微积分课程教学基本要求(讨论稿)2003,8
(1) 微积分(I)教学基本要求(3学时/周, 48学时)
(一) 说明
《微积分(I)》称之为\"直观微积分\"，其特点是给极限以易懂的直观定义，跨过极限理论证明的难点，尽快进入微积分的最基本的主线内容：一元函数的微分、积分以及简单微分方程等.这样使学生容易入门，先掌握实际应用广泛的微积分基本内容，突出牛顿式的数学与物理概念、几何直观相结合的处理方法, 不拘泥于严格的数学证明，注重基本的计算能力和运用微积分方法分析和解决实际问题能力的培养。
(1) 这部分内容的极限概念主要以 \"无限趋向\"直观的定义, 只介绍极限的精确定义，不要求用的极限证明, 但极限的保号性的运用要求掌握。
(2) 连续函数在闭区间上的有界性，取最值性，及介值性的结论要求会运用.(3) 这部分要求突出计算和应用。
由于学生从中学到大学在学习方法上有较大变化,为适应这个过程,建议在教学中注意对学生学习方法和阅读教材与参考书的指导，堂上要有适当的例题讲解。
(二) 内容
1.函数:
函数定义,基本初等函数; 隐函数, 参数方程表示的函数,复合函数。
函数的几个主要性质:有界性,奇偶性，单调性，周期性,凸凹性。
2极限:
只讨论函数的极限，强调 \"无限趋近\", 不要求 \"\"定义的证明题,只要求用 \"\"思想说明极限的保号及有界等性质.
极限的运算性质,两个重要极限，无穷小量,无穷大量.利用极限性质、等价无穷小、高阶无穷小计算极限。
3.连续:
连续和间断的概念(不讲一致收敛),闭区间连续函数的性质.4.导数与微分
导数与微分的概念,几何意义.
导数与微分计算: 基本导数、微分公式, 四则运算法则,复合函数链式法则,参数方程求导数,隐函数求导数;高阶导数Leibniz公式
5.微分中值定理和导数应用
三个微分中值定理的证明及应用.L\'Hospital法则, Taylor公式, 函数在处的Taylor公式, 用Taylor公式求函数的极限.函数性态的研究: 增减极值,凸性，拐点, 渐近线; 函数图象的讨论和略画。
一元函数的极值及最值问题。
6.积分
原函数和不定积分的概念及性质; 不定积分的计算： 凑微分,变量代换,分部积分， 了解有理函数的积分的思路与结论
7.定积分的概念及基本性质, 变限积分与微积分基本定理,Newton-Leibniz公式 定积分的计算：凑微分,变量代换,分部积分，了解不能积成初等函数的积分。
定积分的应用
几何应用：面积,均值, 旋转体体积, 曲线弧长, 旋转体侧面
物理应用: 质心,转动惯量,引力,做功.
8.简单微分方程
微分方程的实际背景,基本概念.
微分方程的初等解法:分离变量法,齐次方程,一阶线性方程, 常数变异法,伯努利方程,可降阶的二阶方程:
(2) 微积分(I)教学基本要求(4学时/周, 64学时)
(一)说明
这是为信息、理科类开的课程。
(二)内容
基本内容同微积分(I) (3学时/周, 48学时)的内容, 另外增加以下内容：
1.微分方程解的存在唯一性介绍。
高阶线性方程解的结构, 常数变异法求特解。
齐次常系数高阶线性方程求解, 非齐次常系数高阶线性方程的比较系数法.微分方程的应用.
2.另外，前面的内容及应用可适当深一点，多一点。
(3) 微积分(II)教学基本要求(3学时/周, 48学时)
(一)说明
《微积分(II)》称之为\"理性微积分\"，其特点是通过对极限、函数可积性以及级数等内容作比较严格的数学理论上的讨论, 对学生进行数学理性思维和较严密的逻辑推理的训练，以加强学生的数学素养。
这部分课程作为数学思维及方法培养的基础课程，要求在基本内容掌握的同时，让学生尽可能理解处理连续模型的一些基本思路。
(二)内容
1.数系的扩充、数集的界与确界、确界存在定理。
注：主要讲清实数集有界和无界的概念，给出确界定义，承认确界存在定理。
2.极限和函数的连续性
数列极限：概念、性质、单调有界有极限定理、夹逼定理、有界数列必有收敛子列、Cauchy准则。
函数极限：概念、性质、极限证明典型例子。
一致连续概念，连续函数在有界闭区间上性质的证明。
注：应强调比较严格的极限论证, 加强用极限思想处理问题的方法训练。
从连续到一致连续应该是一个比较大的跳跃，若能处理好，意义决不是仅仅懂的了一个概念。至少能使学生体会到点性质与整体性质是两个概念。
3.定积分
定积分的概念：定义、必要条件。
可积的充要条件：充要条件、常见可积函数类。
定积分的性质的证明举例：
广义积分概念、性质，两种广义积分的判敛法则。
4.数项级数
数项级数的基本概念及性质；
正项级数及其比较判敛法,，达氏法则，柯两法则等；
任意项级数性质及其的判敛法, 交错级数的莱布尼兹法则，绝对收敛，条件收敛。
5.函数项级数
函数项级数：一致收敛性的概念、函数项级数的解析性质；
幂级数 : 强调收敛半径的概念, 幂级数的解析性质；
函数在处的Taylor级数, 函数展成幂级数的直接方法和间接方法.Fourier级数: 函数的正交性，正交函数簇概念，三角函数正交性；函数展成Fourier级数, 收敛定理。Fourier级数的平均收敛性.
注：加讲平均收敛性至少在以下几点使学生有所收获：
1． 可以接触到线性空间中范数的有关概念，将直观与抽想联系起来。
2． 接触到判断同一件事情可以有不同的标准。
3． 体会到如何用所学知识去证明（解决）一个问题。
(4) 微积分(II)教学基本要求(2学时/周, 32学时)
(一)说明
这是为信息、理科类开的课程。
(二)内容
基本内容同微积分(II) (3学时/周, 48学时)的内容,内容适当调整.可与前面的微积分(I) (4学时/周, 64学时)内容综合考虑。
(5) 微积分(III)教学基本要求(4学时/周, 64学时)
(一)说明
《微积分(III)》内容包括多元微积分及微积分的进一步的应用.其特点注重拓宽知识面，引入与近代数学知识的接口，同时加强数学应用意识与能力的培养。
(二)内容
(1) 多元函数微分学
1.()的距离和收敛,开集和邻域,连通集和区域.多元函数的极限,连续函数定义和性质；
2.偏导数和(全)微分,高阶偏导数；
3.复合函数微分法,方向导数和梯度；
4.映射的微分*,雅克比矩阵*；
5.隐函数微分法,由方程确定的隐含数微分法;
6*.由方程组
确定的隐含数微分法;
7.微分学应用(1):
空间曲线的切向量 ,空间曲面的法向量和切平面.*活动标架: 曲线的曲率和挠率；
8.微分学应用(2): 极值与条件极值。
(2)重积分
1.二重积分的定义和性质；
2.二重积分的计算:
在直角坐标系和极坐标系中化二重积分为累次积分；
3.二重积分变量代换；
4.用直角坐标系,柱坐标系和球柱坐标系计算三重积分；
5.曲面面积,直角交坐标系下的面积微元和参数方程下的面积微元,第一型曲面积分。
(3).线、面积分及向量函数
1.向量场的概念,第一型、第二型曲线积分,格林公式,平面曲线积分与路径无关的条件；
2.第二型曲面积分概念和计算；
3.高斯公式于斯托克斯公式；
4.向量场初步:
数量场的梯度, 向量场的旋度和散度,保守场,无旋场.(4).含参积分
1.含参积分的概念,基本性质；
3.含参积分表示函数的解析性：连续、可微及可积性；
3.-函数与-函数。
(5).微分方程
1.微分方程基本概念,存在唯一性定理(不证)；
2.高阶线性方程解的结构,齐次、非齐次常系数高阶线性方程求解,应用；
3.常系数线性微分方程组用特征值和特征向量求解.
注：对学微积分(I)(4学时/周, 64学时)的班级, 微分方程改为：
(5).微分方程
1.常系数线性微分方程组用特征值和特征向量求解：
解的结构*,常数变异法；
2.稳定性概念和意义, 线性微分方程组解的稳定性。
还可适当增加选读内客。
??
??
??
??
《大学数学》系列课程教学基本要求
微积分基本要求
