微积分教学工作总结（精选多篇）

推荐第1篇：微积分

晋州耕地利用分析

城乡2班张杰

晋州市属于华北中部平原，地势平坦，西北高东南低，海拔35-45米，自然坡度1/3000，土壤十分肥沃，年平均降水量456.2毫米。属于适宜植物生长。

对地域组合分析：晋州市位于河北省中部，地处集中平原腹地，西距省会石家庄市50公里，8镇2乡，224个自然村，总面积619平方公里，耕地4.07万公顷，交通便利，距北京天津等消费中心近，且当地以种植鸭梨主导产业，晋州市属于暖湿带大陆性季风气候，春季干燥多风，晴多雨少，夏季炎热多雨，秋季天高气爽，气候宜人，冬季寒冷少雪，温度低湿度小，干燥寒冷，年平均气温12.3，极端最高42，极端最低-21.4，年平均日照数2726.7小时，大于等于10，积温4427.3，无霜期199天，为梨树生长提供最佳生长环境。目前，石家庄市现有梨果总面积72.17万亩、产量11.98亿公斤，占全省1/3强，是全国梨总产量的1/8。主要集中在我市东部的辛集、晋州、藁城、赵县四县(市)，是全国最大梨果生产基地之一，可见晋州拥有良好的梨果产业基础。晋州翠玉集团，晋州长城、及周边的一些龙头企业的实力增强及带动作用，使锦州及其周边梨果产业在国内外市场的知名度和综合竞争力显著提高。

对晋州耕地的开发利用方式提出以下几种方案：一扩大梨果种植面积，并且强力推行梨无公害生产。无公害生产是当今市场和社会对果品业的基本要求和总的发展趋势，提高依法行政意识和能力，提高从生产到消费各环节对无公害梨果生产的重视程度，使梨果无公害生产理念深入人心。二是大力培植和发展梨果出口创汇基地和有机梨果生产机地，通过抓基地建设，重点推行梨树标准化规模管理，实现无公害生产，逐步达到绿色标准、创绿色品牌、发展绿色经济，提高出口商品果率；二，发展观光农业，在以上分析的基础上，在一些环境较好，交通便利的区域发展观光农业，同时要进行一些便民措施的实施，例如在附近要建有旅馆，饭店，最好直接实行一体化，即观光园设有餐饮住宿等条件。

开发利用效应的评价，关于推行无公害生产，首先符合当今市场和社会对果品业的要求，市场前景好，从具体实施上分析，目前，石家庄无公害梨果生产面积已达55万亩，但是，人们生产和消费无公害梨果意识整体上还比较淡薄，无公害梨果生产水平总体不高，质量检验监测体系不健全，所以在加强人们无公害意识上需要一段时间，但就长远考虑，这一措施必将为梨果产业带来更大的发展。就观光农业的发展，其实和无公害化有必然的联系，随着人们农业观光旅游在人们休闲旅游中所占比重的增大，会带来一定的经济效应，但是作为梨果主导产业地，不能只依靠观光，毕竟仍然只有少数人会到果园里观光旅游，如果过分强调观光农业，会导致梨果收益下降，但是可以在以下交通环境等选出来更好的一小部分区域来进行观光农业发展。

推荐第2篇：微积分学习心得

既然叫心得，就先从老师的教学感受说起吧，刘老师喜欢讲课外的故事，我很喜欢这种提神的插曲还能了解专业和学校以及数学方面的知识，刘老师与高中不同之处或是说讲课目的差别，就在于讲课的实质性，不像原来我们只是学方法和题型，不需要在常规题型上问为什么，这节约了复习时间，但现在终于知道好多原来不解的原因，比如，高中定义e为计算机常数，而如今却从极限的角度来定义，还有正态分布，高中只是略过一遍，现在看来，自然界以正态分布居多和许多的统计，函数等，着实扩充了自己的知识层面，自己没有数学系中同学的天分，但在数学思想上还是喜欢学习的，技不如人也好

，几个月的微积分还是有些感悟的。

从极限学起，似乎还是远来的知识，加上导函数应用，但还是不同，第一次作业中有一道题

让我不会只相信那答案了。

1.收敛数列A与发散数列B之和A+B必为发散数列，正确答案是命题正确，可是参考答案是

错，我还纠结找例子推反，最后还是错了，还有一题是

2.设F（x）在x＝a处可导，求h－0时，F（a+3h）-F（a-h）／h

本题按照分子加上再减去一项F（a）即可得到答案，可是盲目相信答案，没有坚持自己的答案，太依赖这种保守性的更正反而不如没有更正来的好些，正如曾经有个老师说的，看答

案看久了，考试只能是一片空白。

极限一节和洛必达法则应用在微积分的课程中是很重要的，比如求x㏑x在x－0时的极限，原来是做不的，但定积分时这类题很多，洛必达法则的应用就使问题迎刃而解了，稍加变化成分数形式就解出了。无穷小量的提出为尔后的微分奠定了基础，也是求极限比大小的一种手段，同时也为等价替换这一技巧留下余地，夹挤原理也解决了不能计算的一些题，如一定

物理定理的基础证明

1.x－0时sinx／x极限为1，物理学家在研究单摆原理继而引申到简谐震动时，小角或是小位移关系是大量统计的出sinx≈x的结论，从而得出公式，而单位圆法夹挤原理应用利用，

x－0时cosx－1.再求解，

根存在问题与零点和介值定理应用我个人也是有所收获的，根有与否可以应用图像或是构造函数求导的方法，零点定理是基础，常见的有几个根和其范围，用中点试法可以得到更精确的值，微分的引入解决了我以前求值不出啊，如求arctan1.01现在可以依靠特殊点近似求角和差量了，无穷小量的舍弃，求出主体部分，微分与导数密不可分，而积分的特殊公式也在这节提出，求切线问题，算是老题型了，但骨子里数形结合思想不变，微分中值定理在证

明题中作用很大，构造函数也很重要如

1.

求证x＞1时，e的x次方大于x.e，构造F（x）＝e∧x－ex.求导即可，

2.

已知函数f（x）在0≦x≦1上连续，在（0，1）内可导，且f（1）＝0.求证在（0，1）内

至少有一点a使af（a）＋f（a）＝0

注意到这个式子导数于变量乘积，于是构造F（x）＝xf（x）.又∵F（1）＝F（0）＝0.

则必有F＇＇（ç）＝0即求导后可证。

高阶导数的计算是个技巧，尤其在参数函数和隐函数结合上，对于一般的高阶可以结合洛必达法则，参数函数与隐函数则复杂些，这也引出了对数求导法，很好用，但也有限制他，那些复杂多因式可以很好解决，特别指出二阶求导的应用，对于函数单调性与极值和凹凸性的运用其很大作用，记得高中常有题目一阶导数是解不出函数在某个范围内的单调性的，借助二阶导数研究导数本身才能得出答案，与此不得不提的泰勒公式，给人很大的数学冲击，解决所有函数式的差量与具体让人可以想更多的统计与得出规律性结论，看懂还是不容易的，毕竟我们都远比上那个天才，最优化问题很实用，自然可以产生一定的经济效益，修路打药甚至是公司的前景应用都很重要，在最小值计算中导数有时和多项均值定理有异曲同工之效，但项数改变运用均值定理一般要比导数简单 积

分是在最近我发现大家普遍头疼的一章，不管是哪个学校的同学都发表说忙于计算积分掌握技巧包括我在内，的确是考验勤奋度与思维灵活度的一章知识，我决定必要的公式一定要记这样就不必做一道翻一下书了，

推荐第3篇：微积分重点

微积分知识点

第一章：

函数的定义域函数的反函数求极限无穷小无穷大无穷小的比较无穷小的等价替换两个重要极限函数的连续性

第二章;

导数的几何意义求函数在一点的导数值复合函数的导数隐函数的导数函数的微分

第三章

洛必达法则拐点驻点函数的单调区间极值凹凸区间拐点的判定闭区间上连续函数的最大值最小值

第四章

不定积分的概念和性质第一类换元积分法分部积分法

推荐第4篇：微积分教学大纲

经济系《经济数学》课程标准

课程名称：经济数学 课程类型：专业基础课 总学时：32 适用专业：经济系各专业 先修课程：中学数学 内容：

1、课程的目的、地位、任务

本课程是经济管理类学生必修的基础理论课。通过学习，使学生获得一元函数微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能以及多元函数微分学的初步知识。

2、知识、能力、素质培养

通过本课程的教学，使学生能理解和掌握《经济数学》的基本知识，基本理论，基本内容，基本运算方法和分析方法；学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和在研究经济理论和经济管理的实践中灵活运用数学思想方法去分析问题和解决问题的数学建模能力；并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

3、本课程与其他课程的联系与分工、实训技能培养和双证书要求

本课程是经管类专业的专业基础课程，是学习其它专业基础课和专业课的基础。

4、本课程在使用现代化教学手段方面的要求 配合多媒体教学

5、课程内容、学时分配及要求

第一章 函数 (2学时) 【内容提要】 §1.1 函数

集合；区间与邻域的概念常量与变量；函数的定义与表示法，函数定义域的求法。单调性，有界性，奇偶性，周期性。反函数的定义及其图形。复合函数的定义；复合函数的分解。基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形。 §1.2初等函数

初等函数的定义。分段函数的概念及其图形特征。 §1.3 数学模型及经济函数

1 线性函数模型、指数函数模型，常见的经济函数：需求函数、供给函数、总成本函数、总收入函数、总利润函数等。 【要求与说明】．

理解基本初等函数及其定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。理解初等函数的概念；了解分段函数的概念；掌握经济函数的特征。

第二章 极限与连续（8学时）

【内容提要】 §2.1数列极限

数列的概念，数列极限的直观定义，数列极限的分析定义与几何解释，数列极限的唯一性及收敛数列的有界性。数列极限的运算法则。 §2.2函数极限

函数极限的直观定义，函数极限的分析定义与几何解释；由函数图形认识极限；左、右极限。极限唯一性、有界性。函数极限的运算法则。极限的四则运算；复合函数求极限。 §2.3 无穷小与无穷大

无穷小量的定义与基本性质；无穷小阶的比较；极限与无穷小的关系定理。无穷小与无穷大的关系。 §2.4两个重要极限

sinx11和重要极限lim1e。

重要极限limx0xxx§2.5 利率和复利

利率、利息、单利、复利及有关计算 §2.6 函数的连续性

函数的连续性，左连续与右连续；函数连续与极限的关系。函数的间断点及其分类。连续函数的和、差、积、商的连续性；复合函数的连续性；初等函数的连续性；分段函数的连续性。最值定理，有界性定理，介值定理，零点定理。 【要求与说明】．

1.要求正确理解极限的概念。掌握数列极限的概念，重点放在函数极限，对极限的证明不作要求。

2．要求理解极限的四则运算。熟练掌握极限的各种计算方法。

xsinx11及lim1e3.要求理解两个重要极限，熟练掌握运用两个重要极限limx0xxx的方法。

4．了解无穷小量与无穷大量的概念；掌握无穷小量的比较；知道无穷小量与无穷大量的关系。了解无穷小量的阶。

x5.了解函数连续与间断的概念；掌握判断函数间断点的方法；会讨论分段函数的连续性；了解初等函数在其定义区间内都连续的结论；知道闭区间上连续函数的基本性质。 6.会建立简单应用问题的函数关系。

第三章 一元函数微分学 (16学时) 【内容提要】 §3.1 导数的概念

产品产量的变化率，平面曲线的切线斜率。导数的定义与几何意义，可导与连续的关系。 §3.2 导数的运算

基本导数公式；导数运算法则；复合函数求导法则。隐函数的导数；由参数方程所确定的函数的导数。高阶导数的概念与求法。 §3.3 函数的微分

微分的概念与几何意义；可导与可微的关系；微分法则与微分基本公式；微分形式的不 变性；微分的运算；微分在近似计算上的应用。 §3.4 微分中值定理

罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理。 §3.5 洛必达法则

未定式、洛必达法则 §3.6函数性态的研究

函数的单调性判定；函数的极值；极大值与极小值的定义；极值存在的必要条件；极值存在的第一充分条件；极值存在的第二充分条件；函数的最大值与最小值；函数最值的概念，求函数最值的基本步骤。曲线的凹凸性与拐点的判别法，凹凸区间与拐点的求法。 §3.7导数在经济中的应用

边际成本、边际收入、边际利润、最大利润、弹性分析、弹性的概念、需求弹性、用需 求弹性分析总收益（或市场销售额）的变化。 【要求与说明】

1．理解导数的定义及其几何意义，左右导数的概念，了解可导与连续的关系。 2．要求熟练掌握导数的四则运算方法。熟记导数公式。

3．要求熟练掌握各类函数的求导方法，复合函数求导法及隐函数求导法、和由参数方程所确定的函数的导数求导法。

4．要求了解微分的概念；知道可微与可导的关系；掌握微分的四则运算法则和复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性），会求函数的微分。

5．正确理解中值定理，特别是拉格朗日中值定理。会用中值定理证明简单不等式。

6．熟练掌握洛必达法则，会求各种未定式的极限。

7．熟练掌握函数单调性的判别法及函数极值的判别法，会求函数的单调区间和极值。

3 8．会求曲线的凹向区间与拐点；掌握函数作图的基本方法。

9．掌握求函数最大值和最小值的方法，会求解某些简单的经济应用问题；了解边际与弹性的概念。

10．本章重点是要求学生熟练掌握导数的各种计算方法、洛必达法则、极值及其应用。

第六章 线性代数（6学时）

【内容提要】 1．行列式的定义

二元线性方程组与二阶行列式；n阶行列式定义；行列式的性质。 2．矩阵的概念

引例；几种特殊的矩阵。 3．矩阵的运算

矩阵的线性运算；矩阵的乘法运算。 4．矩阵的初等变换与矩阵的秩 5．逆矩阵

逆矩阵的定义；用初等变换求逆矩阵。 【要求与说明】

1．理解行列式的定义；掌握二阶、三阶行列式的性质及计算方法；理解行列式代数余子式的定义。

2．理解矩阵的概念；了解几种特殊的矩阵，零矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵、阶梯形矩阵等。

3．理解矩阵的简单计算；掌握矩阵的运算律。

4．了解矩阵的初等变换，掌握初等行变换；理解矩阵的秩的定义，会计算矩阵的秩。 5．理解理解逆矩阵的定义，掌握三阶方阵可逆的充分必要条件；会用初等变换求逆矩阵。

6.了解矩阵与行列式的联系。

推荐第5篇：微积分学习体会

微积分学习心得

学号11120472 姓名 吴心怡 班级 七班 学号11120471 姓名 吴亚男 班级 七班 时间，如同轨道上疾驰的列车，匆匆行驶，不留一点痕迹的我们的寒假就这样over掉了了。 恍惚之间，我们就要开始正式上课了。我们依稀还记得，放假前，老师们说让好好复习，来学校不久便是冬季学期的期末考试了，可是，嘿嘿~~自己却不得不承认有很大一部分的时间是被荒废了的。但早早来学校，我们好好静下心来思考了一下学习的经验和方法。突然有了要好好学习的冲动，可能以前真的是我们对学习不够上心的缘故吧。

对于学习方面，以前我总觉得数学一直处于主心骨的位置，它是我从小的梦想、我的骄傲。可是自从大学以来的第一个学期，微积分却着实让我们倍受打击。成绩的不再拔尖，沉痛的打击了我的自信心。但是，通过和老师交流，与同学讨论，让我明白强中自有强中手，而自己，并不是笨，只是有些方面自己做的不够，只要深切去思考自己的学习方法，自己依旧有很大的进步空间。 首先我们觉得大学里的学习课后巩固很重要，光靠一周两次大课的学习，远远不够。并且，课上老师可能会因为进度问题而降得很快，很多时候我们会跟不上老师的速度，这时，如果课后不再看老师局的例题，课上的疑问会永远得不到解答。在此情况下谈想进步是不可能的。

然而课后的巩固应该从两方面着手，一方面是教学大纲上要求必须掌握的内容，这些是考试必考内容，或许看似很简单的内容，确实解题目的最基本的基础。秋季学期的期末考正是由于自己对基本知识忽略，在一些很简单的题目丢了分，惨痛的教训给了哦我们深刻的教训，夯实基础知识，才能维纳最重要的考试打下良好的基础。

另一方面。是自己认为在内容掌握上的盲点和误区，这些事最容易忘记的，也是应用熟练程度最差的。而考试不会因为这是自己认为的难点就会不考，所以认真钻研这些题目便可为自己在分数上的突破起决定性作用。 同时，复习一定要有耐心，要持之以恒。学习上最大的忌讳便是三天打鱼两天晒网，这样的学习不会有任何收获。知识既然学习了，我们就要好好消化，不 能让它成为大脑中的脂肪。周期性的复习才不会使大脑一片空白，一周一次或两周一次，可以根据自己的记忆力而定，以适合自己的为基准便可以。 复习的时候，第一，便是要克服浮躁的毛病，静心看课本。考试题目几乎都是从课本知识中发散来的，所以，复习中必须要看课本，反复看，细节很重要，特别是不被重视的基本概念和定理。力争课后复习参考题每题都过关。第二，是要制定好复习计划，针对自身情况分配好时间，各个击破。第三，要理清知识结构网络图，从上学期到现在，我们已经学了：极限、连续不连续、导数、定积分、不定积分等知识内容，然后根据知识结构网络图区发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把我书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握。对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能做到回答问题的严密性。第四，将课上老师所讲授的典型例题及做题过程中遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。数学中，我们很容易遇到同一个问题有不同方法的解决方法。第五，最好多看看往年真题，针对出现频率较高的题型，适当做些有针对性的模拟试题。对于自己认为薄弱的环节更要加强钻研，与同学和老师多交流，更要勇于舍弃那些偏题、怪题。

当然，讲这么多，并不是要我们去死学，数学不是死学就可以学好的，即使短时间内有了成效，那也是持久不了的。所以，我们要灵活学习，多思考。看数学书要有侧重点，数学分析中的定理，有的要着重看他的证明方法，我们或许可以借鉴；有的着重看定理的内容，或许可以继续推广；有的可以当了解内容，或许此可以为以后的解题做铺垫呢。 要学好数学，有天赋是一方面，自己的不断努力，和多年积累下来的做题经验和逻辑性思维也很重要。努力吧，，成功是属于不断奋斗的人哦~~~~ 可是，还要提醒大家一点哦，复习的过程之中，劳逸结合也很重要哦。我们应该注意调整我们的状态 。一般来说，我们的大脑集中于一门学科的时间不很长，时间久了，思维可能就会停滞了，大脑也不会工作，这样的时候强逼着自己学习，是没有任何效果的。所以我们可以采用这样的一个办法，将各科学习交叉进行，合理安排好时间这样既能保证其他功课的学习，有提高了学习效率。而且，我们还要注意休息，适当放松，也是很必要的，看书之余听听音乐，出去散散步，

就是很不错的想法。让大脑呼吸新鲜空气，时刻处于活跃状态，我们的学习效率将会大大的提高，做事也就事半功倍了。 以上便是我们对微积分学习的认识，一己之谈难登大雅之堂，可是却是我们辛苦讨论的结果。我们以自身的经验教训为基准，表达了我们自己的想法。或许，有些是很难做到的，但是，我们既然把它写出来了，这便是我们以后学习的激励石，我们心中的灯塔，无论如何，我们都会以身作则，好好学习。以更大的进步来表达我们的决心，同学们和老师们便是最好的监督者。

。篇二：学习微积分的感想

学习微积分的感想

这个学期学习了微积分，了解了很多关于微积分的知识，在课堂上的学习和在课下的学习，让我更深层次的了解了他，运用了他。我发现他可以被广泛使用在经济学当中，在我们学习经济的过程中，无时无刻不需要他来帮助我们的学习。

微积分是高等数学中研究函数的微分。积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。在课堂上虽然没有学习的很深奥，但是还是掌握了基本的微积分知识。 在学习的路上也不一直是一帆风顺的，也会遇到很多的困难，在课堂上有时候会听不明白老师的讲解，就需要我们在课前预习，在课堂上听明白了，在课下也要学会复习，学会积极地运用和使用它。才能让我把微积分学习得更透彻。有时候也会有自己思考很久，还是做不出来的题目，这个是个，要告诉自己不能放弃，要坚持次下去，多思考就会得出答案，有时候需要向老师提问，像同学请教，才能够解答出来，不过也不能放弃，要相信自己，坚持不懈的去学习和解答。 这个学期学期微积分使我不仅仅懂得了许多专业上的知识，让我在数学的世界里遨游，也帮助了我学习了经济专业学科的知识，更让

我明白了，遇到了自己不会的题目要坚持下去，找对方法，好好使用它，就能够战胜困难，取得成功，学会运用巧妙地方法，不靠死记硬背，蛮力学习微积分，要学会用智慧去学习，灵活的学习，使用巧妙地方法解题，自己就会轻松很多，也会取得很大的成效。

在今后的学习当中，不管是基础科目，还是专业科目，都要学会坚持不懈，灵活的解决问题，不死记硬背，不放弃，不急躁，认真的对待每一科目的学习

许惠之 131010415 13级金融四班篇三：微积分复习心得

微积分复习心得

时间过的飞快，转眼期末考试就要来临了，对于很多大一同学比较头疼高等数学科目尤其微积分这门课应该怎样复习才能取得较好的成绩呢？

首先，就是要有正确的复习方法。在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：

第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。复习小结了然于心，然后再复习。

第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。

第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。

第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。

第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。

其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：

函数、极限与连续 (一)基本概念

1．函数：常量与变量，函数的定义 2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法 3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性 4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系 5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限 6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述

重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算

难点：建立函数关系，极限概念 (二)基本要求

1.理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。 2.了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。 3.熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。 4.了解复合函数、初等函数的概念。 5.会列简单应用问题的函数关系式。 6.了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。 7.了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关系。 8.掌握极限的四则运算法则. 9.掌握用两个重要极限求一些极限的方法。 10.了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。 11.了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。 12.记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。

一元函数微分学 (一)基本概念 1．导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数

2．微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性 3．中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述 4．导数应用：用洛比达法则去求七种未定式极限问题，函数的单调性判别法，函数的极值

及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大值、最小值问题，导数在经济问题的应用

重点：导数概念和导数的计算，极值，最大利润问题

难点：导数的应用 (二)基本要求 1.理解导数与微分概念，了解导数的几何意义。会求曲线的切线和法线方程。知道可导与连续的关系。

2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。 3.熟练掌握复合函数的求导法则。 4.掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法，以及用参数表示的函数求一阶导数的方法。

5.知道一阶微分形式的不变性。 6.了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。 7.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论；知道柯西定理的条件和结论。会用拉格朗日定理证明简单的不等式

８.掌握洛比达法则求极限问题 9.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念篇四：微积分教学中的几点体会 微积分教学中的几点体会

基础部

摘要：怎样使课堂教学取得良好的效果，如何启发学生提出问题，如何鼓励学生学好微积分等问题，有待于我们进一步探讨。

关键词：微积分教学；严谨的学科；理论；实践；作业；考试

唐朝韩愈说：“师者，传道授业解惑也”。这句话很贴切地说出了为师者的基本职责。但是，要想真正做到这一点，不仅要求教师有良好的教学态度、较丰富的知识，还要力求不断改进教学方法。现仅就微积分教学谈谈自己的几点体会。 在大专班的数学课中，微积分是一门很重要的理论基础课。作为教师，备课不仅仅是写讲稿，而且要熟悉教学大纲，熟悉整个课程的内容，每学期前要自己亲自动手写教

学计划，在时间安排上要留有余地，以便期末有较多的时间复习。

不论教过多少遍微积分的人，在课前都要写讲稿，不要在上课的头一天晚上才写讲稿，应该早写，并且每次最好写一个单元的讲稿，课前再对讲稿进行必要的修改。 数学是一门严谨的学科，但是人对数学内容的认识及数学本身的发展，都有一个由浅入深，由表及里，去粗取精，去伪存真的过程。微积分是大专生首先接触的基础课，在讲稿中一方面要正确地，系统地阐述微积分中的定义、定理，表现出数学的严谨性；另一方面也要考虑学生的实际情况（近几年我校招收的大专生基础就较差），不必过分要求逻辑上的严密性。在实际教学中，有些理论性太强的概念尽量用形象的概念来代

替，有些定理的证明可以不讲，只要讲清正

确的用法即可。

理论来自实践，又反过来为实践服务，

数学是理论性强的学科，与实际有着广泛的联系。在讲理论时，一定要先讲它的实际背

景，从实践引出理论。但同时也要讲清楚，

理论与实际存在着差别。例如函数的概念来自实际，它概括了大量的实际现象，但并不是数学中的每一个函数都有实际意义的。 做作业及做大量的计算题，仍然是微积分教学中的一个重要环节。在这方面对学生要严格要求。首先，要求学生对基本运算。如求导、求不定积分要熟。导数计算不熟，不可能学好不定积分。不定积分不熟，在学

重积分与微分方程时就会发生困难。有的学生作计算题不愿求出最后结果，不愿对求得的答案作必要的整理，这是不能允许的。例如：求y?= (tanx?x)?只做到 y?=(tanx?x)?=sec2x—1不行，而应该

是y?=(tanx?x)?=sec2 x—1= tanx 教师应及时批改作业。如果学生数较

多，不能全看，也要看一部分，并且在一定时期内，每个学生的作业都要看到。看作业时，要注意发现教学中存在的问题而设法改正。 在教学过程中，除了按照已规定好的要求（如教学大纲的要求），对教材内容作必要的删节外，讲课内容不宜离教材太远。但也不能照本宣科，而应该就所讲的内容，尽量与以前所讲的内容相联系，讲清它的基本limsinx?方法及其作用。例如：在讲求 x?0x1.时，先讲求y=sinx在x=0处的斜率，就是

求 lim sinx 然后点一下它在三角函x?0 x数的研究中起重要作用及角的单位是弧度 ?时才有这个结果。讲(sinx)?cosx时重提?这个公式，指出它在推导(sinx)?cosx中

的作用。进一步讲三角函数与反三角函数的求导公式的推导都直接或间接的与 lim x?0 sinx 有关，而且在使用三角函数的导数或x 不定积分公式时，必须记住角的单位是弧度。

考试是教学的一个重要环节。考试的目的不仅仅是给学生一个分数，更重要的是要通过考试前的复习与考试。加深对内容的理解与巩固。复习、命题、判卷应由授课教师独立完成，当然要接受一定的监督与检查。试卷评完后最好找机会给学生讲一下试题的正确答案及阅卷时发现的问题，找出错误所以，使学生以后不再犯类似的错误。

教育家加里宁曾说：“教育不仅是科学事业，而且是艺术事业。”怎样使课堂教学取得良好的效果，如何启发学生提出问题，如何鼓励学生学好微积分等问题，有待于我们进一步探讨。

本文只是自己在教学中的一点粗浅体会，不当之处，请指正。

推荐第6篇：微积分教案

微积分数学模型的应用

微分模型

一、光纤收费标准模型

某地有多家有线电视公司。有线电视公司A的光纤收费标准为14元/（月。户），目前它拥有5万个用户。某位投资顾问预测，若公司每月降低1元的光纤收费，则可以增加5000个新用户。 1） 请根据这一预测，为公司制定收费标准，以获得最大收益

2） 如果公司每月每户降低一元的光纤收费，只增加1000个新用户，问该如何制定收费标准？

一、模型假设与符号说明

1、假设该地的用户数远远大于5万

2、假设只考虑公司降价而不考虑提价的情况

3、若公司每月每户降低1元的光纤收费，可增加a个新用户，公司每月每户降低x的光纤收费，公司的月收益为P(x)。

二、模型建立

P(x)每月每户交纳的费用总用户数，即

P(x)=(14-x)(50000+ax) =700000+(14a-50000)x-ax

三、模型求解

（1）当a5000时，P(x)=700000+20000x-5000x，求导得

22

P\'(x)=20000-10000x

令P(x)0，得驻点x2。

根据实际问题的分析知道：当公司定价为12元时，公司拥有60000用户，此时公司每月的最大收益为72万元。

（2）1）当a1000时，p(x)70000036000x1000x，求导得

2\'P\'(x)=-36000-2000x

令P(x)0，得驻点x18。

根据实际问题知：x0，故与实际情况不吻合

二、存贮模型

（一） 不允许缺货的存贮模型 1.问题的提出 存贮问题广泛存在于工厂的原材料贮备，商店的商品贮备、水库蓄水等现实问题\'中．这里的关键是存贮量的大小，存贮量过大则需付出过高的存贮费用；存贮量不足又可能导致不能满足需求从而造成损失．因此，确定一个最优的贮存策略是具有重要意义的． 2.模型的构建

下面假定需求量是确定的，并且不允许缺货现象出现，如钢厂订购废钢供炼钢就是这种情况，因为钢生产对原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料将造成巨大的损失． 在不允许缺货的情况下我们可以考虑两种费用：订货时需付的一次性订货费，货物的贮存费．建立模型的目的是在单位时间的需求量为常数的情况下制定最优存贮策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小．

模型假设：（1）每天货物需求量为r吨．

（2）每隔T天订一次货（称T为订货周期），订货量是Q吨，当贮存量降到零时新一批订货恰好到达． （3）每次订货费为C1（与订货量无关，也与货物本身的价格无关），每天每吨货物贮存费为C2． 模型建立：订货周期T、订货量Q与每天需求量r之间应满足关系 QrT ．

订货后贮存量由Q均匀地下降，设任意时刻的贮存量为q(t)， 则q(t)是t的线性递减函数，其变化规律如图10－1． 考虑一个订货周期的总费用C(T)：订货费C1与贮存费．

__贮存费＝每天每吨货物的贮存费平均每天的存贮吨数天数 ＝C2Q0T 2

图10－1

＝于是得

1C2QT．

21C(T)＝C1C2QT，

2__1C(T)＝C1C2rT2．

2__

（2）

显然，不能以一个周期内的费用为目标函数，这样会导致订货周期越短越省钱的错误结论，而应以每天的平均费用（记作C(T))为目标函数，于是

C(T) C(T)C11＝C2rT． TT2__

（3）

制定最优存贮策略归结为求订货周期T使C(T)最小． 3.模型求解 利用微分法，令

C1dC(T)0，得21C2r0，

2dTT解得 最佳进货周期

T2C1． rC

2 （4）

将QrT代入上式得最佳进货量

Q2C1r．

C2

（5）

式（8）就是经济理论中著名的经济订货批量公式． 4.模型应用

订货批量公式（5）表明，订货费C1越高，需求量越大，则订货批量Q应越大；贮存费C2越高，则订货批量Q应越小．这些结论都可以由常识得到，不过公式在定量上表明的平方根关系却是凭常识无法得到的．

例 1 一鞋店平均每天卖出110双鞋，批发手续为每次200元，每双鞋每储存一天的费用为0.01元，该商店多少天进一次货最好，进货量为多少？

解 本题中r=110，C1200,C20.01.于是得最佳进货量 Q最佳进货天数 2C1rC222001102098双，

0.01T= Q209820天r110即20天进货2098双最好

（二） 允许缺货的存贮模型

1 .问题的提出 考察一个商店经理制定最优订货周期和最优订货批量时碰到的问题．设市场对某种商品的需求是确定的和已知的，市场对某种商品的需求仍为每天r吨，但允许缺货．缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，称缺货损失费．于是这个模型的第（1）、第（3）条假设与不允许缺货时相同，而第（2）条改为 (2)每隔T天订货Q吨，允许缺货，每天每吨货物的缺货损失费为C3．

2 .模型的构建

缺货时贮存量q(t)视作负值，则q(t)的图形

如图10－2．货物在tT1时售完，但每天需求量仍为r， 在T1,T这段时间内缺货，可视存贮量q(t)为负值，于

是在tT时下一次订货量Q一次到达，且QrT1．

图10－2 一个订货周期内总费用C：订货费C1，贮存费C2__T10q(t)dt，缺货损失费．

贮存费每天每吨货物的存贮费从第一天到第T1天总共存贮的货物吨数的和

＝C2T10q(t)dtC2Q(10T1t1)dtC2QT1． T12tdt(T1T) T1 缺货损失费＝C3 ＝C3＝TT1q(t)dt＝C3Q(1T1T TT1(rT1rtdt(QrT1)

1C3r(TT1)2． 2于是一个周期内的总费用为： 11CC1C2QT1C3r(TT1)2．

22__ 3 模型的求解

模型的目标函数仍为每天的平均费用C(T,Q)，将T1__Q代入上式，得 r

C(T,Q)＝

CC11C1C2Q23(rTQ)2TT2r2r，

求T、Q使得C(T,Q)最小．

先求出二元函数C(T,Q)关于T、Q的偏导数

CC． ,TQ 然后令CC0,0， TQ最后解出最优值T与Q，即得 最佳进货周期 **T*2C1(C2C3)，

rC2C

3 （6）

最佳进货批量

Q* 4.模型的应用 2rC1C3

C2(C2C3)

（7）

式（6）、（7）表明，缺货损失费C3越大，订货周期应越短，订货批量越大．当C3很大（即缺货损失变得很大）时，C3，有

C2C3C121，则允许缺货的最佳周期和最佳批量与不允C3C3许缺货的最佳定货周期和最佳批量有如下关系 T*2C1(C2C3)rC2C32C1*，QrC22rC1C32rC1． C2(C2C3)C2允许缺货的情形又回到了不允许缺货的情形，显然这是符合实际的．

例2 有一酒类批发商，以每天150瓶的速度供应零售商，存储费用为每天每瓶0.05元，根据合同如缺货，每瓶每天必须向零售商赔偿0.2元。若批发商一次的费用为300元，试确定批发商的最佳批发周期、进货量。

解 因 r150,C20.05,C30.2,C1300,于是得最佳批发周期为

T最佳进货量

Q

三、生猪的出售时机 1．问题

饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。 市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。

2C1C2C3rC2C32300(0.050.2)10天，

1500.050.22rC1C321503000.21200瓶，

C2C2C30.05(0.050.2)2．分析

投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大建模及求解

估计r=2 g=0.1若当前出售，利润为80×8=640（元），t 天出售，生猪体重 w=80+rt 销售收入 R=pw 出售价格 p=8-gt 资金投入 C=4t 利润 Q=R-C=pw –C Q(t)(8gt)(80rt)4t

求 t 使Q(t)最大 t4r40g2=10 rgQ(10)=660 >640 10天后出售，可多得利润20元

四、森林救火

当森林失火时，消防站应派多少消防队员去灭火呢？派的队员越多，火灾损失越小，但救援开支越大.如何确定灭火队员的人数，才能使总费用（火灾损失+救援开支）最小？

解 1．问题分析

（1）火灾损失与森林被烧面积有关，而被烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又与消防队员人数有关.（2）救援开支由两部分构成：①灭火剂的消耗与消防队员酬金（与人数和时间有关）；②运输费（与人数有关）.（3）在无风的情况下，可认为火势以失火点为圆心，均匀向四周蔓延.半径与时间成正比，从而被烧面积应与时间的平方成正比.2．模型假设

（1）火灾损失与森林被烧面积成正比

记开始失火的时刻为t0，开始灭火的时刻为tt1，火被完全扑灭的时刻为tt2.设在时刻t森林被烧面积为Bt，C1表示单位面积被烧的损失，则总损失为C1B(t2).（2）被烧面积与时间关系

dBdBdB表示单位时间被烧面积(燃烧速度：m2/min),当t＝0与tt2时为零，当tt1时最dtdtdtdBdB|tt1b.由前面分析，Bt与t2成正比,故不妨设在区间[0,t1]与[t1,t2]上， 大，记 都是t的dtdt线性函数.在[0,t1]上，斜率为0，称为火势蔓延速度,在[t1,t2] 上,斜率为x0,其中x为消防队员人数.为队员的平均灭火速度.

（3）救援开支

设x为消防队员人数，灭火剂消耗与消防队员酬金每单位时间的费用为C2, 运输费平均每人费用为C3, 则救援开支为C3xC2x(t2t1).3．模型建立与求解

图14-3 由假设2， dBdt与t的关系如图14-3所示.利用定积分的牛顿-莱布尼兹公式，大面积为

B(tt2dB2)B(tdt＝OMN面积＝bt22)B(0)0dt2 ∴总费用 C12C1bt2C2x(t2t1)C3x.此式中t2与x是变量，其余为常数.但t2与x是密切相关的，由图可知

btb1,

tx, tb2t1x 2t1从而，总费用可化为一元函数：

C2Cx12C1bt11b2xC2bxxC3x dC2令 0，解得唯一驻点 x1C1b2C2bdx2C.

3驻点就是最小值点. 4．模型评价

森林被被烧的最 从结果看，x>，这表示为了能把火扑灭，派出的消防队员人数要大，这保证-x0，使1燃烧速度趋于零.而x的第一项 C1b22C2b是综合考虑了各种因素,使总费用最低.

2C3积分模型

一、捕鱼成本模型 1 .问题的提出

在鱼塘中捕鱼时，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每公斤鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。

假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤的捕捞成本是从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需花费多少成本？

2.模型的构成与求解

根据题意，当塘中鱼量为x公斤时，捕捞成本函数为 C(x)2000元。已知鱼塘中现有鱼10000公斤，问

10x2000(x0).

10x假设塘中现有鱼量为A公斤，需要捕捞的鱼量为T公斤。当我们已经捕捞了x公斤鱼之后，塘中所剩的鱼量为Ax公斤，此时再捕捞x公斤鱼所需的成本为

CC(Ax)x因此，捕捞T公斤鱼所需成本为

2000x.

10(Ax)CT0200010ATdx2000ln[10(Ax)]x2000ln(元) x010(Ax)10(AT)将已知数据A10000kg,T6000kg代入，可计算出总捕捞成本为 C2000ln100101829.59(元) 4010顺便可以计算出每公斤鱼的平均捕捞成本 C

二、投资决策模型

某公司投资1860万元建成一条生产线．投产后，其追加成本和追加收入（分别是成本函数和收入1829.590.30元

6000函数对时间t的变化率，类似于边际函数概念）分别为G(t)52t（百万元/年），(t)17t（百万元/年）．试确定该生产线使用多长时间停产则可使公司获得最大利润？最大利润是多少？

解

容易看出，追加成本G(t)是单调增加函数而追加收入(t)是单调递减函数，这说明生产费用在逐年增加，而生产收入在逐年减少，二者之差即为生产利润随时间的变化率：

2323(t)G(t)(17t)(52t)123t．

232323与边际成本和边际收入的关系相同，生产利润最大值存在的必要条件是(t)G(t)．解方程得t8，由于生产利润对时间的导数为

(t)G(t)82t130，

23所以，t8是生产利润的最大值点．这样，生产利润的最大值为

(t)G(t)dt18.6(123t008)dt18.638.418.619.8(百万元)．

推荐第7篇：新概念微积分

新概念微积分简介

新概念微积分创始人-卜长江（田原）教授

本人提出了新概念微积分教学思想，并加以实践，下面简要介绍新概念微积分的基本想法。

一、讲授思想有较大变化

微积分的主要内容是导数与积分，现行的教材是以导数为重点，将积分分为定积分、二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分和第二型曲面积分等七种积分，分别讲授。这种讲授体系看似层次清楚，其实是忽视了微积分的核心思想，造成了一些问题：教学工作量大、学生学习难度大、用起来困难、能力不强。也就是说，传统教材尚有改进的余地，更多问题反映在：教的不透彻，学的不明白。

新概念微积分是以微积分的核心思想是微分、强调科研意识的培养来讲授。

二、培养解决问题的能力

如何培养解决问题的能力？仅是通过大量做题显然不是办法，微积分中的问题是一个人一辈子也做不完的，即使做了很多题也不见得有较好的解题能力。问题出在哪里？我认为有两点：

1.不清楚问题的本质与核心

例如：不清楚积分的本质，做再多的题也无用处。

2.没有掌握解决问题的思想与规律

每一学科都有自身的特点与规律，不掌握规律性的东西，学习速度较慢；没有掌握解决问题的思想，就没有发展，甚至碰到下一个问题还是不能解决。

而新概念微积分是运用 “微积分的核心思想”，研究解题规律，称之为“FIC解题法”， “即基础、思想和分类”。整个微积分教学过程涉及的问题按“微积分的核心思想”来分类，也就是几十类。这样针对每一类别教学和练习，不需要做很多题。这样，每个类别的解题思想清楚了，学生解决问题能力就较强。

三、提高解决应用数学的能力

由于新概念微积分研究、讲述的是微积分的实质，不是让学生背书、背定义、背定理、背计算方法，应用较容易，即 “懂了才会用”。

四、新概念微积分符合国家教学要求

新概念微积分与现有的教学大纲及考研要求无冲突。由于突出了能力培养，使之更适合我们的培养目的，并且对其它数学教学有借鉴意义。

五、新概念微积分对传统微积分做了较大改革

新概念微积分是对传统微积分作了较全面、整体的改革，在国内尚属首次（国际上也尚未见到）。虽然国内有其他同行对微积分也做了些改革，但只是在某些个别的地方做了改革，与我们所做的相差很多，思想也不同。

一点说明

新概念微积分这个名称在教学中我早已使用，但是近期偶然发现中国科学院院士林群近期用了这个名称，但是他做的内容与我们做的完全不同，所以我坚持用这个名称。

总之：新概念微积分使得：易教、易学、会用、能力强。

推荐第8篇：微积分基础教程

微积分教程

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分的基本介绍

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。

微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。

学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。

微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分的本质

【参考文献】 刘里鹏.《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》，长沙：湖南科学技术出版社，2009

1．用文字表述：

增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分理论的精髓所在。

2．用式子表示：

微积分的基本方法

微积分的基本原理告诉我们微分和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于我们化曲为直了，现实生活中我们会遇到很多非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？

经过研究思考和总结，笔者认为，微积分的基本方法在于：先微分，后积分。

笔者所看到的是，现在的教材没有注意对这些基本问题的总结，基本上所有的教材每讲到积分时都还重复古人无限细分取极限的思想，讲到弧长时取极限，讲到面积时又取极限，最后用一个约等号打发过去。这样一来不仅让学生听得看得满头雾水，而且很有牵强附会之嫌，其实懂得微积分的本质和基本方法后根本不需要再那么重复。

微积分学的建立

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就

是当时莱布尼茨精心选用的。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。

其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布•贝努利和他的兄弟约翰•贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西„„

欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

微积分的基本内容

研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

微积分是与科学应用联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

一元微分

定义： 设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函

数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = Adx。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f\'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

几何意义

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

多元微分

多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。ΔZ=A*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)为函数Z在点（x、y)处的全增量，（其中A、B不依赖于ΔX和ΔY，而只与x、y有关，ρ=[（x∧2+y∧2)]∧(1\\2),A*ΔX+B*ΔY即是Z在点的全微分。

总的来说，微分学的核心思想便是以直代曲，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。

积分有两种：定积分和不定积分。

定积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：[F(x) + C]\' = f(x)

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，它们又为何通称为积分呢？这要靠牛顿和莱布尼茨的贡献了，把本来毫不相关的两个事物紧密的联系起来了。详见牛顿——莱布尼茨公式。

一阶微分与高阶微分

函数一阶导数对应的微分称为一阶微分;

一阶微分的微分称为二阶微分;

.......

n阶微分的微分称为(n+1)阶微分

即:d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数,d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方)

含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，„的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为

F(t，yt，Dyt，„， Dnyt)=0，

其中F是t，yt, Dyt，„， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。

含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，„的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，yt+1，„，yt+n)=0,

其中F为t，yt，yt+1，„，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为

多元函，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。

微积分的诞生及其重要意义

微积分的诞生是继Euclid几何建立之后，数学发展的又一个里程碑式的事件。微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。解析几何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学作了总结，使代数与几何融为一体，并引发出变量的概念。变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础

推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的思想，产生像牛顿、莱布尼茨、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法，指出方向的领袖，但也必须等待创立一个必不可少的工具——微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的。在17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这一领域是最丰富的，微积分为创立许多新的学科提供了源泉。

微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说：

“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”

有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机。宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体的作用。从最小的尘埃到最遥远的天体的运动行为。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含范围内。这是人类认识史上的一次空前的飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动开始了。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。

微积分优先权大争论

历史上，微积分是由两位科学家，牛顿和莱布尼茨几乎同时发现的。在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法，认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系；他们都各自建立了微积分学基本定理，他们给出微积分的概念、法则、公式和符号理论为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。总之，他们创立了作为一门独立学科的微积分学。

微积分这种数学分析方法正式诞生以后，由于解决了许多以往靠初等数学无法作答的实际问题，所以逐渐引起科学家和社会人士的重视。同时，也带来了关于“谁先建立微积分”问题的争论。从牛顿和莱布尼茨还在世时就开始出现这种争论，英国和欧洲大陆各国不少科学家都卷入这场旷日持久的、尖锐而复杂的论战。这场论战持续了100多年的时间。就创造与发表的年代比较，牛顿创造微积分基本定理比莱布尼茨更早。前者奠基于1665—1667年，后者则是1672—1676年，但莱布尼茨比牛顿更早发表微积分的成果。故发明微积分的荣誉应属于他们两人。

第二次数学危机及微积分逻辑上的严格化

微积分诞生之后，数学迎来了一次空前繁荣的时期。对18世纪的数学产生了重要而深远的影响。但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础，这在初创时期是不可避免的。科学上的巨大需要战胜了逻辑上的顾忌。他们需要做的事情太多了，他们急于去攫取新的成果。基本问题只好先放一放。正如达朗贝尔所说的：“向前进，你就会产生信

心！”数学史的发展一再证明自由创造总是领先于形式化和逻辑基础。

于是在微积分的发展过程中，出现了这样的局面：一方面是微积分创立之后立即在科学技术上获得应用，从而迅速地发展；另一方面是微积分学的理论在当时是不严密的，出现了越来越多的悖论和谬论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。例如，有时把无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去，而有时却又令无穷小量为零而忽略不计。由于这些矛盾，引起了数学界的极大争论。如当时爱尔兰主教、唯心主义哲学家贝克莱嘲笑“无穷小量”是“已死的幽灵”。贝克莱对牛顿导数的定义进行了批判。

当时牛顿对导数的定义为：

当x增长为x+o时，x的立方（记为x^3）成为（x+o）的立方（记为(x+o）^3)。即x^3+3 x^2o+ 3x o^2+ o^3。x与x^3的增量分别为o和3 x^2o+ 3x o^2+ o^3。这两个增量与x的增量的比分别为1和3 x^2+ 3x o+ o^2，然后让增量消失，则它们的最后比为1与3 x^2。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设o是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么o到底是不是0呢？这就是著名的贝克莱悖论。这种微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机，而这次危机的引发与牛顿有直接关系。历史要求给微积分以严格的基础。

第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严格化的是拉格朗日。为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒展开式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题，所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

到了19世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极为微积分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲学家B.Bolzano.曾著有《无穷的悖论》，明确地提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。

分析学的奠基人，法国数学家柯西在1821—1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列的基本概念和精确定义。

对分析基础做更深一步的理解的要求发生在1874年。那时的德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。黎曼发现，柯西没有必要把他的定积分限制于连续函数。黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。也就是将柯西积分改进为Riemann积分。

这些事实使我们明白，在为分析建立一个完善的基础方面，还需要再深挖一步：理解实数系更深刻的性质。这项工作最终由外尔斯特拉斯完成，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。这样一来，数学分析所有的基本概念都可以通过实数和它们的基本运算表述出来。微积分严格化的工作终于接近封顶，只有关于无限的概念没有完全弄清楚，在这个领域，德国数学家Cantor做出了杰出的贡献。

总之，第二次数学危机和核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础上。外尔斯特拉斯的贡献在于逻辑地构造了实数论。为此，建立分析基础的逻辑顺序是

实数系——极限论——微积分

18世纪的分析学

驱动18世纪的微积分学不断向前发展的动力是物理学的需要，物理问题的表达一般都是用微分方程的形式。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。他们把微积分应用于天文学、

力学、光学、热学等各个领域，并获得了丰硕的成果。在数学本身又发展出了多元微分学、多重积分学、微分方程、无穷级数的理论、变分法，大大地扩展了数学研究的范围。其中最著名的要数最速降线问题：即最快下降的曲线的问题。这个曾经的难题用变分法的理论可以轻而易举的解决。

微积分的现代发展

人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着。以下列举了几个例子，足以说明人类认识微积分的水平在不断深化。

在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后，Lebesgue又引进了测度的概念，进一步将Riemann积分的含义扩展。例如著名的Dirichilet函数在Riemann积分下不可积，而在Lebesgue积分下便可积。

前苏联著名数学大师所伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性和唯一性，建立了广义函数和广义导数的概念。这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的含义，更重要的是，它使得泛函分析等现在数学工具得以应用到微分方程理论中，从而开辟了微分方程理论的新天地。

我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域，便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。并且这门学科至今仍然很活跃。前不久由我国数学家朱熹平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜想便属于这一领域。在多元微积分学中，Newton—Leibniz公式的对照物是Green公式、Ostrogradsky—Gau公式、以及经典的Stokes公式。无论在观念上或者在技术层次上，他们都是Newton—Leibniz公式的推广。随着数学本身发展的需要和解决问题的需要，仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演着重要的角色。于是，外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式产生了。而经典的Green公式、Ostrogradsky—Gau公式、以及Stokes公式也得到了统一。微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、由不全面到比较全面地发展。人类对自然的探索永远不会有终点。

推荐第9篇：微积分发展史

微积分发展史

一、微积分学的创立

微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念。

到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。 在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。 这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法,认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。

二、微积分诞生的重要意义

微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这一切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。

三、微积分理论的基本介绍

微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量增量的乘积。作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量ε。 就是说，除的数不是零，所以有意义，同时ε可以取任意小，只要满足在δ区间，都小于ε，我们就说他的极限就是这个数。虽然这个概念给出的比较取巧，但是，它的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。因此这个概念是成功的。

五、微积分的不断发展完善

随着社会的进步，科学的发展，微积分学也在不断的发展与完善。微积分学是与科学应用紧密联系着发展起来的。 最初，牛顿应用微积分学及微分方程对天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。 微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中有着越来越广泛的应用。

推荐第10篇：微积分教案

§1.6 微积分基本定理的应用

课型：新授课

一．教学目标

1．.会利用微积分基本定理求函数的积分.2．通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系， 培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二．温故知新：

1.微积分基本定理 2.定积分的简单性质

3.导数公式

三．探究导航

探究1 例1．计算下列定积分： （1）2021311dx；

（2）(2x2)dx。

1xx例2．求下列定积分：

（1）(3x4x)dx

（2）2sin202xdx 2分析：利用定积分的性质及微积分基本定理求定积分时，有时需先化简，再积分！

探究二：0sinxdx,sinxdx,sinxdx。

022由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论  计算定积分的一般步骤：

 (1)把被积函数能化简的先化简，不能化简的变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差；

 (2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；  (3)分别利用求导公式找到F(x)使得F′(x)＝f(x)；  (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值；  (5)计算所求定积分的值．

四．课堂达标练习

A

组

1．(exex)dx=（

）

01121（A）e+

（B）2e

（C）

（D）e-

eee2．(3x2k)dx=10，则k=____________ 023．计算定积分：

1 （1）(42x)(4x)dx

（2）02221x22x3dx

x3（3）

41x(1x)dx

（4）(x21x)2dx

B组

1．计算定积分：

（1）edx

（2）4cos2xdx

012x6

2．设m是正整数，试证下列等式： （1）sinmxdx0

（2）

3．已知f（x）是一次函数，其图象过点（3，4）且cos2mxdx

10f(x)dx1求f（x）的解析式

五．课后作业

已知f（x）=axbxc且f（1）=2，f(0)0，f(x)dx4

121求a，b，c的值

第11篇：微积分总结

第一章知识点

1.极限的定义(ε-δ定义）：

（重在理解) 2.两边夹法则

先看它是否有明显的界限，再有极限相同入手。

但要注意：夹的时候一定要保证不等关系一直成立 3.在证明不等关系时，二项式定理是一个不错的工具，尤其是涉及到n次幂的问题（P9 例题3）

4.复合函数问题中Df∩Zg≠Φ对于一个复合函数f(g(x)),那么g(x)的值域与f(x)的定义域必须要有交集（小错误）

5.有基本初等函数(反对幂指三）经过有限次变换得到的函数均为初等函数（定理：初等函数在其定义域内均连续） 6.邻域均为开区间

7.用ε-ε-δ定义定义证明极限等于某个常数，其关键是找出一个符合要求的δ，并要充分利用lim=n这一条件。P30 例1 8.Limf(x)=∞时，f(x)的极限不存在，只是借用这一符号。在此处有垂直渐近线

9.左右极限存在且相等==>函数在这一点极限存在 10.函数极限存在则必有唯一性（反证法，与定义矛盾) 11.连续可推出极限存在

12.连续性的条件：1.f(x0)有意义

2.f(x0)在此处的极限存在

3.此处limf（x）=f（x0） 13.换元要换限，取值范围要跟着变。

14.无穷小性质：

1.有限个无穷小之和与乘积是无穷小

2.有界函数和常数 与无穷小的乘积是无穷小

（用于简化求极限的式子）

15.利用无穷小求极限就是丢掉不影响的无穷小（高阶无穷小），再用等价无穷小替换。

16.若f(x)在x0处可微，则f(x)在处连续，其极限也必定存在 17.可微=左右微商相等

（不等即微商不存在）

18.因此求分段点出的微商的步骤是：先求左微商，再求右微商，再看其等不等。等便存在，不等便不存在

19.连续点处或左右微商：1.先求增量Δy

2.再求Δy/Δx 3.求极限（极限为无穷则称其不可微） 20.切线方程， 法线方程 21.求极限时注意谁是变量。

22.无穷小等价代换 乘除可换 加减不能

在对无穷小比无穷小求极限的过程中，可以把分子或分母中的某个因子用等价无穷小替换，加减时一般不能用等价无穷小替换，加减时候等价无穷小替换的条件是：lim a/b中极限存在，且极限不等于-1，则a+b中的无穷小a和b可以用它们的等价无穷小替换。

23.间断点类型：第一类间断点：1.左右极限存在且相等但不等与

f(x0)(可取间断点）

2.左右极限不等（跳跃间断点） 第二类间断点：

左右极限至少有一个不存在 24.极限比值为常数且分子或分母也为0，则另一个也为0（分子分母为同阶无穷小） 25.(1)limsinx1x0x1x比较limxsinx0x(2)lim(1x)x0e或lim(1x1x)ex

26.极限的性质：1.唯一性 2.局部保号性 3.两边夹法则 4.比值极限性质 27.

仅个人小小理解，当作总结，若有错误还请及时与我交流，愿大家共同进步！！！

第12篇：微积分部分重点

题型(照惯例)：

1.填空

2.选择

3.计算题

4.应用题

5.证明题

重点看（部分啊不是全部，老师只肯透露这些）:

一、求极限

1.夹逼定理

2.洛必达

二、导数

1.显、隐函数求导

三、求简单不定积分

四、求最值、极值

五、求单调性、单调区间

六、证明简单不等式、考察中值定理的简单应用

只搞到这么多了..然后重点放在计算，定义的话理解就好。

11会四林琳

第13篇：微积分B复习提纲

微积分B（Ⅰ）复习提纲

一、了解什么是基本初等函数？什么是初等函数？掌握初等函数求定义域及函数值、函数复合、函数表达式等；

二、了解极限的概念，掌握极限的求解方法；

1． 代入法例

2． 倒数法例

3． 约去零因式法

4． 无穷小量分出法

5． 重要极限法

6． 洛必达法则

三、理解等价无穷小量的概念，判定两个无穷小量是否为等价无穷小量；

四、掌握函数连续的概念，会判定分段函数在分段点的连续性；掌握在闭区间上连续函数的性质，会用零点存在定理证明方程根的存在；

五、理解导数的概念和几何意义，会求曲线的切线方程；牢记导数的基本公式，掌握各种求导数的法则和方法；

1．导数的四则运算、复合运算法则；

2．隐函数求导

3．对数求导法

xf(t)4．参数方程求导  yg(t)

5．含一般函数符号的函数求导

6．高阶导数

六、理解微分的概念，掌握微分的计算方法；

七、掌握分段函数极限、连续、导数的讨论方法

八、掌握三个微分中值定理，会判定函数在相应区间是否满足定理条件；会用中值定理证明等式、不等式

九、掌握利用导数判定函数单调性、求极值、判定曲线凹向、求拐点的方法，会求曲线的水平、垂直渐近线

十、理解原函数、不定积分、定积分的概念，牢记不定积分的基本公式，掌握求积分的各种方法；

1．直接积分法(分段函数求定积分)

2．换元积分法(第一类、第二类)

3．分部积分法

4．对称区间定积分的性质

5．积分上限函数

6．广义积分

十一、实际应用问题掌握成本函数、收益函数、利润函数概念及其关系，会求相应的最值十

二、定积分求面积

第14篇：微积分下考点

第六章考点

一、填空选择部分

(1)变上限函数求导、求极限P151，

5、6

(2)定积分对积分区间的可加性P152,12

(3)在对称区间上,利用函数奇偶性计算定积分 P153,15

(4)牛顿-莱布尼茨公式P152,11

(5)反常积分P153,

21、22

二、计算、应用部分

(1)定积分的换元积分法及分部积分法P152,

13、14

(2)平面图形的面积和旋转体的体积P146，例6-29，6-30；P154，

26、28

(3)定积分在经济学中的简单应用P154，29

第七章考点

一、填空选择部分

(1)二元函数的概念以及求其定义域P186,1

(2)可微与偏导数、连续的关系P189,B组 二.(1)

(3)交换二重积分的次序P188,22

二、计算、应用部分

(1)多元函数一阶偏导数、全微分计算P186，

4、5以及复合函数求导链式法则P187，

12、13

(2)计算一元、二元隐函数的导数和全微分P187，

15、16

(3)二元函数的极值P187，17

(4)在实际问题中求二元函数的最值P187，

18、19

(5)二重积分的计算(直角坐标系和极坐标系)P188，

23、

24、25

三、证明部分

偏导计算证明恒等式P186，6

第八章考点

一、填空选择部分

(1)收敛级数的性质P217B组：

一、1

(2)等比级数敛散性，以及收敛时候的和P191，例8-1，记住结论

(3)P级数的敛散性P196,例8-7，记住结论

(4)正项级收敛的充要条件P217B组：

二、1

(5)绝对收敛、条件收敛的判断P218，

8、9

二、计算、应用部分

(1)正项级数敛散性的判别(比较判别法或者比较判别法的极限形式)P215,4

(2)正项级数敛散性的判别(比值判别法) P215,5

(3)正项级数敛散性的判别(根值判别法) P215,8

(4)任意项级数敛散性的判别P216，9

(5)求幂级数的收敛域P216，12

(6)幂级数在收敛域内的和函数P216，13

第九章考点

一、填空选择部分

(1)微分方程的概念以及分类P237，1；P240二

1、2

(2)解、通解、特解的概念P240二

3、4

(3)用可分离变量的方法求解微分方程P238，3

二、计算、应用部分

(1)一阶微分方程(可分离变量法)P238，3

(2)一阶线性微分方程P238，5

注：考点内没提到的内容不考，考点内提到的大题，只做作业里布置过的几个小题即可。 考试题型与上学期一致，即填空、选择、计算和证明

第15篇：微积分课程教学大纲

《微积分》课程教学大纲

一、使用说明

（一）课程性质

《微积分》是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一，它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。

微积分作为一学年的课程，是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的，制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解，为进一步学习专业课打下坚实的基础。

（二）教学目的

通过本课程的学习，使学生较好地掌握微积分特有的分析思想，并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解，并能运用其手法解决实际问题中的简单课题。

（三）教学时数

本课程共132学时，8学分。

（四）教学方法

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（五）面向专业

经济学、管理学所有本科专业。

二、教学内容

第一章 函数

（一）教学目的与要求

[教学目的]

使学生正确理解函数的定义。理解函数的各种表示法，特别是分析表示法。了解函数的几何特性及图形特征，了解反函数、复合函数概念。熟练掌握基本初等函数的性质及图形，掌握初等函数的结构并能确定其定义域，能列出简单的实际问题中的函数关系。

1 [基本要求]

1、理解实数与实数的绝对值的概念。

2、理解函数、函数的定义域和值域，熟悉函数的表示法。

3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。

4、了解反函数概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。

5、理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。

6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。

7、了解分段函数的概念。

8、会建立简单应用问题的函数关系。

（二）教学内容

函数的定义，函数的几何特性，反函数，复合函数，初等函数，经济中的常用函数。

教学重点：

1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形。

2、初等函数的概念，复合函数的复合步骤的分解方法。

3、几个常用经济量的含义及几个常用的经济函数。教学难点：

1、复合函数的复合步骤的分解方法。

2、利用图形把抽象的数学问题形象化、直观化研究问题的方法。

第一节

预备知识

一、实数

二、绝对值

三、区间

四、邻域

五、集合

第二节

函数概念

一、常量与变量

二、函数的定义与表示法

三、函数定义域的求法

第三节

函数的几何特性

一、函数的单调性

二、有界性

三、奇偶性

四、周期性

第四节

反函数

一、反函数的定义及其图形

二、反三角函数及其主值

第五节

复合函数

一、复合函数的定义

二、运算及举例

第六节

初等函数

一、基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形

二、初等函数的定义

第七节

分段函数

一、分段函数的概念

二、分段函数的图形特征

第八节

建立函数关系的例子

一、总成本函数、总收入函数、总利润函数

二、需求函数、供给函数

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

6学时。

第二章 极限与连续

（一）教学目的与要求

3 [教学目的]

通过本章教学使学生理解极限与连续这两个高等数学中的基本概念掌握极限运算法则和两个极限存在准则，了解间断点的概念和闭区间上连续函数的性质。 [基本要求]

1、了解数列极限与函数极限概念。关于数列极限与函数极限分析定义不做要求。

2、了解无穷小量的概念与基本性质，掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念；知道无穷小量与无穷大量的关系。

3、知道两个极限的存在性定理，并能用于求一些简单的极限。夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理。

4、熟练掌握两个重要极限，两个重要极限的证明不作要求。

5、了解函数连续性的概念，函数间断点的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法。

6、了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。

7、了解闭区间上连续函数的基本定理，基本定理的证明不作要求。

8、掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的方法。

（二）教学内容

数列极限，函数极限，极限的基本性质，无穷小及无穷大，极限的四则运算，极限存在准则及两个重要极限，函数连续的概念及性质。

教学重点：

1、极限概念、极限的运算法则。

2、两个重要极限，求极限的一些基本初等方法。

3、函数连续性的概念、间断点的分类。教学难点：

1、极限的概念。

2、分段函数的连续性。

3、间断点的分类。

第一节

数列的极限

一、数列的概念

二、数列极限的定义与几何意义

三、数列极限的唯一性及收敛数列的有界性

第二节

函数的极限

一、xx0时，函数f(x)的极限

二、x时，函数f(x)的极限

三、函数极限的几何解释

四、单边极限

第三节

极限的基本性质

一、唯一性

二、有界性

三、保号性

四、不等式性

第四节

无穷小量与无穷大量

一、无穷小量的定义与基本性质

二、无穷小量的比较

三、无穷大量的定义

四、无穷小量与无穷大量的关系

第五节

极限的运算法则

一、极限的四则运算法则

二、复合函数的极限运算法则

第六节

极限的存在性定理

一、夹逼定理

二、单调有界数列的极限存在性定理

第七节

两个重要极限

一、limx0sinx1 x5

1二、lim(1)xe

xx

第八节

函数的连续性

一、函数的改变量

二、函数的连续性，左连续与右连续

三、函数的连续性与极限的关系

四、函数的间断点及其分类

五、连续函数的和、差、积、商的连续性

六、反函数与复合函数的连续性

七、初等函数的连续性

七、分段函数的连续性

第九节

闭区间上连续函数的基本定理

一、有界性定理

二、最值定理

三、介值定理

四、零点定理

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

14学时。

第三章 导数与微分

（一）教学目的与要求

[教学目的]

让学生理解导数与微分的概念，导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系。掌握导数四则运算法则，初等函数、复合函数、反函数以及隐函数所确定的函数的一阶二阶导数的求导方法，会求简单的n阶导数。 [基本要求]

1、了解导数的概念；知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的

6 关系。

2、熟练掌握基本初等函数的导数公式。

3、熟练掌握导数的四则运算法则。

4、掌握反函数的导数公式（证明不作要求）。

5、熟练掌握复合函数的链式求导公式（证明不作要求）

6、掌握隐函数求导法与对数求导法。

7、了解高阶导数概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法。

8、了解微分的概念；掌握可导与可微的关系；熟练掌握微分法则与微分基本公式；了解微分形式的不变性。

9、知道边际与弹性的概念，会求解简单的经济应用问题。

（二）教学内容

导数概念；导数的和、差、积、商的求导法则；反函数的导数；复合函数的求导法则；高阶导数；隐函数的导数；函数的微分；微分在近似计算中的应用。

教学重点：

1、导数定义，利用求导公式及四则运算法则计算初等函数的导数。

2、复合函数的导数。

3、微分的定义以及计算方法。教学难点：

1、导数概念的建立。

2、复合函数的导数。

3、微分概念的建立，微分形式不变性。

第一节

导数的概念

一、变速直线运动的速度

二、平面曲线的切线斜率

三、导数的定义与几何意义

四、可导与连续的关系

第二节

基本初等函数的导数公式

推导基本初等函数的导数公式。

第三节

导数的四则运算

导数的和、差、积、商的求导法则。

第四节

反函数与复合函数的导数，隐函数的导数，对数求导法

一、反函数的导数

二、复合函数的求导法则

三、隐函数的导数

四、对数求导法

第五节

高阶导数的概念与求法

一、高阶导数的概念

二、高阶导数求法

第六节

微分

一、微分的定义与几何意义

二、可导与可微的关系

三、微分法则与微分基本公式

四、微分形式的不变性

第七节

导数与微分的简单应用

一、边际与弹性概念

二、边际与弹性经济学意义

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

16学时。

第四章 中值定理与导数的应用

（一）教学目的与要求

[教学目的]

使学生掌握中值定理的条件和结论。会用中值定理进行简单的推理论证，熟练运用洛必达法则求不定式的极限，掌握利用导数判断函数的单调性、极值、凹凸型和拐点的方法，并会描绘简单函数的图形，会用到书分析一些简单的经济问

8 题。 [基本要求]

1、能叙述Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，知道这些定理之间的联系，会利用这些定理证明一些简单的证明题（如证明不等式）。有关这些定理的证明不作要求。

0

2、熟练掌握0型、型的洛必达法则，了解其它未定式的定值方法。注意洛必达法则适用的条件。

3、熟练掌握函数单调性的判别法。

4、熟练掌握求函数的极值与最值的方法；了解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简单的经济应用问题。

5、掌握曲线凹凸性的判别法；掌握求曲线拐点与渐进线的方法。

6、掌握函数作图的基本步骤与方法；会作某些简单函数的图形。

（二）教学内容

中值定理；洛必达法则；函数单调性、凹凸性及拐点的判定；函数的极值与最值及其求法；函数图形的描绘。

教学重点：

1、拉格朗日中值定理的题的条件,结论和有限增量形式。

0000

2、用洛必达法则求,型的极限化五种不定式∞-∞,0*∞, 1,0,为

00型或 型。 

3、利用导数研究函数的单调性,极值及曲线的凹凸性。

4、经济应用问题:最大利润,最小成本等。教学难点：

1、三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进。

000

2、化五种不定式∞-∞,0*∞, 1,0,为型或型。

0

3、利用单调性和极值证明不等式。

第一节

中值定理

一、Rolle定理

二、Lagrange定理

三、Cauchy定理

第二节

洛必达法则

一、洛必达法则

二、洛必达法则的条件及其应用

第三节

函数的单调性与凹凸性

一、函数的单调性及其判别法

二、函数的凹凸性及其判别法、拐点

第四节

函数的极值与最值

一、函数极值的定义

二、函数取极值的必要条件与充分条件

三、函数最值的概念

四、求函数最值的基本步骤

第五节

函数作图

一、曲线的渐进线

二、函数作图

第五节

经济应用举例

一、最大利润

二、最小成本

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

18学时。

第五章 不定积分

（一）教学目的与要求

[教学目的]

通过教学让学生理解不定积分的概念与性质.掌握不定积分的基本公式,还原

10 法和分部积分法,会求一些简单的有理函数的积分。 [基本要求]

1、了解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。

2、熟悉基本积分公式。

3、熟练掌握计算不定积分的两种换元法和分部积分法。

4、会计算三种简单的分式的不定积分：MxN2dx(p4q0 )x2pxqAdx， xaA(xa)mdx，

（二）教学内容

不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分。 教学重点：

1、原函数,不定积分的定义,基本积分公式。

2、换元法,分部积分法 教学难点：

1、第一换元法,第二换元法,分部积分法。

2、有理函数式化部分分式代数和。

第一节

不定积分的概念

一、原函数的概念

二、不定积分的定义与几何意义

三、不定积分的基本性质

第二节

基本积分表

基本积分公式。

第三节

换元积分法

一、第一换元积分法

二、第二换元积分法

第四节

分部积分法

一、分部积分公式

二、分部积分公式应用

第五节

有理函数的积分

一、简单分式的不定积分

二、真分式的分解

三、求有理函数不定积分的一般步骤与方法

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

10学时。

第六章 定积分

（一）教学目的与要求

[教学目的]

使学生理解定级分和广义积分的概念,掌握定积分的计算方法.会计算简单的广义积分,另外会用定积分求解一些简单的几何和经济问题。 [基本要求]

1、了解定积分的概念与基本性质，掌握积分中值定理。

2、会求变上限积分的导数，熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式。

3、熟练掌握定积分的换元积分公式与分部积分公式。

4、会利用定积分求解平面图形的面积、旋转体的体积、及简单的经济应用问题。

5、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的方法。知道广义积分1111dx与pdx的收敛条件。知道Γ函数的定义、性质与递推公式。

0xxp

（二）教学内容

定积分的概念与性质；微积分基本定理；定积分的换元积分法和分部积分法；定积分在面积、体积与经济学中的应用；广义积分。

教学重点：

1、定积分的概念,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的计算。

2、定积分的换元法及分部积分法。

3、平面图形的面积计算。

12 教学难点：

1、定积分几何意义,变上限定积分。

2、广义积分的敛散性。

3、”微元法”的基本思想。

第一节

定积分的概念与性质

一、曲边梯形的面积

二、定积分的定义与几何意义

三、定积分的基本性质

四、积分中值定理

第二节

微积分基本定理

一、变上限积分与原函数存在定理

二、变上限积分的求导方法

三、牛顿——莱布尼兹公式

第三节

定积分的计算

一、第一换元积分法

二、第二换元积分法

三、分部积分法

第四节

定积分的应用

一、平面图形的面积

二、立体的体积

三、简单的经济应用问题

第五节

广义积分初步

一、无穷积分的概念与无穷积分收敛与发散的定义及其计算

二、瑕积分的概念与瑕积分收敛与发散的定义及其计算

三、广义积分1111与dxdx的敛散性判别 pp0xx

四、Γ函数的定义、性质与递推公式五

（三）教学方法与形式

13 采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

14学时。

第七章 多元函数微积分学

（一）教学目的与要求

[教学目的]

使学生了解空间直角坐标系的有关概念及多元函数的概念.理解多元函数微分理论,掌握多元函数微分的基本计算方法和在求极值方面的应用.了解二重积分的概念,性质.掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法及对特殊区域会用极坐标系去计算积分。 [基本要求]

1、了解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离。了解平面区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域等概念。

2、了解多元函数的概念；掌握二元函数的定义与表示法。

3、知道二元函数的极限与连续性的概念。

4、理解多元函数的偏导数与全微分的概念；熟练掌握求偏导数与全微分的方法；掌握求多元复合函数偏导数的方法。

5、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法。

6、了解二元函数极值与条件极值的概念；掌握用二元函数极值存在的必要条件与充分条件求二元函数极值的方法；掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数极值的方法。

7、了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法，会计算一些简单的二重积分

（二）教学内容

多元函数的概念；偏导数；多元复合函数偏导数；隐函数的求偏导数；全微分；二元函数极值与条件极值；二重积分的概念、性质、计算法及应用。

教学重点：

1、偏导数的运算。

2、复合函数的偏导数和全微分。

3、条件极值与拉格朗日乘数法。

4、二重积分定义,性质。

5、在直角坐标系及极坐标系下计算二重积分 教学难点：

1、二元函数极限的概念。

2、高阶偏导数的运算。

3、复合函数的偏导数。

4、极值应用问题的求解。

5、二重积分定义。

6、二重积分的定限

第一节

预备知识

一、空间直角坐标系、空间两点间的距离与空间曲面与曲面方程

二、平面上的区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域的概念

第二节

多元函数的概念

一、多元函数的定义

二、二元函数的定义域与几何意义

三、二元函数的极限与连续性

第三节

偏导数与全微分

一、偏导数的定义与计算方法

二、全微分的定义与计算方法

第四节

多元复合函数微分法与隐函数微分法

一、多元复合函数概念与微分法

二、隐函数微分法

第五节

高阶偏导数

一、高阶偏导数的定义

二、高阶偏导数的求法

第六节

多元函数的极值与最值

一、二元函数极值的定义

二、极值的必要条件与充分条件

三、条件极值与拉格朗日乘数法

四、多元函数最值的概念与求法

第七节

二重积分

一、曲顶柱体体积

二、二重积分的定义与基本性质

三、二重积分的计算法

四、在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

28学时。

第八章 无穷级数

（一）教学目的与要求

[教学目的]

使学生掌握关于级数的基本概念和基本理论及有关级数收敛性的理论和方法.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念,能熟练掌握简单的幂级数收敛区间的求法.[基本要求]

1、了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散、收敛级数的和等基本概念。

2、掌握几何级数与P级数敛散性判别条件；知道调和级数的敛散性。

3、掌握级数收敛的条件，以及收敛级数的基本性质。

4、掌握正项级数的比较判别法；熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法。

5、掌握交错级数敛散性的莱布尼兹判别法。

6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念；掌握绝对收敛与条件收敛的判别法。

（二）教学内容

常数项级数的概念与性质；正项级数的判别法；任意项级数的判别法；幂级数的概念；收敛半径；收敛区间。

16 教学重点：

1、正项级数收敛性的判别。

2、交错级数的判敛.任意级数绝对收敛与条件收敛的概念。

3、幂级数的收敛半径和收敛区间 教学难点：

1、对级数通项的认识并选定恰当的判敛法。

2、任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。

第一节

无穷级数的概念与性质

一、无穷级数及其一般项与部分和的概念

二、无穷级数收敛与发散的定义

三、收敛级数和的概念

四、几何级数与调和级数的收敛性

五、无穷级数收敛的必要条件

六、收敛级数的基本性质

第二节

正项级数

一、正项级数收敛的概念

二、正项级数收敛的充分必要条件

三、正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法

四、P级数的敛散性

第三节

任意项级数

一、交错级数的概念

二、交错级数敛散性的莱布尼兹判别法

三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念

四、绝对收敛与条件收敛的判别法

*第四节

广义积分的敛散性判别法

一、无穷积分与瑕积分的比较判别法与极限判别法

二、广义积分的绝对收敛性

三、Β函数的定义

四、Β函数与Γ函数的关系

*第五节

幂级数

一、函数项级数的概念

二、幂级数的概念

三、幂级数收敛半径、收敛区间、和函数的概念

四、幂级数敛散性判别法

五、幂级数收敛半径、收敛区间的求法

六、幂级数的基本性质

*第六节

函数的幂级数展开

一、泰勒公式及其余项

二、泰勒级数与麦克劳林级数

三、幂级数展开定理

四、将函数展成幂级数的方法（直接展开法、间接展开法）

五、基本初等函数的幂级数展开

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

10学时。

第九章 微分方程初步

（一）教学目的与要求

[教学目的]

使学生了解微分方程的一些基本概念,掌握一些特殊而又简单的微分方程的解法,以及一阶线性方程,二阶常系数线性方程的解法,并会解一些简单的经济应用问题.[基本要求]

1、了解微分方程的阶、解、通解、特解等概念。

2、掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。

3、掌握二阶常系数线性微分方程的解法。

4、会求解一些简单的经济应用问题。

（二）教学内容

微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；二阶常系数线性微分方程；微分方程在经济学中的应用。

教学重点：

1、微分方程的概念。

2、变量可分离的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的解法。

教学难点：

1、各种类型的微分方程的判别。

2、建立实际问题的微分方程

第一节

微分方程的基本概念

一、微分方程的定义

二、微分方程的阶、解（通解、特解）、定解条件

三、微分方程的初值问题

第二节

一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程

二、齐次微分方程

三、一阶线性微分方程

第三节

高阶微分方程

一、n阶微分方程的一般形式

二、二阶常系数线性微分方程的特征根解法

三、*几种特殊的高阶微分方程的解法

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

8学时。

第十章 差分方程初步

（一）教学目的与要求

19 [教学目的]

使学生了解差分方程的基本概念。掌握一阶，二阶常系数线性齐次差分方程的解法。会解一些特殊的一阶，二阶常系数线性非齐次差分方程。了解差分方程在经济学中的简单应用。 [基本要求]

1、了解差分与差分方程的阶、解、通解、特解等概念。

2、掌握一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解法。

3、会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解。

4、会求解一些简单的经济应用问题。

（二）教学内容

差分方程的基本概念；一阶与二阶差分方程的解法；差分方程在经济学中的应用。

教学重点：

1、差分与差分方程的概念。

2、一阶、二阶常系数线性差分方程的特解、通解。教学难点：

二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解。

第一节

差分方程的基本概念

一、差分与差分方程的概念

二、差分方程的阶、解（通解、特解）

第二节

一阶常系数线性差分方程

一、一阶齐次差分方程的通解

二、一阶非齐次差分方程的特解与通解

第三节

二阶常系数线性差分方程

一、二阶齐次差分方程的通解（特征根解法）

二、二阶非齐次差分方程的特解与通解

*第四节

n阶常系数线性差分方程

一、n阶齐次差分方程的通解（特征根解法）

二、n阶非齐次差分方程的特解与通解

20 第五节

差分方程在经济学中的简单应用

一、“筹措教育经费”模型

二、价格与库存模型

三、国民收入的稳定分析模型

（三）教学方法与形式

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

（四）教学时数

8学时。

三、考核方式

闭卷笔试。

四、教材选用

1、朱来义：《微积分 第二版》，高等教育出版社，2004年3月第2版。

21

第16篇：微积分应用论文

上海大学2013～2014学年秋季学期课程论文

课程名称： 信息化时代的数学探索与发现 课程编号：

0100L602

论文题目: 论微积分在我们生活中的应用

作者姓名: 方舟 学 号: 13121376 成 绩:

论文评语:

评阅人:

评阅日期:

注:后附课程论文的正文

浅谈微积分在生活中的应用

作者姓名:方舟

学 号: 13121376 摘要:主要关于微积分在几何，经济，物理以及我们生活方面的运用。

关键词:微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导，微分方程（3-5个数学名词）(5号宋体) 正文 （小4号宋体， 段首空两格）

前言

作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。

我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。

希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。

1．微积分在几何中的应用

微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！

1.1求平面图形的面积 (1)求平面图形的面积

由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：求曲线fx2和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。 分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。 所以该曲边梯形的面积为

f21x22313722xdx

313332(2)求旋转体的体积

(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a

ab(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(c

cd(III)由连续曲线y=f(x)( f(x)0)与直线x=a、x=b(0a

abx2y2例如：求椭圆221所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋转ab体的体积。

分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆b2yax2(axa)，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆ax2y21所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 a2b2b2vy(ax2)aab2213a2(axx)aa3a2dxb2a2aa(a2x2)dx4ab23

椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆xa2by2,(byb)，与ybx2y2轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆221所围成的图形绕y轴

ab旋转一周而成的旋转体的体积为

a2a22vy(by)dy2bbb

a2213b422(byy)babb33b2bb(b2y2)dy

(3)求平面曲线的弧长 (I)、设曲线弧由参数方程 {x(t)(t)

y(t)给出其中\'(t),\'(t)在[,]上连续，则该曲线弧的长度为s[\'(t)]2[\'(t)]2d(x)。

(Ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为rr()()，其中r\'()在[,]上连续，则该曲线弧的长度为sr2()[r()\']2d()。

x21例如：求曲线ylnx从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。

42解：y\'x122x，于是弧长微元为

ds1y\'2，x111dx1()2dx(x)dx。

22x2x所以，所求弧长为：se1111x21e(x)dx(lnx)1(e21)。 2x22

4一、在几何中的应用

(一)微分学在几何中的应用 (1)求曲线切线的斜率

由导数的几何意义可知，曲线y=( x)在点x0处的切线等于过该点切线的斜率。即f\'(x0)tana，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。

例如：求曲线yx2在点(1，1)处的切线方程和法线方程。 分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：

ky\'x12xx12，所以，所求切线的方程为y-l=2(x一1)，化解得切线方程为2x-y-1=0。又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方程为1y1(x1)，化解得法线方程为2y+x-3=0。

2(2)求函数值增量的近似值

由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。

例如：计算sin46o的近似值。

分析：令f(x)=sin(x)，则f(x)=cosx，取x0450，x10,(10180)，则由微机分的定义可

0知sin460sin(451)sin045f(45)18022\'00.7194 221802.微积分在经济学的应用

在我所查找到的关于微积分在经济学领域的应用中，我发现高等数学在经济学中运用十分基础和广泛，是学好经济学 剖析现实经济现象的基本工具。经济学与数学是密不可分息息相关的。高等数学方法在经济学中的运用增强了经济学的严密性和说理性，将经济问题转化为数学问题，用数学方法对经济学问题进行分析，将数学中的极限，导数、微分方程知识在经济中的运用。

尤其我看到在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。这个对一个企业的发展至关重要！ 1关于最值问题 例

设：生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C（0）=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求最大利润

解:总成本函数为

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000 总收益函数为R(x)=500x 总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)

在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。

2关于增长率问题 例：

设变量y是时间t的函数y = f (t)，则比值为函数f (t)在时间区间上的相对改变量；如果f (t)可微，则定义极限为函数f (t)在时间点t的瞬时增长率。 对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。 这样，关系式 （*）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用（*）式来描述。因此，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率。如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。

3.弹性函数

设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx→0

ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x) 在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。

经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。

对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)

例 设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6

η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。

除了上述三个例子之外，还有“规模报酬、货币乘数、马歇尔-勒那条件等无数的经济概念和原理是在充分运用导数、积分、全微分等各种微积分知识构建的。他们极大的丰富了经济学内涵，为政府的宏观调控提供了重要帮助

3.微积分在物理的应用

物理是我高中最喜欢的课程，在高中进行物理竞赛是学到了不少关于微积分的思想，比如在考虑物体的运动时，因为其速度在不断改变，很难求其在一点的速度，微积分中的微元的思想此刻闪现出它的光芒，把非匀速运动看成由一段一段匀速运动构成，再进行计算，省了很多的时间。

物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。

微积分在物理学中的应用相当普遍，有许多重要的物理概念 ，物理定律就是

dvdr直接以微积分的形式给出的，如速度v，加速度a，转动惯量Idmr2，

dtdtd安培定律dFIdlB，电磁感应定律N„„

dt例：用微积分的方法解决变力做功的问题

变力作功的问题是热学和力学中的常见问题。例如，质点在恒力F的作用下，

沿直线产生位移r过程中的功AFr。但对一般情况，质点沿曲线从a运动到

且质点运动过程中，作用于质点上力的大小和方向都可能不断改变，要计算Fb ，

力对质点所做的功，可将运动曲线分成许多微小的线段dr，计算出F在每一小段

上所做的元功，再对整个轨道上所有元功求和。由于dr 极小，所以每一小曲段都可看成直线段，而质点所受的力可视为恒力。这样质点所做的功为

dAFdr

变力所做的功就是全部元功的和，写成积分的形式就是：

b AFdr

a因此通过微积分的方法可以把物理问题中变化的量转化为不变的量，先求微元再求和的方法，从而求出变力在整个物理过程中做的总功，使看似复杂的问题简单化。

小结

数学学习是一种培养学生综合素质的有效手段,在教学实践中给学生树立建模的思想对学生的综合素质发展有很大的帮助,也有助于提高我们的学习积极性，因此，我们当代大学生学习高等数学的重要性就显而以见的了，我们要想在21世纪的社会有一个立足之地就需要全面的发展自己，而我们学习的高等数学又是这里面的重中重！我们只有认清当今社会的人才培养目标，深入的学习高等数学，使高等数学在我们的人生中其到应有的作用，为社会做到最大的效益!

参考文献 (5号宋体)（格式如下）

[1] 同济大学数学教研室．高等数学（第六版）【M】.北京：高等教育出版社.2007 [2] 张丽玲.导数在微观经济学中的应用【J】.河池学院学报,2007,(27).[3]百

度

文

库http://wenku.baidu.com/search?word=%CE%A2%BB%FD%B7%D6%BC%B8%BA%CE%D3%A6%D3%C3&lm=1&od=0&fr=top_home

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第17篇：微积分复习教案

第一讲 极限理论

一 基本初等函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性和图象，其中函数图像是重中之重，由函数图像可以轻易的得到函数的其它要素（P17-20） 二 求极限的各种方法

⑴当f(x)为连续函数时,x0Df,则有limf(x)f(x0)

xx0例1 计算极限limxarcsinx

x22 ⑵设m,n为非负整数,a00,b00则

0,当nma0xma1xm1am1xama0lim,当nm xbxnbxn1b01n1xanb0,当nm 例2 计算极限：⑴ lim973x1 ⑵ 3x22x3

limx2x44x116x⑶用两个重要极限求

①limsinx1 （limsinx0，limsinf(x)1）

x0xf(x)0xxf(x)x2 结论：当x0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1cosx~。

2 ②lim(11)xe （lim(1x)xe，lim(11)f(x)e）

x0xf(x)xf(x)实质：外大内小，内外互倒

例4 计算极限：⑴ lim(12x) ⑵ lim(1sinx)

x0x013x1x1 ⑷未定式的极限（

000，，，0，0，） 0 ①罗必达法则

例5 计算极限：

x0limsinxlnx lim(sinx)x lim(x0x011) sinxx②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法） 例6 计算极限：⑴ lim1x1 ⑵ lim3x2

x0x1xx1 ③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！）

22 例7 计算极限limsinxtanx

x0x2(1cosx) ⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

例8 计算极限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x0x1x2x三 连续和间断 1.连续的定义

2.间断点的定义和分类

四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。

第二讲 微分学

一 导数概念

导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0)

x0xx0xxx0左导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0) x0xx0xxx0右导数：f(x)limf(x0x)f(x0)limf(x)f(x0) x0xx0xxx0 实质：差商的极限。

例1 计算极限：⑴ limh0f(x0h)f(x0)f(x0)f(x0x) ⑵ lim

x0hx二 各种求导法

⑴导数公式表（P94）和四则运算法则（P85）

例2设f(x)4x3xx45logaxsin2，求f(x)；

例3设f(x)1sinxarctanxcscx，求f(x)，f()；

4x ⑵复合函数的求导（P90）

例4 求下列函数的导数

①f(x)arctane2x ②f(x)etanx ⑶隐函数求导（方法：把y当作x的函数，两边对x求导）

例5 求下列隐函数的导数

①xyey0 ②2y3x5lny ⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导）

例6 求下列函数的导数

① yxsinxx ②y2x1 (x1)(32x) ⑸由参数方程确定的函数的求导

x(t) 重点：由参数方程确定的函数yf(x)的导数为dy(t)；

dx(t)y(t)xln(1t) 例7 设，求dy；

dxytarctant三 高阶导数

例8 设y2arctanx，求y； 例9 设yexxn，求y(n)； 四 微分

重点：函数yf(x)的微分是dyf(x)dx

例10 设y3x2e2x，求dy； 例11设y2xey，求dy； 五 单调性和极值

重点：⑴由f(x)的符号可以判断出f(x)的单调性；

⑵求f(x)的极值方法：①求出f(x)，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；②判断在可疑点两侧附近f(x)的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。

例12 求函数yxln(x1)的单调区间和极值点。

例13 证明：当0x六 最值问题

求函数f(x)在区间[a,b]上的最值之步骤：①求出f(x)，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值f(a)，f(b)；

③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

例14 求下列函数在指定区间上的最值。

⑴f(x)x42x25，[2,3] ⑵yx1，[0,4]

x1七 凹凸性和拐点

重点：

⑴凹凸性概念：设f(x)在区间(a,b)内连续，若对x1,x2(a,b)（x1x2），有

2时，恒有xsinx。

f(x1x2f(x1)f(x2)xx2f(x1)f(x2))) （f(1）

2222则称f(x)在(a,b)内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。 ⑵由f(x)的符号可以判断出f(x)的凹凸性。f(x)为正号则f(x)是凹函数，f(x)为负号则f(x)是凸函数。

⑵判断f(x)的拐点之方法：①求出f(x)，令其为零，得到f(x)等于0的点和f(x)不存在的点；②判断在这些点两侧附近f(x)的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。

例15 求下列函数的凹凸区间和拐点。

⑴yx2x1 ⑵y3x

例16 证明：当x1x2时，必有ax1x2243ax1ax2（a0）。

2第三讲 积分学

一 不定积分与原函数的概念与性质

⑴原函数：若F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。

⑵不定积分：f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，即

f(x)dxF(x)c，这里F(x)f(x)

⑶不定积分的性质（P174,共2个）

特别强调：F(x)dxF(x)c；dF(x)F(x)c（切记常数c不可丢） 二 定积分的概念与性质

⑴定积分概念：

nbaf(x)dxlimf(i)xi

0i1 ⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可积的必要条件：f(x)在[a,b]上有界； 充分条件：f(x)在[a,b]上连续；

⑷定积分的几何意义：设f(x)0，x[a,b]，则f(x)dx表示由xa，xb，y0ab及yf(x)围成的曲边梯形的面积。

⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。

例：⑥若对x[a,b]，有mf(x)M，则有m(ba) ⑦若f(x)在[a,b]上连续，则存在[a,b]，使得满足 另：若f(x)是奇函数，则三 由变上限积分确定的函数

⑴定义：设f(t)在[a,b]上连续，则称函数

babf(x)dxM(ba)。 f(x)dxf()(ba)。

aaaf(x)dx0。

(x)f(t)dt，axb

ax 为变上限积分确定的函数。

⑵求导问题：(x)dx[f(t)dt]f(x) dxax2 例1 求下列函数的导数f(x)。

①f(x)xln4tedt ②f(x)x42t01t2dt

⑶与罗必达法则结合的综合题

例2 求下列极限： ①

tlim0x02sintdtx4sin3tdt ②lim

tedt0x0x3t0x2四 求积分的各种方法

⑴直接积分法（两个积分表P174和P185）

cos2x1xx2 例3 计算积分：① ②dx dx2sinxcosxx(1x) ⑵第一换元法（凑微分法）

重点：f(x)dxg[(x)](x)dxg[(x)]d(x)

令u(x)整理f(x) g(u)duG(u)cG[(x)]c

常用凑微分公式：xndx1d(xn1)，1dx2d(x)，1dxd(lnx)，sinxdxd(cosx)

n1x积分变量还原xcosxdxd(sinx)，sec2xdxd(tanx)，csc2xdxd(cotx)，secxtanxdxd(secx)，

cscxcotxdxd(cscx)。

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例4 计算积分：

①tanxdx ② ⑶第二换元法

重点：20sincos2d ③2x41lnxdx ④(1xlnx)4dx x24x8f(x)dxf[(t)](t)dx dx(t)dt令x(t) g(t)duG(t)cG[1(x)]c 整理f[(t)](t)积分变量还原 常用换元方法：

①被积函数中若有naxb，令tnaxb；若有kx和lx，令xt，这里m是k，

ml的最小公倍数。

②被积函数中若有a2x2，令xasint； ③被积函数中若有a2x2，令xatant； ④被积函数中若有x2a2，令xasect；

注意：在定积分的换元法中，要相应调整积分上下限。

例5 计算积分：⑴ a0axdx ⑵ 2241dx

1x例6 设f(x)是定义于实数集上的连续函数，证明 ⑴baf(x)dxbcacf(xc)dx， ⑵ baf(x)dxba2bf(abx)dx

⑷分部积分法 uvdxuvuvdx

关键：适当选择u，v。选择的技巧有①若被积函数是幂函数乘易积函数，令u为易积函数，v为幂函数。②若被积函数是幂函数乘不易积函数，令u为幂函数，v为不易积函数。

例7 计算积分：arctanxdx

⑸有理分式函数的积分

步骤：①若是假分式，先用分式除法把假分式化为多项式与真分式的和，多项式积分非常容易，下面重点考虑真分式P(x)的积分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 Q(x)b0(xa)(xb)(x2pxq)(x2rxs)

这里p24q0，……，r4s0。 ③把P(x)化为如下形式

Q(x)A A1A2P(x)Q(x)(xa)(xa)1(xa)2 

BB2 B1 1(xb)(xb)(xb) MxNM1xN1M2xN2 2212(xpxq)(xpxq)(xpxq)  RxSR1xS1R2xS2 22u12(xrxs)(xrxs)(xrxs)这里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si为待定系数，通过对上式进行通分，令等式两边的分子相等，即可解得这些待定系数。

④于是对P(x)的积分就转化成对上面等式的右端积分了，然后再对上式右端积分。

Q(x)x32x2dx

⑵ 例8 计算积分：⑴ 2x2x10五 定积分的分段积分问题

例9 计算积分：⑴4x3x25x6dx

0x3dx。 ⑵sin2xdx

0六 定积分的应用：重点是再直角坐标系下求平面图形的面积。

⑴由曲线yf(x)，yg(x)[f(x)g(x)]及直线xa，xb[ab]围成的图形的面积为：S[f(x)g(x)]dx。

ab⑵由曲线x(y)，x(y)[(y)(y)]及直线ya，yb[ab]围成的图形的面积为：S[(y)(y)]dy。

ab例10 求由下列曲线围成的图形的面积。 ⑴ylnx，y1x，y2； ⑵x0，x2，ysinx，ycosx；

七 广义积分

沿着定积分的概念的两个限制条件（积分区间有限和被积函数在积分区间上有界）进行推广，就得到两种类型的广义积分。

⑴第一类广义积分

①定义： abf(x)dxlimf(x)dx

babf(x)dxlimf(x)dx

aa0b f(x)dxf(x)dx0f(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dx

aab00b ②计算方法：先计算定积分，在取极限。

⑵第二类广义积分（暇积分）

①定义：f(x)dxlimababb0abf(x)dx（a是暇点） f(x)dx（b是暇点）

bc f(x)dxlimbcaa0a f(x)dxf(x)dxf(x)dxlimc0af(x)dxlimb0c f(x)dx（c是暇点） ②计算方法：先计算定积分，在取极限。

例11 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，收敛于何值。

① 1`1dx ②5x211dx 5(x1)

第18篇：《微积分》课程教学大纲

《微积分》课程教学大纲

课程类型: 公共基础课 课程代码: 0140026 课程学时: 75 学分: 5 适用专业:经济学专业（金融方向）

开课时间:一 年级

一 学期 开课单位: 基础部数学教研室 大纲执笔人: 兰星 大纲审定人:

王培颖

一、课程性质、任务

课程性质：微积分已经被广泛应用于各种经济活动之中，并且与其他经济学分支互相渗透或结合。微积分即是掌握现代化科学知识必不可少的基础知识和基本工具，也是后继课程《概率论与数理统计》《计量经济学》等的基础课程，所经，微积分已经成为经济学专业学生必修的一门专业基础课。

教学目的与任务：首先要使学生掌握经济学专业所必须的微积分知识和方法，迸一步培养学生正确、熟练的计算能力，同时还要通过微积分课程的教学，对学生进行数学思想和方法的教育训练，进一步培养学生正确、深刻的思维能力，及独立的分析解决实际问题的能力。

备注：本教学大纲以赵树嫄等主编的《微积分》为编写标准。

二、课程教学内容

（一）教学内容、目标与学时分配

教学内容 理论教学部分

1、函数（第一章） 1．1集合 1．2实数集 1．3函数关系 1．4分段函数

1．5建立函数关系的例题 1．6函数的几种简单性质 1．7反函数与复合函数 1．8函数的几种简单性质

2、极限与连续（第二章）

2．1数列极限 2．2函数极限 2．3变量极限 2．4无穷大与无穷小 2．5极限的运算法则 2．6两个重要极限

教学目标

了解 理解 理解 了解 掌握 了解 了解 掌握

理解 理解 理解 理解 掌握 了解

学时分配 75

6 1/2 1 1/2 1/2 1/2 1 1 1 17

2 2 2 1 3 3 2．7利用等价无穷小量代换求极限 2．8函数的连续性

3、导数与微分 （第三章） 3．1引出导数概念的例题 3．2导数的概念

3．3导数的基本公式与运算法则 3．4高阶导数 3．5微分

4、中值定理与导数应用（第四章） 4．1中值定理 4．2洛必达法则 4．3函数的增减性 4．4函数的极值

4．5最大值与最小值\\极值的应用问题 4．6曲线的拐点 4．7函数图形的作法

4．8变化率及相对变化率在经济学中的应用——边际分析与弹性分析介绍

5、不定积分（第五章） 5．1不定积分的概念 5．2不定积分的性质 5．3不定积分的性质 5．4换元积分法 5．5分部积分法 5．6综合杂题

6、定积分（第六章） 6．1引出定积分概念 6．2定积分的定义 6．3定积分的基本性质 6．4微积分基本定理 6．5定积分的换元积分法 6．6定积分的分部积分法 6．7定积分的应用 6．8广义积分

7、多元函数（第八章） 7．1空间解析几何简介 7．2多元函数的概念

掌握 2 了解 2

9

理解 1 理解 2 掌握 2 了解 2 了解 2

13 理解 2 掌握 2 掌握 2 掌握 1 了解 1 了解 2 了解 1 了解 2

6 掌握 1 掌握 1/2 掌握 1/2 掌握 2 掌握 1 掌握 1

12 了解 1 理解 1 掌握 1 掌握 1 掌握 2 掌握 1 掌握 4 了解 1

12 了解 1 了解

1 7．3二元函数的极限与连续 7．4偏导数与全微分

7．5复合函数的微分法与隐函数的微分法 7．6二元函数的极值 7．7二重积分 总学时：75学时

（二）教学重点和难点

了解 理解 掌握 了解 了解

1 2 2 1 4

1、重点：函数关系、极限概念、微积分、定积分、不定积分、多元函数

2、难点：偏导函数全微分、二重积分、广义积分、多元函数。

三、课程各教学环节的基本要求

（一）课堂讲授：课堂讲授与课外练习相结合、学生自学与讨论相结合、理论推导与直观演示相结合；为增加课堂的信息容量，及帮助学生理解微积分的基本概念、知识、方法，鼓励使用多媒体工具授课，对适当的内容可进行模型演示。作业与思考题由任课教师在每次课后，根据授课内容及需要作具体布置，一般每课时应有3－5题的作业量。

（二）考试成绩评定总则

本课程采取期末集中闭卷考试与平时成绩相结合的方法进行考核。

总评成绩=期终成绩（80%）+平时成绩（20%）

1、平时成绩评定

平时成绩由作业成绩和考勤成绩生成。期中作业成绩由批改作业老师根据学生完成作业的情况给定作业成绩；而考勤成绩由上课教师根据考勤情况给出。

2、期终考核评定

期终考核实行闭卷考试，期末考试闭卷笔试，根据教学大纲统一命题，考试时间为120分钟，卷面分值100分。

3、考试题型与比例

单项选择：25% ；填空题：20% ；计算题45% ；综合题10%.

四、本课程与其他课程的联系

先修课程：初等数学 后续课程：《概率论与数理统计》《计量经济学》等

五、建议教材及教学参考书

选用教材

赵树嫄主编.微积分（第三版）.中国人民大学出版社 教学参考书

1.同济大学应用数学系.高等数学（上、下）.北京：高等教育出版社.2.吴赣昌.微积分（经济类）.北京： 中国人民大学出版社.

第19篇：微积分(下)要点

2012-2013（2）《微积分（下）》重要知识点

第7章

向量的数量积、向量积；

平面方程，直线方程

第8章

多元复合函数偏导数（具体函数要求到二阶、抽象函数要求到一阶）； 全微分；

多元函数的极值与最值——拉格朗日乘数法

第9章

在直角坐标下计算二重积分；

在极坐标下计算二重积分

第10章

级数基本概念与性质；

常数项级数：正项级数、交错级数收敛性判别；

幂级数：收敛半径、收敛区间、收敛域

第11章

一阶微分方程：可分离变量微分方程、一阶线性微分方程；

二阶微分方程：线性微分方程解的结构、二阶常系数线性齐次微分方程、

简单的二阶常系数线性非齐次微分方程

第12章

一阶常系数线性齐次、非齐次(f(t)为多项式函数)差分方程

Mathematics程序

第20篇：高职微积分教案

第一节

函数

引入

1．引例

例

1圆的面积与它的半径之间存在着相依关系，这种关系由公式

AR2(0R)

给定，当半径R在区间0,内任意取定一个数值时，由上式就可以确定圆面积A的相应数值。

例2 某物体以10m/s的速度作匀速直线运动，则该物体走过的路程S和时间t有如下关系：

S10t(0t)

对变量t和S，当t在0,内每取一定值t0，S就有唯一确定的值S010t0与之对应。

抽去上面两个例子中所考虑的量的实际意义，它们都表达了两个变量之间的相依关系，这种相依关系给出了一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量之间的这种对应关系就是函数概念的实质。

新授：

一、函数的概念

1.函数的定义

定义

1设D为一个非空实数集合，若存在确定的对应法则f，使得对于数集D中的任意一个数x，按照法则f都有唯一确定的实数y与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作

yf(x) 这里x称为自变量，y称为因变量或函数。f是函数符号，它表示y与x的对应规则，D叫做函数的定义域。

当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数yf(x)在点x0处的函数值，记作f(x0)。当x取遍D中的各个数值时，对应的函数值全体组成的数集

Wyyf(x),xD

称为函数的值域。

定义域D与对应法则f唯一确定函数yf(x)，故定义域与对应法则叫做函数的两要素。如果函数的两个要素相同，那么它们就是相同的函数，否则，就是不同的函数。

函数yf(x)的对应法则f也可以用,h,g,F等表示，相应的函数就记作x,hx,gx,Fx。

2．函数的定义域

通常求函数的定义域应注意以下几点： （1）当函数是多项式时，定义域为, （2）分式函数的分母不能为零

（3）偶次根式的被开方式必须大于等于零 （4）对数函数的真数必须大于零

（5）反正弦函数与反余弦函数的定义域为1,1

（6）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集。 例3 判断下列函数是否是相同的函数

x

（2）yx 与 yx2 xx解（1）函数y1的定义域为(,)，而函数y的定义域为(,0)(0,)，

x（1）y1 与 y故不是同一函数。

（2）两个函数的定义域与对应法则都相同，故是同一函数。 例

4求下列函数的定义域 (1) f(x)1

(2) f(x)x3ln(x2) 25x2x(3) ylg(4x3)arcsin(2x1) 解

(1) 在分式12中，分母不能为零，所以5x2x0，解得25x2x222x且x0。即定义域为,∪,0∪0,。

555（2） 该函数的定义域应为满足不等式组

x30 x20的x值的全体，解此不等式组，得x>2，即定义域为2,。

（3） 该函数的定义域应为满足不等式组

4x30 12x11的x值的全体，解此不等式组，得3.分段函数

在实际问题中，有时会遇到一个函数在定义域内的不同范围内，用不同的解析式表示的情况，这样的函数称为分段函数。

例5 设符号函数 33x1，即定义域为,1。 441,x0sgnxf(x)0,x0

1,x0求f(2),f(0),f(4)及函数的定义域、值域（如图1-1）。

解

因为20,,00,4,0，所以，f(2)1,f(0)0,f(4)1，f(x)的定义域为,，值域为1,0,1。

分段函数在整个定义域上是一个函数而不是几个函数。分段函数的图形在每个区间段

图1-1 上与相应解析式函数的图形相同；求分段函数的数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中进行计算。

4．反函数

定义

2设函数yf(x)的定义域为D，值域为M。对于任意数值yM，在D中都有唯一确定的值x，使x(y)，则得到一个以y为自变量，x为因变量的新的函数，这个新的函数叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1 (y)，其定义域为M，值域为D。由于人们习惯用x表示自变量，而用y表示因变量，因此我们将函数yf(x)的反函数xf1(y)用yf1(x)表示。yf(x)与yf1(x)的图像关于直线yx对称。如图1-2。

求反函数的过程可以分为两步：第一步从yf(x)解出xf母x和y。反函数一定要指明其定义域。

二、函数的几种特性

1．有界性

若存在正数M，使得在区间I上恒有f(x)M，则称f(x)在I上有界，否则称f(x)在I上无界。

例如，函数y2．单调性

1(y)；第二步交换字1在区间0,1内无界，但在区间1,2内有界。 x若对于区间I内任意两点x1,x2，当x1x2时有f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调增加，区间I称为单调增区间；若f(x1)f(x2)，则称f(x)在I上单调减少，区间I称为单调减区间。单调增区间和单调减区间统称为单调区间。在单调增区间内，函数图像随着自变量x的增大而上升，在单调减区间内，函数的图像随着自变量x的增大而下降。

例如，yx2在区间0,内是单调增加的，在区间,0内是单调减少的，在区间,函数yx2不是单调函数。

3．奇偶性

设I为关于原点对称的区间，若对于任意的xI，都有f(x)f(x)，则f(x)叫做偶函数；若f(x)f(x)，则f(x)叫做奇函数。奇函数的图像关于原点对称，如图1-3；偶函数的图像关于y轴对称，如图1-4。若f(x)既不是奇函数也不是偶函数，那么f(x)叫做非奇非偶函数。

例如，yx在区间,内是奇函数，yx1在区间,内是偶函数。34ysinxcosx在区间,是非奇非偶函数。

4．周期性

若存在不为零的数T，使得对于定义域I内的任意的xI，都有xTI，且f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，其中T叫做函数的周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期。

例如，ysinx,ycosx都是以2为周期的周期函数。

三、基本初等函数

幂函数

yx（为常数）

指数函数

yax（a0,a1,a为常数） 对数函数

ylogax（a0,a1,a为常数）

三角函数

ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,

ycscx

反三角函数

yarcsix,nyarccox,syarctax,nyarcoxt

以上五类函数统称为基本初等函数，常用的基本初等函数的定义域、值域、图像和性质见附表2。

四、复合函数

初等函数

在函数ysin2x中，我们不难看出，这个函数值不是直接由自变量x来确定的，而是通过2x来确定的，如果用u表示2x，那么函数ysin2x就可以表示成ysinu，而u2x，这也就说明了y与x的函数关系是通过变量u来确定的。

定义3

如果y是u的函数，而u又是x的函数，yf(u),u(x)，通过u将y表示成x的函数，那么y叫做x的复合函数，即

yf[(x)]

其中u叫做中间变量。

注意

函数(x)的值域应该取在函数yf(u)的定义域内。

例6

试求由函数yu,usinx构成的复合函数

33解

将usinx代入yu中，即为所求的复合函数ysinx

2注意

并非任意两个函数都能构成复合函数。例如yarcsinu与ux2便不能3复合成一个函数，因为u的值域为2,，不包含在yarcsinu的定义域1,1内，因而不能复合。

有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成。例如，由函数

2y2u,usinv,vx21可以复合成函数y2sinx1，其中u和v都是中间变量。

例7

指出下列复合函数的结构： （1）y(2x1)； （2）y解 （1）yu9,u2x1

（2）yu,ulogav,vcosx4

u（3）y10usinv,v9loga(cosx4)； （3）y10xsin1x；

x1 x对复合函数进行分解时，每个层次都应是基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算式；当分解到基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算时，就不再分解了。

定义4

由基本初等函数和常数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的，并能用一个解析式表示的函数，叫做初等函数。例如y1x,ysinx,y等都是初等函数。初等函数是最常见的函数，它是微积分学研究的主要对象。

23loga3x小结：

1． 函数定义

2．函数性质

3．初等函数

4．复合函数

作业：P9，5 板书设计：

（一）引例

函数

（二）定义 函数定义 函数性质

（三）初等函数

初等函数 复合函数

（四）小结

《微积分教学工作总结.doc》

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