第八讲 2.3平面的投影
（三）
课
题：
1、平面的表示法
2、平面对于一个投影面的投影特性
3、各种位置平面的投影特性
课堂类型：讲授
教学目的：
1、介绍平面的两种表示法
2、讲解三种投影面平行面和三种投影面垂直面的投影特性
教学要求：
1、熟悉平面在投影图上的表示法
2、理解并掌握各种位置平面的投影特性，并能根据投影特性判别平面对投影面的相对位置
教学重点：各种位置平面的投影特性， 教
具：自制的三投影面体系模型；
挂图：“投影面平行面的投影特性”、“投影面垂直面的投影特性” 教学方法：平面投影的实质，就是平面形各顶点的同面投影依次连线。
各种位置平面的投影，讲解重点放在投影特性和有无实形的判断上；对于每一种位置平面形的投影，重点讲解其中的一种类型，其他类型可由学生自己分析解决。
教学时数：2学时 教学过程：
一、复习旧课
1、复习两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特性和判别方法。
2、结合作业讲解直角投影定理的应用。
二、引入新课题
平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面形。另外，还有一些由直线或曲线围成的平面形。平面投影的实质，就是求平面形轮廓上的一系列的点的投影（对于多边形而言则是其顶点），然后将各点的同面投影依次连线。
三、教学内容
（一）各种位置平面的投影特性
根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。
1、投影面垂直面
垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于V面的称为正垂面；垂直于H面的称为铅垂面；垂直于W面的称为侧垂面。平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W面的倾角。
举例说明：铅垂面的投影特性 强调：（1）两个投影均为类似形；
（2）一个投影积聚为直线，并反映β、γ角。 总结投影面平行线的投影特性：两面一线。 要求学生必须掌握表2－6中的图例。
对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。
讲解例题（例2－9）
如图2－11（a）所示，四边形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B点的V面投影b′，且于H面的倾角α= 45°，求作该平面的V面和W面投影。
（a）题目
（b）解答 图2－11 求作四边形平面ABCD的投影
2、投影面平行面
平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于V面的称为正平面；平行于H面的称为水平面；平行于W面的称为侧平面；
举例说明：正平面的投影特性 强调：（1）两个投影积聚为直线；
（2）一个投影反映实形。
总结投影面平行线的投影特性：两线一面。 要求学生必须掌握表2－7中的图例。
对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。
3、一般位置平面
与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。
例如平面△ABC与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图2－12所示。
一般位置平面的投影特征可归纳为：一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，
而都为类似形。
图2－12 一般位置平面
对于一般位置平面的辨认：如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。
4、平面内的点和直线
1、平面上的点
点在平面上的几何条件是：点在平面内的一直线上，则该点必在平面上。因此在平面上取点，必须先在平面上取一直线，然后再在该直线上取点。这是在平面的投影图上确定点所在位置的依据。
举例：如图2－13所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，点S取自直线AB，所以点S必在平面P上。
（a） （b）
图2－13
平面上的点
2、平面上的直线
直线在平面上的几何条件是：
（1）若一直线通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上。
（2）若一直线通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。
举例之一：如图2－14所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，分别在直线AB、AC上取点E、F，连接EF，则直线EF为平面P上的直线。作图方法见图2－14（b）所示。
（a）
（b）
2-14 两相交直线
举例之二：如图2－15所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，在直线AC上取点E，过点E作直线MN∥AB，则直线MN为平面P上的直线。作图方法见图2－44（b）所示。
（a） （b）
图2－15
平面上的直线
3、讲解例题（例2－10）
如图2－16（a）所示，试判断点K和点M是否属于△ABC所确定的平面。
（a）题目
（b）解答
图2－16 判断点是否属于平面
（二）平面上的投影面平行线
1、定义
属于平面且又平行于一个投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线一方面要符合平行线的投影特性，另一方面又要符合直线在平面上的条件。
2、举例：如图2－17所示，过A点在平面内要作一水平线AD，可过a′ 作a′ d′ ∥OX轴，再求出它的水平投影ad，a′ d′ 和ad即为△ABC上一水平线AD的两面投影。如过C点在平面内要作一正平线CE，可过c作c e∥OX轴，再求出它的正面投影c′ e′，c′ e′ 和ce即为△ABC上一正平线CE的两面投影。
图2－17平面上的投影面平行线
3、讲解例题（例2－11）
△ABC平面如图2－18（a）所示，要求在△ABC平面上取一点K ，使K点在A点之下15mm ，在A点之前10mm ，试求出K点的两面投影。
（a）题目
（b）解答
图2－18
平面上取点
四、小结
1、平面的两种表示法。
2、三种位置平面（包括七种类型）的投影特性，尤其注意：有无实形的判断。
3、总结例题，说明在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法
五、布置作业
五、布置作业
习题集2－3（1）、（4）、（5）
