湖南黎国之数学教育文存
数学教学的趣味比方
一、引言
大多数学生都认为数学课是枯燥的，这主要是缘于数学所具有的抽象性。但是也有部分学生认为数学课是有吸引力的，这是因为他们真正弄懂了所学习的内容，抽象也就不再成为枯燥的理由。可见，要想使数学课不枯燥，首先就要设法让学生弄懂他所学的内容。
打比方就是使学生迅速弄懂学习内容的一种有效方式。
记得小时候看到过一个关于什么是新闻的比方：人被狗咬了，不是新闻，但是如果狗被人咬了呢，瞧，这就是新闻！你看，一个多么简单而又神奇的比方，就把新闻的特点讲明白了。
但是在课堂上临时构造一个贴切的比方，还真不是一件容易的事，因为这是一件创造性的工作。教师应该经常收集一些好的比方作为知识储备，更应该考虑学习构造比方的一些技术，善妙喻然后为师。
怎样构造比方？就是寻找类似而且熟悉、形象的东西代替陌生、抽象的东西。
二、实例
1、补集的比方 张
三、李四和王五三个人在一起讨论如何用一段长度一定的篱笆围成一个面积最大的场地。张三说，围成一个正方形是最好的，因为周长一定时，正方形是所以长方形中面积最大的，这可以证明；李四说，不对，应该围成一个圆形，因 为在周长一定时，圆形才是任何图形中面积最大的，这可以证明；王五说，那么看我的——我随意围出一个封闭的图形，这个图形的外面就是我所围成的场地，它面积最大，这不必证明。
张
三、李四皆叹服。
这里，王五取胜的法宝就是用到了补集的知识。 类似的例子还有——
动物园里，由于管理员的疏忽，一头狮子从笼子里跑了出来，游客惊呼着四散逃窜，管理员则急急忙忙去找麻醉枪。这时，只见游客张三不慌不忙地钻进狮笼里，把自己反锁在里面。
这个例子可以用来比方找补集，也可以用来说明什么是逆向思维。
2、等比数列的错位法求和的比方
等比数列的错位法求和的方法，是令人拍案叫绝的。但是如果错位法仅仅限于等比数列的求和，则未免太浪费人类的智慧。下面的例子也使用了错位法，值得欣赏——
某高级会所要高薪招聘一名优秀服务员，经过几轮拼杀，现在有数人进入了最后一个环节——面试。题目是：在圆桌会议开始前，服务员给每个座位上的杯子里沏茶。前面几个应试者都是这样做的：揭开一个杯子的盖子，放进茶叶，倒入开水，盖上这个杯子的盖子，再沏下一杯茶，动作都很娴熟，姿势也很优雅。
最后一名应试者开始了，她是这样做的：揭开一个杯子的盖子，放进茶叶，倒入开水，却盖上下一个杯子的盖子，再沏下一杯茶时，依然如此，直到把最后
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一杯茶倒入开水，盖上第一个杯子的盖子。在大家的惊叹声中，她被当场录取了。
事实上，上面的这种错位法叫做轮换错位法，在我国古代就已经有人成功地运用过，田忌赛马就是一个经典的例子。
现在考试中常用的错位监考法也运用了这个原理。
3、逆向思维的比方
逆向思维是很重要的思维方法，为了使学生懂得它的意义，我们可以打个比方——巧走迷宫：如下图，你要从起点进入，从A、B、C、D、E中的某一个出口出来，怎样设计路线？如果你真的按照题目的暗示去走，老半天都出不来，但是你从出口进入，哈哈，很快就找到路线了——这就是逆向思维！同样地，跳高跳远运动员也是先从起跳点往回跑，从而简单确定助跑起跑点。
4、同分母分数的加法的比方
老师将分母比方成妈妈，分子比方成小孩，跟小朋友说妈妈只能有一个，所以是不会变的，所以不能相加，小孩的数量是可以改变，所以要相加，所以：252545，而不是5225410。
5、不等式的传递性的比方
不等式的传递性是：设a,b,c都是实数，如果ab,bc，那么ac。在学习这个性质时，总有学生搞不明白。那么我们不妨朗诵一首诗歌：“天下文章数三江，三江文章数我乡，我乡文章数吾弟，吾弟请我改文章”。你看，到底是谁的文章最好呢？
6、解题方法的比方
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高一新编教材（试验修订本）第一章有一道复习参考题：ax22x10 至少有一负实根的充要条件是（ ）
A．0
7、移项变号的比方
在学习解一元一次方程的过程中，学生老是忘记移项变号这个规则，有教师打了个这样的比方—— 把等于号看做两个国家的边境线，那么“跨越国界要叛变”，你试试看，保准再不会有问题了。
8、不等式恒成立的比方
根据不等式恒成立的条件求参数的取值范围的问题，要用到下列命题：若af(x)恒成立，则必须且只需af(x)minaf(x)max；若af(x)恒成立，则必须且只需。
这个命题有点抽象，教师可以打一个“比身高”的比方——我要比你们中的任何人都高的话，我必须且只需比你们中最高的人都高即可。
9、极限概念的比方
“极限”概念真抽象，每次教下来不少学生都如堕五里雾中，有一个教师决定换种讲法试试：“我觉得**城楼上的国徽画得不太标准（台下一双双好奇的目光），不过，也不可能画得标准，想想为什么？”（台下活跃），“你想，国徽上不是有个**城楼吗？城楼上也有个国徽，但这个国徽上还是有个**城楼„„永远也难以穷尽！”
10、数学归纳法的比方
数学归纳法是人类智慧的一个结晶，用这种方法来证明一些与自然数有关的命题非常方便。其基本原理是：欲证明某命题f(n)对一切指定的自然数n都成立，我们可以分两步来进行：先验证当nn0（n0是使命题f(n)成立的最小自然数）时命题成立，再假设当nkkN*,kn0时命题成立，在这个基础上推导出nk1时仍然命题成立，这样就可以得出这个命题f(n)对一切指定的自然数n都成立。
在教学中，学生往往听得云里雾里，我们如果构造一个实例比方一下，效果就会好得多，我们可以用多米诺骨牌来比方——现在的新教材里面已经是这样处
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理的了——
要使多米诺骨牌游戏成功，必须且只需满足两个条件：①第一张骨牌能够顺利倒下；②前一张骨牌倒下都能够导致相邻的下一张骨牌倒下，两个条件缺一不可。
11、负负得正的比方
袁隆平院士曾说:“我最喜欢外语、地理、化学,最不喜欢数学,因为在学正负数的时候,我搞不清为什么负负得正,就去问老师,老师说:‘你记住就是’.学几何时对一个定理有疑义去问,还是一样的回答.我由此得出结论:数学不讲道理,于是不再理会,学数学兴趣一直不大,成绩不好.”
到底应该怎样让学生理解负负得正？要从中学生的知识水平出发来讲，关键是要紧扣“负号”的意义来讲，“负号”的意义就是“相反数”，例如6的意义就是6的相反数，6的意义就是6的相反数，为6，可以这样列式——
231231231666。
还可以结合生活经验或者生活口语来比方——
好人有好报是好事（正正得正）， 好人有坏报是坏事（正负得负）， 坏人有好报是坏事（负正得负）， 坏人有坏报是好事（负负得正）
12、一个反例即可否定命题的比方
在教学真值表时，有一个故事比方，说明命题A与B中只要一个命题不成立，命题A且B就为假命题。说的是一个功底不够的文学青年，屡次投稿都被退回，他很怀疑是编辑不正派，采稿时开了后门，使他的大作总是不能发表。于是他眉头一皱，计上心来：他再次投稿时，故意把他自己认为稿子中最精彩的部分用浆糊轻轻地粘了起来。不久，他的稿子又退回来了，他一看，他轻轻粘住的部分编辑都没有打开，这回他认为终于抓住了编辑开后门的把柄，写信给编辑部提出质疑，说你们连我的稿子都没有看完就退回来了，我抗议！编辑回信只有一句话：我要证明一只皮蛋是臭的，难道我非得把整个皮蛋都吃完吗？！
13、函数的概念的比方
函数的概念，学生理解起来有点迷糊，通过“新说文解字”可以化解：函字的中间有个“了”字，代表函数值y，四点拼在一起，形似x，代表自变量x，x,y交织在一起装在半包围结构里，这个半包围结构代表自变量的取值范围，即定义域。你看，一个中文字就把函数概念的内涵全部概括进来了！咱们的祖先仓颉就是伟大！难怪他造字成功以后会惊天地泣鬼神呢！
14、边际成本的比方
边际成本是个极限概念：增加一单位的产量(Output)随即而产生的成本增加量即称为边际成本。由定义得知边际成本等于总成本（TC）的变化量(△TC)除以对应的产量上的变化量(△Q)，如右式。随着产量( Output)的增加，边际成本会先减少，后增加。
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应该说，这个概念是相当抽象的，不要说文科生，就是理科生理解起来也颇不容易。但是在湖南农村广为流传着的一些俗语却能够很好的解释这个概念，例如： “两头牛是看，三头牛也是看”就是讲在原来基础上增加一点工作量，并不需要增加多少人手（成本）的意思；又说“添客不杀鸡”，也是一样的意思。
15、概率论的经典比方
斯坦福大学商学院的库珀教授总是善于给枯燥的数学课加进乐趣。一天下午，库珀教授让同学们把自己的生日写在小纸片上，然后把所有的小纸片都折起来放在讲台上。他拿出一张5美元的钞票：“我用5美元打赌，你们中至少有两个人同月同日生。有人敢跟我赌吗？”
“我赌！”有三个男同学马上举起手来。另外又有七八个同学也掏出5美元扔在桌子上。
有的同学暗想：一年365天，我们班只有50名同学，同一天生日的可能性也太小了。库珀这不是白送别人钱吗？
库珀教授打开第一张纸，读出上面写的日期，马上就有三个同学举起手表示是他们的生日。打赌的同学嘟哝了几句：“怎么会这么巧？”周围的同学都大笑起来。
库珀又一次用他那明晰的语言把同学们带入了数学王国里：
“解决这个问题最好是用反证法，即先证明50个人没有2个人同一天生日的概率非常之小。
“我们可以把365天看作是365个房间，现在要给50个人按照生日安排住房，要保证没有两个人住在同一间房。（也就是没有两个人同一天生日）对于第一个人来说，他选择房间的概率是364365365365，也就是1，因为所有的房间都是空的，他都可以入住。第一个人住进去后，第2个人要安排住房，这时他选择的概率就是了，因为已经有一间房住了人，只能住另外364间。接下来的第3个人，
363365选择的概率就更小一些，为，因为只剩下363间房可以住。
36536536436536336536550136
5“按这种算法，只有当每一人住的房间都不同时，才能满足没有两个人同住一间房的要求。50个人住房的概率依次为
，
，
，„„，。
“将这些分数相乘，用计算器计算出这个式子等于0.03，也就是说没有两个人同住一房的概率是3％。在我们这个问题中，表示你们50个人中没有两个同一天生日的概率只有3％，那么至少有两人同一天生日的概率就是97％，我赢的把握足足有九成以上。”
说完，库珀扔下粉笔，得意洋洋地收缴他的战利品——十几张5美元钞票。
“各位，你们来商学院就是为了将来能够赚大钱，数学就是商学院传授给你们的一个制胜法宝。”
这个例子先设机关，引人入彀，然后再揭开谜底，用数学逻辑与运算加以证明。所不同的，是库珀教授用形象化的比方手法，把365天比作365个房间，把要50个人不在同一天生日，比作要50个人不住同一间房，这样一一对应作比，把比较抽象的数学变成了具体可感的事物，使同学们容易听清楚他的推导过程，从而完全理解他的讲解。即使是不懂概率论的人，也可以明白他的推理，在大脑
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中对概率论留下一个大概的印记。这就是库珀教授深入浅出的讲课艺术所达到的神奇效果。当然，这个例子用来进行课题的引入，也是非常好的。
在数学教学中，需要打比方的地方很多，例如方程x22x10有两个相等的实数根x1x21，到底算一个根还是两个根？学生认为既然是相等的，那就只能算一个根，你可以打个比方，反问“双胞胎算几个人？”；运用数型结合的思想解题你可以说成是“看图说话”，等等。
三、结语
当然，比方终究只是比方，它是意义只在于帮助理解，不能代替严密的数学论证，但是，它的重要性确实不可小看。
德国一位学者有过一个精辟的比方：将15克盐放在你的面前，无论如何你也难以下咽。但当将15克盐放入一碗美味可口的汤中，你在享用佳肴时，就将15克盐全部吸收了。情境之于知识，犹如汤之于盐。盐溶于汤中，才能被吸收；知识需要溶于情境之中，才能显示出活力和美感。
数学本来是个风情万种的美丽女子，她有简洁美、奇异美、对称美、统一美、纯净美，等等，但是我们平时教给学生的只是其本质——定义、定理、公式，而这在学生看来仿佛是透过X光看美女，看到的是令人恐怖的森森白骨，因此教学时我们要通过运用打比方等多种方法恢复这个美女的本来面目，使学生学得愉悦。
作者姓名：湖南宁乡一中 黎国之
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