微积分教案

发布时间：2020-03-01 17:43:23 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

微积分数学模型的应用

微分模型

一、光纤收费标准模型

某地有多家有线电视公司。有线电视公司A的光纤收费标准为14元/（月。户），目前它拥有5万个用户。某位投资顾问预测，若公司每月降低1元的光纤收费，则可以增加5000个新用户。 1）请根据这一预测，为公司制定收费标准，以获得最大收益

2）如果公司每月每户降低一元的光纤收费，只增加1000个新用户，问该如何制定收费标准？

一、模型假设与符号说明

1、假设该地的用户数远远大于5万

2、假设只考虑公司降价而不考虑提价的情况

3、若公司每月每户降低1元的光纤收费，可增加a个新用户，公司每月每户降低x的光纤收费，公司的月收益为P(x)。

二、模型建立

P(x)每月每户交纳的费用总用户数，即

P(x)=(14-x)(50000+ax) =700000+(14a-50000)x-ax

三、模型求解

（1）当a5000时，P(x)=700000+20000x-5000x，求导得

P\'(x)=20000-10000x

令P(x)0，得驻点x2。

根据实际问题的分析知道：当公司定价为12元时，公司拥有60000用户，此时公司每月的最大收益为72万元。

（2）1）当a1000时，p(x)70000036000x1000x，求导得

2\'P\'(x)=-36000-2000x

令P(x)0，得驻点x18。

根据实际问题知：x0，故与实际情况不吻合

二、存贮模型

（一）不允许缺货的存贮模型 1.问题的提出存贮问题广泛存在于工厂的原材料贮备，商店的商品贮备、水库蓄水等现实问题\'中．这里的关键是存贮量的大小，存贮量过大则需付出过高的存贮费用；存贮量不足又可能导致不能满足需求从而造成损失．因此，确定一个最优的贮存策略是具有重要意义的． 2.模型的构建

下面假定需求量是确定的，并且不允许缺货现象出现，如钢厂订购废钢供炼钢就是这种情况，因为钢生产对原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料将造成巨大的损失．在不允许缺货的情况下我们可以考虑两种费用：订货时需付的一次性订货费，货物的贮存费．建立模型的目的是在单位时间的需求量为常数的情况下制定最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小．

模型假设：（1）每天货物需求量为r吨．

（2）每隔T天订一次货（称T为订货周期），订货量是Q吨，当贮存量降到零时新一批订货恰好到达．（3）每次订货费为C1（与订货量无关，也与货物本身的价格无关），每天每吨货物贮存费为C2．模型建立：订货周期T、订货量Q与每天需求量r之间应满足关系 QrT ．

订货后贮存量由Q均匀地下降，设任意时刻的贮存量为q(t)，则q(t)是t的线性递减函数，其变化规律如图10－1．考虑一个订货周期的总费用C(T)：订货费C1与贮存费．

__贮存费＝每天每吨货物的贮存费平均每天的存贮吨数天数＝C2Q0T 2

图10－1

＝于是得

1C2QT．

21C(T)＝C1C2QT，

2__1C(T)＝C1C2rT2．

2__

（2）

显然，不能以一个周期内的费用为目标函数，这样会导致订货周期越短越省钱的错误结论，而应以每天的平均费用（记作C(T))为目标函数，于是

C(T) C(T)C11＝C2rT． TT2__

（3）

制定最优存贮策略归结为求订货周期T使C(T)最小． 3.模型求解利用微分法，令

C1dC(T)0，得21C2r0，

2dTT解得最佳进货周期

T2C1． rC

2 （4）

将QrT代入上式得最佳进货量

Q2C1r．

（5）

式（8）就是经济理论中著名的经济订货批量公式． 4.模型应用

订货批量公式（5）表明，订货费C1越高，需求量越大，则订货批量Q应越大；贮存费C2越高，则订货批量Q应越小．这些结论都可以由常识得到，不过公式在定量上表明的平方根关系却是凭常识无法得到的．

例 1 一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为每次200元，每双鞋每储存一天的费用为0.01元，该商店多少天进一次货最好，进货量为多少？

解本题中r=110，C1200,C20.01.于是得最佳进货量 Q最佳进货天数 2C1rC222001102098双，

0.01T= Q209820天r110即20天进货2098双最好

（二）允许缺货的存贮模型

1 .问题的提出考察一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题．设市场对某种商品的需求是确定的和已知的，市场对某种商品的需求仍为每天r吨，但允许缺货．缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，称缺货损失费．于是这个模型的第（1）、第（3）条假设与不允许缺货时相同，而第（2）条改为 (2)每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货物的缺货损失费为C3．

2 .模型的构建

缺货时贮存量q(t)视作负值，则q(t)的图形

如图10－2．货物在tT1时售完，但每天需求量仍为r，在T1,T这段时间内缺货，可视存贮量q(t)为负值，于

是在tT时下一次订货量Q一次到达，且QrT1．

图10－2 一个订货周期内总费用C：订货费C1，贮存费C2__T10q(t)dt，缺货损失费．

贮存费每天每吨货物的存贮费从第一天到第T1天总共存贮的货物吨数的和

＝C2T10q(t)dtC2Q(10T1t1)dtC2QT1． T12tdt(T1T) T1 缺货损失费＝C3 ＝C3＝TT1q(t)dt＝C3Q(1T1T TT1(rT1rtdt(QrT1)

1C3r(TT1)2． 2于是一个周期内的总费用为： 11CC1C2QT1C3r(TT1)2．

22__ 3 模型的求解

模型的目标函数仍为每天的平均费用C(T,Q)，将T1__Q代入上式，得 r

C(T,Q)＝

CC11C1C2Q23(rTQ)2TT2r2r，

求T、Q使得C(T,Q)最小．

先求出二元函数C(T,Q)关于T、Q的偏导数

CC． ,TQ 然后令CC0,0， TQ最后解出最优值T与Q，即得最佳进货周期 **T*2C1(C2C3)，

rC2C

3 （6）

最佳进货批量

Q* 4.模型的应用 2rC1C3

C2(C2C3)

（7）

式（6）、（7）表明，缺货损失费C3越大，订货周期应越短，订货批量越大．当C3很大（即缺货损失变得很大）时，C3，有

C2C3C121，则允许缺货的最佳周期和最佳批量与不允C3C3许缺货的最佳定货周期和最佳批量有如下关系 T*2C1(C2C3)rC2C32C1*，QrC22rC1C32rC1． C2(C2C3)C2允许缺货的情形又回到了不允许缺货的情形，显然这是符合实际的．

例2 有一酒类批发商，以每天150瓶的速度供应零售商，存储费用为每天每瓶0.05元，根据合同如缺货，每瓶每天必须向零售商赔偿0.2元。若批发商一次的费用为300元，试确定批发商的最佳批发周期、进货量。

解因 r150,C20.05,C30.2,C1300,于是得最佳批发周期为

T最佳进货量

Q

三、生猪的出售时机 1．问题

饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。

2C1C2C3rC2C32300(0.050.2)10天，

1500.050.22rC1C321503000.21200瓶，

C2C2C30.05(0.050.2)2．分析

投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大建模及求解

估计r=2 g=0.1若当前出售，利润为80×8=640（元），t 天出售，生猪体重 w=80+rt 销售收入 R=pw 出售价格 p=8-gt 资金投入 C=4t 利润 Q=R-C=pw –C Q(t)(8gt)(80rt)4t

求 t 使Q(t)最大 t4r40g2=10 rgQ(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元

四、森林救火

当森林失火时，消防站应派多少消防队员去灭火呢？派的队员越多，火灾损失越小，但救援开支越大.如何确定灭火队员的人数，才能使总费用（火灾损失+救援开支）最小？

解 1．问题分析

（1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关.（2）救援开支由两部分构成：①灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关）；②运输费（与人数有关）.（3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延.半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比.2．模型假设

（1）火灾损失与森林被烧面积成正比

记开始失火的时刻为t0，开始灭火的时刻为tt1，火被完全扑灭的时刻为tt2.设在时刻t森林被烧面积为Bt，C1表示单位面积被烧的损失，则总损失为C1B(t2).（2）被烧面积与时间关系

dBdBdB表示单位时间被烧面积(燃烧速度：m2/min),当t＝0与tt2时为零，当tt1时最dtdtdtdBdB|tt1b.由前面分析，Bt与t2成正比,故不妨设在区间[0,t1]与[t1,t2]上，大，记都是t的dtdt线性函数.在[0,t1]上，斜率为0，称为火势蔓延速度,在[t1,t2] 上,斜率为x0,其中x为消防队员人数.为队员的平均灭火速度.

（3）救援开支

设x为消防队员人数，灭火剂消耗与消防队员酬金每单位时间的费用为C2, 运输费平均每人费用为C3, 则救援开支为C3xC2x(t2t1).3．模型建立与求解

图14-3 由假设2， dBdt与t的关系如图14-3所示.利用定积分的牛顿-莱布尼兹公式，大面积为

B(tt2dB2)B(tdt＝OMN面积＝bt22)B(0)0dt2 ∴总费用 C12C1bt2C2x(t2t1)C3x.此式中t2与x是变量，其余为常数.但t2与x是密切相关的，由图可知

btb1,

tx, tb2t1x 2t1从而，总费用可化为一元函数：

C2Cx12C1bt11b2xC2bxxC3x dC2令 0，解得唯一驻点 x1C1b2C2bdx2C.

3驻点就是最小值点. 4．模型评价

森林被被烧的最从结果看，x>，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员人数要大，这保证-x0，使1燃烧速度趋于零.而x的第一项 C1b22C2b是综合考虑了各种因素,使总费用最低.

2C3积分模型

一、捕鱼成本模型 1 .问题的提出

在鱼塘中捕鱼时，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每公斤鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。

假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤的捕捞成本是从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需花费多少成本？

2.模型的构成与求解

根据题意，当塘中鱼量为x公斤时，捕捞成本函数为 C(x)2000元。已知鱼塘中现有鱼10000公斤，问

10x2000(x0).

10x假设塘中现有鱼量为A公斤，需要捕捞的鱼量为T公斤。当我们已经捕捞了x公斤鱼之后，塘中所剩的鱼量为Ax公斤，此时再捕捞x公斤鱼所需的成本为

CC(Ax)x因此，捕捞T公斤鱼所需成本为

2000x.

10(Ax)CT0200010ATdx2000ln[10(Ax)]x2000ln(元) x010(Ax)10(AT)将已知数据A10000kg,T6000kg代入，可计算出总捕捞成本为 C2000ln100101829.59(元) 4010顺便可以计算出每公斤鱼的平均捕捞成本 C

二、投资决策模型

某公司投资1860万元建成一条生产线．投产后，其追加成本和追加收入（分别是成本函数和收入1829.590.30元

6000函数对时间t的变化率，类似于边际函数概念）分别为G(t)52t（百万元/年），(t)17t（百万元/年）．试确定该生产线使用多长时间停产则可使公司获得最大利润？最大利润是多少？

解

容易看出，追加成本G(t)是单调增加函数而追加收入(t)是单调递减函数，这说明生产费用在逐年增加，而生产收入在逐年减少，二者之差即为生产利润随时间的变化率：

2323(t)G(t)(17t)(52t)123t．

232323与边际成本和边际收入的关系相同，生产利润最大值存在的必要条件是(t)G(t)．解方程得t8，由于生产利润对时间的导数为

(t)G(t)82t130，

23所以，t8是生产利润的最大值点．这样，生产利润的最大值为

(t)G(t)dt18.6(123t008)dt18.638.418.619.8(百万元)．

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