b=abcos.

向量的点积又称“点积”或“内积”.讲解例1.（教师分析，师生共同完成本题目的求解，目的在于检验学生能否正确理解向量的点积的定义.）

向量的点积还满足下列运算律: 交换律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

结合律：(a·b)=(a)·b (其中为常数).

3、点积的坐标表示

（1）设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则a·b=a1b1a2b2a3b3.（由学生自行得出点积的坐标表示公式，进一步加深对向量点积的定义的理解） （2）定理1：a⊥bab0a1b1a2b2a3b30

讲解例2.（学生讲解，考察学生对两向量正交充分必要条件的理解与应用能力）

4、向量a与b的夹角余弦

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k,则 cosa1b1a2b2a3b3ab = (0π).

222222aba1a2a3b1b2b

35、向量的方向余弦

设 向 量 aa1ia2ja3k与 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 的 正 向 夹 角 分 别 为

,,(0,,π),称其为向量a的三个方向角，并称cos ,cos,cos为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为

cos且cos2cos2a1aaa212223, cosa2aaa212223, cosa3aaa212223，

cos21.讲解例4（（师生共同完成.利用数学建模解决物理问题，让学生熟悉建模过程，规范解题步骤.数学来源于生活、服务生活，培养学生学数学、用数学的意识.）

（二）向量的叉积（30分钟） 1.引例

设点O为一杠杆的支点，力F作用于杠杆上点P处，求力F对支点O的力矩.分析：力F对支点O的力矩等于F的模与向量OP的模及其夹角正弦的积.解略.（这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义？引起思维的碰撞，引出向量的叉积的定义.）

2.叉积的定义

(1)定义 两个向量a与b的叉积是一个向量，记作a×b，它的模和方向分别规定如下：

①a×b=absin 其中是向量a与b的夹角；

②a×b的方向为既垂直于a又垂直于b，并且按顺序a,b,a×b符合右手法则.（2）向量的叉积满足如下运算律.反交换律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

结合律：(a×b)=(a)×b=a×(b)(其中为常数).讲解例5（学生讲解，考察学生对向量叉积定义的理解与应用能力） （3）定理2：a∥bab0.3.叉积的坐标表示

设aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，则

a×b=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j(a1b2a2b1)k.可将a×b表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3 .

b1 b2 b3

讲解例6（师生共同完成，加深学生对叉积的坐标表示公式的记忆，让学生熟悉解题过程，旨在规范学生解题步骤，培养科学的学习方法与态度）

讲解例8(师生共同完成，训练学生解决实际问题的能力)

三、课堂练习（15分钟）

教材174页思考题1—3题.（检验学习效果，让学生在会的基础上，训练解题速度.）

四、内容小结（4分钟）

（教师引导学生一起完成，让学生学会总结归纳，训练学生总结数学思想的能力，并在学习中注意这些数学思想的应用.）

（一） 向量的点积定义、坐标表示；

（二） 向量的叉积定义、坐标表示及记忆方法.

五、布置作业(2分钟) 1.教材174页

2、

4、

6、8题 2.预习第三节平面与直线

第15篇：四年级数学分析

新寨小学2016学年一年级下学期数学期末试卷分析

袁昌荣

本次期末测试主要是一年级下册教材全部内容，出题主要依据《课标》的基本理念和所规定的教学内容为依据，努力体现数学的基础性，同时体现教材的创新、实用、开放的特点，达到了教材所要求的目标。现将我班期末测试情况分析如下：

一、考试情况：

本次考试，我班原有学生90人；参加考试有90人，及格率96.45%，总分是分别是3735.2、3669.6分，平均分分别是.81.

2、83.4分，优秀人数分别是

38、36人，优秀率达到85.3%。90—94分的分别有

18、14人，80—90分分别有

12、15人，70—80分分别有

6、7人，60—69分的有

5、4人，不及格的

5、4人。全班最高分100分，最低分29分。从卷面的得分情况来看，总体成绩不够理想。

二、卷面分析：

（一）本次试卷共分六大题题型有：第一题填空、第二题判断题、第三题选择、第一题计算(口算、竖式计算及验算、脱式计算及简算)，第五题操作题，第六题应用知识、解决实际问题。让学生置身在一个充满趣味的数学活动中，激励学生用自己的智慧去解决问题，体现了浓浓的人文关怀。

（二）学生答卷分析：

1、计算方面：口算完成得较好，有85名学生全对，笔算方面有72名学生全对。大部分部分学生都能运用正确的方法进行计算。但少部分学生由于粗心造成错误。

2、大部分学生有良好的书写习惯。个别学生还是书写乱。

1

本次试卷中，除了极个别学生外，大多数学生能做到了书写工整，卷面整洁，这与我平时的指导和要求及学生的努力是密不可分。

3、学生对加法、减法、图形、看图列式计算知识掌握较好，出现错误少，个别是因为不认真审题造成的。

4、在解决问题方面、有63名学生能较好地完成，个别学生出现不认真审题造成做错的情况。少部分学生分析问题能力欠缺，联系实际生活解决问题的能力有待于提高。

三、改进措施：

（1）、加强学生对基础知识的掌握，利用课堂教学及课上练习巩固学生对基础知识的扎实程度。

（2）、加强对学生的能力培养，尤其是动手操作认真分析和实际应用的能力培养。

（3）、培养学生良好的学习习惯，包括认真审题，及时检查，仔细观察，具体问题具体今分析等良好的学习习惯。

（4）、加强与家长的联系，及时沟通，共同努力，提高学生综合素质。

一、整改方案：

1、立足教材，扎根生活。认真钻研教材，从生活数学做起，努力提高学生对数学的自信心和兴趣。是我们的教学之本，在教学中我们既要以教材为本，扎扎实实地把数学基础知识夯实，又要紧密联系生活，让学生多了解生活中的数学，用数学解决生活的问题。

2、加强基础，强化习惯。重视数学基础，加强数学基本功训练是学好数学的法宝。如：口算、速算、计算中的巧算，常用数值的强记等。另外就是要经常性地对学生进行查漏补缺，科学编制一些简易又能强化学习结果的材

2 料，给学生解题设置一些障碍，让学生通过思考、探究，解决这些问题不定时地进行检测、评估、矫正。同时注意学生学习习惯的养成教育。如; 估算、验算、认真审题、检验方法等。

3、教师应多从答题错误中深层次反思学生的学习方式、思维的灵活性，联系生活、做数学能力等方面的差距，做到既面向全体，又因才施教。

4、“双基”引路，探究创新。结合学生实际进行训练数学教学不仅要使学生获得基础知识和基本技能，而且要着力引导学生进行自主探索，培养自觉发现新知、发现规律的能力。这样既能使学生对知识有深层次的理解，又能让学生在探索的过程中学会探索的科学方法。让学生在积极的动脑、动手、动口等全面探究中提出问题、分析问题、解决问题，既拓宽了知识的广度，又培养了学生应用数学知识解决实际问题的能力。

3

第16篇：数学分析复习题

数学分析（2）复习题2010-06

第八章 不定积分

1.利用换元法求下列不定积分 (1)

1sinx

dx

;

(2)



; (3)



x

(ab).2.利用分部积分法求下列不定积分

(1)



ln(x

dx; (2)

arcsin1xx; (3) 

4xe

arctanx

3dx.

(1x)

223.求不定积分 I

1x

dx

2

x

,J

1x

x

2

2

x

4dx.

第九章 定积分 1．求极限lim

1n

n

[1cos

xn

cos

2xn

cos

(n1)x

n

]（xR）

参考：P207习题2

2．用可积准则证明：若f(x)为[a,b]上的连续函数，则f在[a,b]上可积

参考：P209-P211可积类的证明

3.证明Riemann函数(见P211)是可积的。参考：P211例3 4．设f为[a,b]上的非负连续函数，证明：如果f(x)dx0，则

ab

参考：P217例2 f(x)0,x[a,b]。

5.求极限lim



sin0

2

x

ln(1t)dt

4

x0

.



1参考：P229习题1和

3x

6.设f是连续函数。证明



0

xf(sinx)dx



2



0

f(sinx)dx

并利用这一结果计算定积I



0

xsinx

2

1cos

x

dx.参考：P230习题7，

2

4

7.设f(x)在[0,a]上可导，且nnexaf(x)dxf(a)(

1n

a)

证明：(0,a)使f()f()0 8.若f在[a,b]上连续增，

x1

f(t)dt,x(a,b]

F(x)xaa

f(a),xa

证明F为[a,b]上的增函数.参考：P237习题2

第十章 定积分的应用

9．求心形线ra(1cos)的全长及它所围图形的面积． 10．求椭球面

xa

22

xa

22

yb

22

yb

22



zc

22

1所围的椭球体的体积．参见：P244例2

11．求椭圆1绕y轴旋转所得的旋转曲面的表面积．参见：P254例1

12． 一根长为l的均匀细杆，质量为M，在其中垂线上相距细杆为a处有一质量

为m的质点．试求细杆对质点的万有引力．参见：P256例2

第十一章 反常积分

13.讨论瑕积分

10

dxx(lnx)

p

是否收敛？ 参见：P269习题2（8） x

1

14．讨论反常积分()15．讨论反常积分





0

1x

dx的收敛性．参见：P278例2

e

x

lnxdx的收敛性．参见：P279习题3（8）

16.计算瑕积分lnxdx（其中n为正整数）的值．参见：P279习题4（1）

n

17.设I1



0

11x

dx，I2



0

x

24

1x

dx，

（1）证明I1收敛；

（2）证明I1I2，并求I1的值（提示：I1答案：

12

(I1I2)）.

22

第十二章 至 第十五章级数

18.判别下面正项级的收敛性



（1）

n1

3sin(n1)

2n

n

3

nln(1

1n

)



；（2）

n2

n2n

；（3）

n3

n(lnn)(lnlnn)

；



19.级数(1)n

n2

1ln

10

n

是条件收敛，还是绝对收敛。



20．设正项数列an单调减少，且级数(1)an发散，证明

n

n1



1(1an)

n

收敛。

n1

21．讨论级数1

12





13



14





1

5

16



（R）的收敛性。

答案：分情况讨论，只有当1时收敛



n



3n



22．若级数a收敛，证明a和

n1



n1

n1

ann

p

(p

12

)都绝对收敛。

23．若级数an与bn都收敛且有ancnbn

n1

n1

(n1,2,)，

证明cn收敛。参见：P25习题2

n1



24.求级数

n1

1n(n1)

x的收敛域及其和函数。

n



25．求级数

n0

(1)

n

2n1

x

x

2n1

的收敛域及其和函数。

26．把函数

1x2x

展开为关于x的幂级数并指出收敛域。

27．将函数f(x)arctan28．把函数

x0

x11x

展开为x幂级数并指出收敛域。

sintt

dt展开为关于x的幂级数并指出收敛域。

12

0,1x

x129．把函数f(x)1,122

0,1x1

2

展开为Fourier级数并指出收敛性。

30．把函数f(x)x(0x)展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数

证明

11



13



15





8。

第十六章 至 第十七章多元微分学

31．证明：当且仅当存在各点互不相同的点列PnE，PnP0，limPnP0时，

n

P0是E的聚点。参见P92习题3

32．讨论二元函数

f(x,y)

xyxy

xy

在点(0,0)的二重极限及两个二次极限。参见P98例7 33．讨论二元函数

1,0yx2

f(x,y)

0,其它

在点(0,0)的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。（注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。）参见P95例4等

22

xy

,22f(x,y)34．证明: (xy)

0,

xy0xy0

22

在点(0,0) 处连续且偏导数存在， 但不可微 。

22

(xy)sin

35．证明函数f(x,y)

0,

1xy

,xyxy

22

00

在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在(0,0)不连续，而f在(0,0)可微． 参见：P117习题7 36．设uf(

xyuuu

． ,)，其中f为可微函数，求,,

yzxyz

参见：P123习题1

37．设uu(x,y)可微，在极坐标变换xrcos,yrsin下，求

uu



xy



的表达式。参见：P120例2 

38．设函数zf(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)1,

ddx

fx

(1,1)

2,

fy

(1,1)

3,

(x)f(x,f(x,x))，求(x)

x1

．

39.求旋转抛物面zx2y21在点P(2,1,4)处的切平面及法线方程。



P(1,1,1)40．设f(x,y,z)xyz，求f在点0的梯度及沿方向l:(2,2,1)

的方向导数．

第17篇：数学分析3

数学分析

3第十六章 多元函数的极限和连续

一、本章重难点

1、本章重点：（1）开集，闭集；

（2）R2上的完备定理；

（3）多元函数的定义，重极限和二次极限，多元函数的连续及性质。

2、本章难点：（1）R2上的完备定理证明；

（2）重极限和二次极限。

二、本章教材处理意见

（1）平面点集的几个概念在以后的学习中应用很多，需要讲透。多元函数的概念需要配备图形给学生以直观理解。R2上的完备定理是R上几个完备定理的推广，其证明难度较大需要花气力说清楚。

（2）二元函数的极限是个难点，它的极限要求较高，应该是讲解的重点。注意二元函数极限与累次极限的区别。

三、考核要求

重点 R2的极限，有界集，内点，边界点，孤立点，聚点，开集和闭集及其关系，闭包，理解闭矩形套定理；掌握多元函数的定义，多元函数的极限和累次极限及其关系，多元函数的连续，了解向量值函数及其极限、连续等性质；理解上连续函数的有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理，掌握连通集和区域等概念。

四、习题处理意见

横线以下可以作为学生自学提高的思考题。

第十七章多元函数的微分学

一、本章重难点

本章重点：（1）偏导数和高阶偏导数的概念与计算；

（2）理解方向导数﹑梯度﹑切线与法平面的概念；

（3）掌握多元复合函数的求导法则；

（4）掌握泰勒公式与极值问题。

2、本章难点：（1）高阶偏导数的计算；

（2）多元复合函数的求导；

（3）泰勒公式与极值问题。

二、本章教材处理意见

（1） 多元函数的微分是本章的重难点，它与一元函数的微分有很大不同，注意多从几

何图形加深理解。

（2） 复合函数的微分无论一元函数还是多元函数都是一个学生很难理解的概念，需要

加重讲解的力度和练习强度。初学复合函数求导时，可利用所谓“链式法则”帮

1助学生理解，以免丢掉一些项。建议采用函数“分解”图分析出各个坐标分量。

（3） 条件极值的求法是个重点。最小二乘法有着广泛的实际应用，注意与实际问题联

系。

三、考核要求：

重点掌握偏导数，方向导数，全微分，连续、可偏导、可微之间的关系，梯度，高阶偏导数和高阶全微分，了解混合偏导数的相等，向量值函数的导数；重点掌握多元复合函数的链式法及其应用。会求多元函数的极值。

第十八章 隐函数定理及其应用

一、本章重难点

1、本章重点：（1）隐函数存在定理；

（2）隐函数组定理；

（3）隐函数求导；

（4）空间曲线的切线与法平面；

(5) 拉格朗日乘数法，条件极值。

2、本章难点：（1）隐函数组定理；

（2）隐函数求导；

（3）几何应用。

二、本章教材处理意见

（1） 关于隐函数的存在性分析要借助于空间图形以便于直观认识。要求学生深

刻理解隐含书的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；

（2） 隐函数组定理是个难点，结合隐函数存在唯一定理讲解透彻。强调Jacobi

行列式的作用，它相当于一元函数的导数；

（3） 从理论上说，条件极值都可化为普通极值，从解题上说有很多的条件极值

不能化为普通极值。这是因为联系方程（组）的解不一定是初等函数，所

以不能直接化成普通极值。这说明拉格朗日乘数法的优越性。

三、考核要求：

深刻理解隐函数的概念及其意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；知道函数组在一点的邻域存在反函数组的条件；会求隐函数或隐函数组的偏导数和高阶偏导数；会求用隐函数给出的空间曲线的切线方程与法平面方程，以及用参数方程给出的曲面的切平面方程与法线方程；会用拉格朗日乘数法求条件极值。

第十九章含参变量积分

一、本章重难点

1． 本章重点：（1）理解含参变量的常义积分的定义及分析性质；

（2）掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分

析性质；

（3）掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。

2． 本章难点： （1）含参量反常积分的一致收敛以及计算；

（2）欧拉积分。

二、教学内容：

§1 含参变量的常义积分

含参变量的常义积分的定义；含参变量的常义积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理；含参变量的常义积分的计算。

§2 含参变量的反常积分

含参变量的反常积分的一致收敛的定义及判别法：Cauchy收敛原理、Weierstra判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法及Dini定理；一致收敛积分的分析性质：连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理。

§3Euler积分

Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系；关于Gamma函数的Legendre公式、余元公式和Stirling公式。

含参变量积分是表示初等函数和定义非初等函数的重要工具。我们要求掌握以下内容：

1． 掌握含参变量的有限积分和无穷积分所定义函数的分析性质，及其证明方法；

2． 掌握含参变量无穷积分的一致收敛定义及其判别法，并会叙述非一致收敛；

3． 应用积分号下的可微性与可积性，会计算一些定积分与广义积分；

4． 记住Beta函数和Gamma函数的定义、性质，并会应用Beta函数和Gamma函数计算一些

定积分与广义积分。

三、考核要求：

熟练掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；熟练掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质；掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。

第二十章曲线积分

一、本章重难点

1． 本章重点：（1）理解第

一、二类曲线积分的概念、性质；

（2）掌握第

一、二类曲线积分的计算。

2．本章难点：第

一、二类曲线积分的概念、计算。

二、教学内容：

§1 第一类曲线积分与第一类曲面积分

第一类曲线积分的概念；第一类曲线积分的性质；第一类曲线积分的计算。

§2 第二类曲线积分

第二类曲线积分的概念、性质、计算。

平面上的第一型曲线积分也是定积分的一种推广。它将在x轴线段上的积分推广到平面曲线段上的积分，或者说，定积分是平面上第二型曲线积分的特殊情况。第二型曲线积分与第一型曲线积分不同，它不是关于弧长的积分，在直角坐标系内它是关于弧长元素在坐标轴上投影的积分，它主要是讨论向量函数。要求：

1． 掌握第一型与第二型曲线积分的概念及其物理意义；

2． 能熟练计算用不同形式给出的曲线方程的第一型和第二型曲线积分。

第二十一章 重积分

一、本章重难点

1．本章重点：（1）重积分的概念、可积函数类、性质、以及计算；

（2）格林公式以及曲线积分与路径无关性；

（3）各种坐标系下重积分的计算。

（4）化三重积分为累次积分以及三重积分的坐标变换。

2．本章难点：（1）重积分的计算。

二、本章教学要求：

二重积分的定义、可积条件、性质与定积分的定义、可积条件、性质，基本上是平行的，它们是定积分在二维空间的推广。值得注意的是，二重积分的定义、可积条件、性质等都是按二重极限（每个变量都是独立变化的）处理的，而二重积分的计算却采用累次积分方法，即将二重积分的计算化为连续两次定积分的计算，从而要安置积分限，有的还要进行变量替换。Green公式的形式及意义；Green公式与Newton-Leibniz公式的关系；用Green公式计算曲线积分及求区域的面积；曲线积分与路径无关的条件及其应用；三重积分的定义、可积性、性质以及计算都是与二重积分是完全平行的，二者只是形式上的区别，对三重积分重点是它的计算。要求：

1． 掌握二重积分的定义、可积条件、性质等

2． 会用累次积分方法计算二重积分，掌握各种变量替换；

3． 会利用格林公式计算曲线积分；

4． 会应用曲线积分与路线无关的等价命题计算或证明某些问题；

5． 会用累次法计算三重积分，熟练地掌握柱面坐标替换和球面坐标替换。

第二十二章 曲面积分

一、本章重难点

1． 本章重点：（1）第一型曲面积分与第二曲面积分的概念、计算；

（2）Gau公式及其应用；Stokes公式及其应用；Green公式、Gau公

式和Stokes公式三者之间的关系。

2． 本章难点：（1）第一型曲面积分与第二曲面积分的概念、计算；

（2） Gau公式及其应用；Stokes公式及其应用；Green公式、Gau公

式和Stokes公式三者之间的关系。

二、本章教学要求

第一型曲面积分是二重积分的推广，它是将 xy平面上有界区域推广到三维空间中的有界光滑曲面。第二型曲面积分是向量函数在曲面上的积分，它是力学、电学等学科的重要数学工具。Gau公式是沟通三重积分与第二型曲面积分之间的桥梁。Stokes公式是沟通第二型曲面积分与空间曲线积分之间的桥梁，这两个公式在场论中占有重要地位。要求：

1． 掌握第一型曲面积分与第二型曲线积分的定义及其性质；

2． 会计算第一型曲面积分与第二型曲面积分，特别掌握Gau公式和Stokes公式，并能应用它们计算曲面积分；

3． 会应用空间曲线积分与路径无关的条件计算或论证某些问题。

考核要求：

综合分析第

一、二类曲面积分的概念与计算；掌握Gau公式和Stokes公式及其应用。数学分析课程建设小组

执笔人：刘红美2004年10月

第18篇：数学分析试题库

数学分析

（三）试题（第１套）

一、填空题（每小题３分，共15分） f(x,y)x2y2

１函数

２曲面：z21ln(x2y2)的定义域为（）． x2y

2在点M(3,4,5)处的切平面方程是（）．

３D{(x,y,z)|0x,y,z1}，则(x2y3z)dxdydz＝D（ ）．

４设f(x,y)是连续函数，交换累次积分的次序

dxf(x,y)dy＝（）． 10elnx

５、(2,2)xdxydyxy22(1,1)（）．

二、是非题（下列各题，你认为是正确的，请在题干的括号内打“√”，错的打“×”．每题２分，共10分）

limlimf(x,y)(x,y)f(x,y)x00１设在点处的二重极限存在，则累次极限x0yy0也存

在．（）

２设f(x,y)在点(x,y)处可微，则f(x,y)在(x,y)连续． （） ３设Ｃ为圆周，方向是逆时钟的，则C

４非正常积分xdyydx2．（） 

0e2xydy关于x在 [1,2]上一致收敛．（）

５设D为有界闭区域，函数f(x,y)在D上非负且连续，则f(x,y)d

Dxdy>0 ．（）

三、单选题（在本题的每个小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内，多选不给分．每题３分，共15分）

１函数f(x,y)在有界闭区域D上连续是f(x,y)在D上可积的( )．

①必要条件②充分条件

③充分必要条件④既不是充分条件也不是必要条件

2

2cos(xy)dxdy

２二重积分



x2y2

2

＝（）．



①

22rcosrdr

②

2rcosrdr

③

20rcosrdr



④

rcosrdr

３设f(x,y)为整个平面上的连续函数，AB为垂直于y轴的直线段，则（）．①③



AB

f(x,y)dx0f(x,y)ds0

②④



AB

f(x,y)dy0



ABAB

f(x,y)dxf(x,y)dy0

４设L是有界闭区域D的边界曲线的正向，F(x,y),G(x,y)都在D上连续且有连续偏导数，则（）．

①

(

D

FG

)dxdyFdxGdyxyL FG)dxdyGdxFdyxyL GF)dxdyGdxFdyxyL FG)dxdyGdxFdyxyL

x2

②

(

D

③

(

D

④

(

D

５设

f(x)

dy

ln(1xy)dy

，则dx＝（）．

①



x2

2x

1xy②ln(1x2y)2x 

11x2y④ln(1x2y)

x2

③

四、计算题 (每小题5分，共30分)1 设f(x)在实数范围内具有二阶连续导数，

F(x,y)f(x2y2)f(xy)．

2F

求F(x,y)的二阶偏导数xy．

I

2计算二重积分

dxdy

D

其中Ｄ是由直线y3x,x3y,xy8所围成三角形区域．

3求抛物面zxy被两个平面z1,z2所截部分的体积．

4设D{(x,y)|0xy}，求

e

D

(x2y2)

dxdy

．

x2y2z24dydz22,xy2xdxdx． 5求由方程组所确定的导数

6 计算



AB

xdy

其中曲线AB是半径为2的圆在第一象限的部分，方

向是A到B的方向．其中A的坐标是(0,2)，B的坐标是(2,0)．

x2y

,

f(x,y)x2y

20,

五、(８分)证明函数

存在，但不可微．

六、(7分)设a

x2y20

x2y20在点(0,0)处连续且偏导数

0，证明积分0



exydy

在[a,b]上一致收敛．

七、（８分）验证(3xy4xyy)dx(x4xy3xy)dy是某函数的全微分，并求它的原函数．

八、（７分）设f(u)具有连续导数，证明对任何光滑闭曲线L，

L

f(xy)(ydxxdy)0

．

第19篇：高考数学分析

2018高考理科数学评析：概率大题有新意

广东加入全国卷已三年，今年的考卷贯彻了稳中求变的思想，多层次、多角度、多视点地考查了学生的数学核心素养和学科潜能，这样的试卷对考生来说无疑是“福音”。从考点与命题特点来看，以能力立意，突出考查数学核心素养。总的来说，回归课本，夯实基础才是王道!

一、试卷各板块占比——覆盖比重有调整

分析各模块占比：整套试卷在六大板块的考查比重上有所调整，三角函数弱化，概率和解析几何的顺序调换，概率需要用到导数，强调应用性。

二、试卷各部分分析——选填重基础，大题较常规

①选填题：

选择填空部分的考点设置基本与前两年新课标全国卷一致，部分考题有新意，计算量下降，第3题考查概率时加入现实背景，题目不难，但粗心的同学易选错。第7题立体几何，以三视图为背景，结合最短路径考查。第10题几何概型，加入数学历史背景，可用勾股定理联系三个半圆之间的面积关系，也可用特殊值法来解答。第12题立体几何，考查截面面积最大的问题，过程较难想到，但计算量小。填空题前三题较常规，第16题以三角函数为载体，考查函数最值问题，学生容易在三角函数上纠结，实际上应该用导数解答。

②解答题：

本次大题考查题型较为常规，但是题目顺序略有调整，其中，概率与解析几何位置互换。另外，题目难度相较于往年整体下降。比如，第17题三角函数，两问都只考查了余弦定理，计算量不大。第18题立体几何，主要考查了垂直证明以及线面角的求解，几何法会比建系更为简单，计算量不大，难度一般。第19题改为了圆锥曲线，其中第二问的角度相等需要转化为斜率互为相反数，即证明

即可，计算量和难度相较于往年的圆锥曲线问题都大大下降，较易得分。第20题则变成了概率统计问题，首先是位置的对调，体现了未来数学的改革方向——强调应用性+概率统计难度加大。另外，题目的考查方式较为新颖，第一问需要与求导相结合，而第二问需要先利用二项分布求出不合格品的期望，再得到总费用的期望，这一步的思路转化比较困难。最后一道压轴题难度相较于往年难度下降，第一问直接求导或者分参后求导，变为二次函数分类讨论即可;第二问属于与韦达定理相关的双变量问题，最后通过设立新的主元构造函数求函数最值即可。

整体来说，在广东确定使用新课标卷的第三年，在题目设置上略有调整，依然需要考生注重基础，回归教材，重视数学本质。但在概率部分增强了应用性，有较强数学核心素养的学生更有优势。

2018高考全国卷Ⅰ文科数学评析：基础题比例加大

纵观高考新课标全国卷Ⅰ文科数学试题，加大了基础题目的比例以及基础题型的考查。考点大部分覆盖近几年的试题，但在知识比重和能力要求上略有变化。其中概率小题和程序框图题目在2018年试卷中消失，增加了对空间几何体的考查，对学生空间想象能力要求有所提高，比如考查了圆柱的截面、圆柱的表面最短路径、线面夹角，以及空间折叠。同时试卷重视数学知识与实际问题的结合，比如第3题和第19题，以生产生活为背景，从实际中抽象出数学问题，将数学知识与实际问题相结合，考查考生的阅读理解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用价值。

一、试卷各板块占比

2018年高考全国1卷文科数学试题遵循《普通高中数学课程标准》、《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲》和《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》的要求，试卷结构略有调整，删去了程序框图，并减少了对概率统计的考查，增加了三角函数与立体几何，考查学生的数学运算与直观想象核心素养，在题目设置上注重对数学基础知识、数学思想方法和数学能力的考查，加强与实际生活的结合。

二、试卷各部分分析

①选填题：

选择填空部分的考点设置与新课标近几年基本保持一致，顺序略有调整，尤其注重基础，考查通性通法的应用，同时注重与实际生活的接轨。第3题图表题考查学生对文字的阅读理解能力与细心程度;第12题分段函数问题，需要分类讨论或者数形结合的思想去处理，考查学生的综合能力;第16题属于解三角形问题，需要边角互化后借助余弦定理来解决问题。

②解答题：

第17题与近三年一致考查数列，求数列通项需要构造一个新的等比数列，但前一问证明给了提示，相对而言难度不大。第18题立体几何第1问属于常规证明题，主要考查对面面垂直判定定理的应用，但是证明过程不规范容易失分，第2问属于求棱锥体积的常规题型，但求解过程涉及折叠问题中不变量与变量的动态分析，同时底面面积计算过程稍微复杂，有一定难度，属于中档题。第19题考查频率分布直方图，比较常规，但是需要注意不要犯计算错误。第20题以抛物线作为圆锥曲线大题考查，第1问考查点为直线方程及抛物线方程代入，运用数形结合思维，较容易得出答案。第2问，参考2015年全国卷I的圆锥大题，将角度的证明转化为斜率的关系，考生若掌握直线与圆锥曲线的联立、韦达定理运用，以及一定的计算能力，不难证明。第21题导数题是含有指数和对数的函数，在导数压轴题中较为经典。第1问考查极值的定义，从而求出参数，然后求函数的单调性。在解答时，首先要注意指数函数的定点，从而取到导数为零的点，然后用二次求导即可解决(考查学生对常见函数的熟悉程度)。第2问考查恒成立的问题，并给出了参数的范围，其实相当于把导数最值代入进行计算，从而得到对应的不等式。考虑到函数中既有指数，又有对数，所以考查学生对经典不等式的了解，实际上也可看成是两个函数求交点的问题。

③选做题：

极坐标系与参数方程题型常规，考查学生对极坐标与直角坐标的转换，第2问需要数形结合，需要学生转换为直线与圆求切线。不等式选讲也是常规题目，第1问已知参数值，属于送分题目。第2问需要根据题目所给范围去掉一个绝对值，如果学生掉入分类讨论的圈子里去，会将题目变得复杂。

第20篇：617 数学分析

617 数学分析

三、考试形式一）试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

（二）答题方式 答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成，所有题目的答案必须写在答题纸相应的位置上。考生不得携带具有存储功能的计算器。

（三）试卷结构 一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论及其他（隐函数理论、场论等）考核的比例均约为1/3，分值均约为50分。

四、考试内容 (一) 变量与函数

1、实数：实数的概念、性质，区间，邻域；

2、函数：变量，函数的定义，函数的表示法，几何特征（有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数），运算（四则运算、复合函数、反函数），基本初等函数，初等函数。(二) 极限与连续

1、数列极限：定义（-N语言），性质（唯一性，有界性，保号性，不等式性、迫敛性），数列极限的运算，数列极限存在的条件（单调有界准则（重要的数列极限n迫敛性法则，柯西收敛准则）；

2、无穷小量与无穷大量：定义，性质，运算，阶的比较；

lim(1n)e1n），

3、函数极限：概念（在一点的极限，单侧极限，在无限远处的极限，函数值趋于无穷大的情形（-, -X语言））；性质（唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性）；函数极限存在的条件（迫敛性法则，归结原则（Heine定理），柯西收敛准则）；运算；

sinx11lim(1)xex0xxx

4、两个常用不等式和两个重要函数极限（，）；

lim

5、连续函数：概念（在一点连续，单侧连续，在区间连续），不连续点及其分类；连续函数的性质与运算（局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性，介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性）；初等函数的连续性。

（三）实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

1、概念：子列，上、下确界，区间套，区间覆盖；

2、关于实数的基本定理：六个等价定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理）；

3、闭区间上连续函数性质的证明：有界性定理的证明，最值性定理的证明，零点存在定理的证明，反函数连续性定理的证明；一致连续性定理的证明。

（四）导数与微分

1、导数：来源背景，定义（在一点导数的定义、单侧导数、导函数），导数的几何意义，简单函数的导数（常数、正弦函数、对数函数、幂函数），求导法则（四则运算，反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程所表示函数的求导法则）；

2、微分：定义，运算法则，简单应用；

3、高阶导数与高阶微分：定义，运算法则。

（五）微分学基本定理及导数的应用

1、中值定理：费马（Fermat）定理，中值定理（罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西(Cauchy)中值定理）；

2、泰勒公式及应用（近似计算，误差估计）；

3、导数的应用：函数的单调性、极值和最值，函数凸性与拐点，平面曲线的曲率，七种待定型与洛必达（L’Hospital）法则；

（六）不定积分

1、不定积分:概念，基本公式，运算法则，计算（换元积分法、分部积分法、有理函数积分法，其他类型积分）。

（七）定积分

1、定积分：来源背景，概念，函数可积的必要条件，达布上、下和，定积分存在的充要条件，可积函数类（闭区间上的连续函数，分段连续函数，单调有界函数)，定积分的性质，定积分的计算（基本公式、换元公式、分部积分公式）；

2、变上限定积分：定义，性质。

（八）定积分的应用

1、定积分在几何上的应用：平面图形的面积，曲线的弧长，截面已知的立体体积，旋转体的体积，旋转曲面的面积；

2、定积分在物理上的应用：功、压力、引力；

3、微元法。

（九）数项级数

1、预备知识：上、下极限；

2、级数的敛散性：无穷级数收敛、发散等概念，柯西收敛原理，收敛级数的基本性质；

3、正项级数：定义，敛散判别（基本定理，比较判别法，柯西判别法，达朗贝尔判别法，柯西积分判别法）；

4、任意项级数：绝对收敛级数与条件收敛级数的概念和性质，交错级数与莱布尼兹判别法，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法。

（十）反常积分

1、反常积分：无穷限的反常积分的概念、性质，敛散判别法（柯西收敛原理，比较判别法，狄利克雷判别法、阿贝尔判别法）；无界函数的反常积分的概念、性质，敛散判别法。

（十一） 函数项级数、幂级数

1、函数项级数的一致收敛性：函数项级数以及函数列的概念，函数项级数以及函数列一致收敛的概念，一致收敛判别法（柯西收敛原理，优级数判别法，狄利克雷判别法与阿贝尔判别法）；一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）；

2、幂级数：阿贝尔第

一、第二定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质（连续性，可积性，可微性），泰勒（Taylor）级数与几种常见的初等函数的幂级数展开。

（十二）傅里叶级数

1、傅里叶级数：引进，三角函数系的正性, 傅里叶系数与傅里叶级数，以2为周期的函数的傅里叶级数展开，以2L（L0）为周期的函数的傅里叶级数展开，奇偶函数的傅里叶级数展开，傅里叶级数收敛定理的证明。

（十三）多元函数的极限与连续

1、平面点集：邻域，点列的极限，开集，闭集，区域，平面点集的几个基本定理；

2、二元函数：概念，二重极限和二次极限，连续性（连续的概念、连续函数的局部性质及有界闭区域上连续函数的整体性质）。

（十四）偏导数和全微分

1、偏导数和全微分：偏导数的概念，几何意义；全微分的概念；二元函数的连续性、可微性，偏导存在的关系；复合函数微分法（链式法则）；由方程组所确定的函数（隐函数）的求导法；

2、偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；方向导数与梯度；泰勒公式。

（十五）极值和条件极值

1、极值：概念，判别（必要条件、充分条件），应用，最小二乘法；

2、条件极值：概念，拉格朗日乘数法，应用。（十六）隐函数存在定理

1、隐函数：概念，存在定理；

2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式。（十七）含参变量积分与含参变量广义积分

1、含参变量的正常积分：定义，性质（连续性、可微性、可积性）；

2、含参变量的反常积分：定义，一致收敛的定义，一致收敛积分的判别法（柯西收敛原理、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄立克雷判别法），一致收敛积分的性质（连续性、可微性、可积性）；

3、欧拉积分：函数和函数的定义、性质。（十八）重积分的计算及应用

1、二重积分：二重积分的概念，性质，计算（化二重积分为二次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；

2、三重积分：计算（化三重积分为三次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球面坐标变换））；

3、重积分的应用：立体体积，曲面的面积，物体的质心，矩，引力，转动惯量；（十九）曲线积分与曲面积分

1、曲线积分：第一型曲线积分及第二型曲线积分的来源背景、概念、性质、应用与计算，两类曲线积分的联系；

2、曲面积分：第一型曲面积分及第二型曲面积分的来源背景、概念、性质、应用与计算，两类曲面积分的联系。

（二十）各种积分间的联系和场论初步

1、各种积分间的联系公式：格林（Green）公式，高斯（Gau）公式，斯托克斯(Stokes)公式；

2、曲线积分与路径无关性：四个等价条件。

3、场论初步：场的概念，梯度，散度和旋度，保守场，哈密顿算子（算子）。856 高等代数

三、考试形式

（一）试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

（二）答题方式

答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成，所有题目的答案必须写在答题纸相应的位置上。考生不得携带具有存储功能的计算器。

（三）试卷结构

基本概念理解与计算考核的比例约为16.7%，分值为25分； 分析判断考核的比例约为23.3%，分值为35分； 综合运用考核的比例约为60%，分值为90分。

四、考试内容

（一）多项式理论

1、一元多项式的一般理论 概念、运算、导数及基本性质；

2、整除理论

整除的概念、最大公因式、互素的概念与性质；

3、因式分解理论

不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等；

4、根的理论

多项式函数、多项式的根、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数的关系等；

5、多元多项式的一般理论 多元多项式概念、对称多项式。

（二）矩阵理论

1、行列式理论与计算

行列式的概念、性质以及计算；Cramer法则。

2、线性方程组

向量、向量组的线性关系；线性方程组的解的结构。

3、矩阵

矩阵的各种运算及运算规律，逆矩阵的求法，分块矩阵的相应运算及性质。 4．二次型

二次型基本概念，配方法、合同法化二次型为标准形，正定二次型与正定矩阵的判定与证明。

（三）线性空间论

1、线性空间

线性空间的定义与性质；线性相关性及有关结论；秩与极大线性无关组；线性空间的基与维数；基变换与坐标变换公式；线性子空间；子空间的和与直和；线性空间的同构。

2、线性变换

线性变换及其基本性质；线性变换的运算；线性变换的矩阵；相似矩阵；矩阵的特征值与特征向量；线性变换的特征值与特征向量；哈密顿凯莱定理；相似对角化；线性变换的值域与核；不变子空间；不变子空间与线性变换的矩阵的化简；若尔当标准形；最小多项式。

3、矩阵

矩阵的概念； 矩阵的等价； 矩阵在初等变换下的标准形、不变因子与行列式因式； 矩阵的初等因子；求 矩阵的标准形的方法；矩阵相似的充分必要条件；若尔当标准形；有理标准形。

4、欧几里得空间

内积和欧几里得空间；长度、夹角与正交；度量矩阵；标准正交基；正交矩阵；欧氏空间的同构；正交变换；正交子空间与正交补；实对称矩阵的标准形；对称变换；向量到子空间的距离；最小二乘法。

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