相似三角形
一、相似三角形的定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
二、相似三角形的判定方法(一)
判定方法（1）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定方法（2）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定方法（3）：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似。
除了上述三种判定方法外，还有以下三种判定方法：
（1）定义法：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似（这种方法一般不常用）
（2）平行于于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。
（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形原三角形相似。(此知识常用，但用时需要证明)
三、判定相似三角形的思路
1、有一对等角，找 :①、另一对等角
②、等角的两边对应成比例
2、有两边对应成比例，找：①、夹角相等
②、第三边也成比例
3、直角三角形，找一对锐角相等
4、等腰三角 形，找：①、顶角相等
②、一对底角相等
③、底和腰成比例
四、在做题过程中，某些图像出现的频率会比较高，所以我们要熟知这些常见的图形，并学会从习题中基本图形很快的寻找和发现相似：
1、平行线型：
A E D
A
E D
B B C
（ 1 ）
（ 2 ）
（a）如图1，“A” 型：即公共角的对边平行
(b) 如图2，“X”型：对顶角的对边平行
C
2、斜交型：指公共角的对边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对的边延长线相交，其中再有一角相等，或其公共角（或对顶角）的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似，基本图形常见如下：
A
A
A
C E E D
D B
B
B C C D
( 3 )
( 4 )
( 5 )
a、如图3，若 ∠D=∠B 或 ∠ACB=∠AED ,或AB:AD=AC:AE， 则△ABC∽△ADE；
b、如图4，若∠ACD=∠B 或 ∠ADC=∠ACB ，或AC:AB=AD:AC, 则△ACD ∽ △ABC；
C、如图5，若∠AED=∠C 或 ∠ADE=∠B，或 AD:AB=AE:AC, 则△ADE ∽ △ABC；
D A
O
B
C
( 6 )
d、如图6，若∠A=∠D , 或 ∠B=∠C ,或OA:OB=OD:OC,则△AOB ∽ △DOC;
五、相似三角形面积之比等于相似比的平方
例题、习题
1、P是ΔABC中AB边上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截ΔABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的条件的直线最多有（
）条
A
2条
B
3条
C
4条
D 5条
A
2、如图，已知D为△ABC内一点， 3 E为△ABC外一点，且∠1＝∠2，
D ∠3 ＝∠4。 1
求证 ： △ABC ∽ △DBE
B 4 C 2
E
3、如图，菱形ABCD的边长为3，延长AB到E，使EB＝2AB，连接EC并延长交AD延长线于F，如果△EBC∽△EAF，试求AF的长
F D
C
A
B
E
4、如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE=梯形BCDE的周长。
2BC=2cm，△ADE的周长为10cm，求3A
D E
BC
5、如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分，且DE∥FG∥BC。求DE：FG：BC。
A
S1 DES2 FGS3
BC
三、训练题：
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD分成两部分面积的比是1：2，EF是中位线，则被EF分成的两部分面积之比为SAEFD：SBCFE=（
）
A、3：4 B、4：5 C：5：7 D、7：9
2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD:S△ACD=1：3，则S△AOD:S△BOC等于（
）
A、1：6 B、1：3
C、1：4
D、1：6
3、如图，DE∥BC，DE把△ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（
）
A、1：2 B、1：4
C、2：2 D、2：2
4、如图，将△ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（
）
A、1：2：3 B、2：3：4 C、1：3：5 D、3：5：7
5、如图，在△ABC中，∠CBA=90°，BD⊥AC于D，则下面关系式中错误的是（
）
A、AB2=AD×AC B、BD2=AD×DC C、AB2=AC2－BC2 D、AB2=AC×DC
6、如图，在△ABC中，AD⊥BC，PQMN为正方形，且顶点在△ABC各边上，BC=60cm，AD=40cm，则正方形边长为（
）
A、12cm
B、16cm
C、20cm
D、24cm
7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_______________。
8、△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm，则周长为_______________。
9、在△ABC中，点D、E分别为AB、AC上的点，DE∥AC，AB：DB=2：1，F为AC上任一点，△DEF面积为22，则S△ABC=_________________。
10、如图，D、E分别是AB、AC上的点，
ADAE3，△ABC的角平分线AH交ACAB5DE于点F，过点F作BC的平行线，分别交AB、AC于点G、K。已知BC=20cm，求GK。
A
D
KG FE
CBH
11、点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，过M作MD⊥AB交AC于D，交BC的延长线于E。求证：MC是MD、ME的比例中项。
AMDECB
