高一必修一函数单调性教学设计

发布时间：2020-03-02 23:45:31 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

激发兴趣，自主探索，模式构建 ---函数的单调性教学设计

陕西省三原县北城中学慕建斌

一、教材分析

本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修一）》（北师大版），第二章《函数》的第三节“函数的单调性”（第一课时）.函数的单调性是函数最重要的性质，从初中开始学习函数就已经予以渗透，到高一刚开始学习函数，首先学习的函数性质就是函数单调性，因为对任何一个函数都必须研究函数的单调性，而且函数单调性是解决函数问题、方程问题、不等式问题最有力的工具，同时也是函数与导数研究的最重要工具.本节课是以具体函数一次函数、二次函数、反比例函数等为基础，抽象归纳出函数单调性的定义，并为高三利用导数研究函数的单调性奠定基础.本节课的设计基于以下考虑：一是如何把握这个过渡阶段的学习，在初中阶段对函数的增减性有了初步的感性认知，但在高中阶段就得升华为定量分析；二是如何处理好用数学符号语言来刻画函数单调性的概念；三是函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其他数学知识的重要基础，也是常用方法之一.因此，本节课主要培养学生将图像语言转化为符号语言的能力、逻辑推理能力和数形结合思想的渗透.

二、学情分析

本节课是在高一第一学期进行的，初中阶段已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，并认识了是函数单调性的语言描述，本节课重点是将这种语言描述如何转化为数学符号语言.但是，学生对知识的归纳、概括能力差，主动迁移能力较弱，数形结合的意识与思维还需要进一步培养.

三、教学目标

结合本节课在教材中的地位及学情分析，可将本节课的教学目标定位如下：

1、通过实例，使学生理解单调性的概念，并能依据函数单调性的定义证明简单函数的单调性；

2、培养学生发现问题与解决问题的能力，通过观察—猜想—推理—证明的思想方法，进一步渗透数学思想；

3、与实际结合，引发学生对数学的欲望，激发学生的动手能力.依据本节课的教学目标可将本节课的重点和难点定为：重点：函数单调性概念的形成、及其实质的理解.难点：如何将文字语言转化为数学语言符号.

四、教学设计

（一）复习旧知识，引出新问题

问题1 初中已经学习过一次函数、二次函数等，请同学们画出一次函数yx2，二次函数yx的图像，观察图像说明图像从左到右是如何变化的？

2意图通过函数图象，让学生直观认识函数是递增的、递减的图像特征.追问由描点法画函数图象的过程可知，由于自变量的变化才引起函数值的变化，函数图像从左到右是上升的或者下降的，反映函数值随着自变量的变化怎样变化？

意图通过图像直观感知函数值y随着自变量x的增大而增大（或减小）的过程.追问函数yx2中，函数值y随自变量x是如何变化的？意图在区间(,0)内，y随x的增大而增大，在区间(0,+)内，y随x的增大而减小，体现单调性是对于区间而言的.问题2 函数值y随自变量x的增大而增大（或减小）只是语言描述，而数学符号语言是最简洁、最清楚地反映事物的本质属性，如何用准确的数学符号来反映这一现象？

意图提出新问题，引出本节课的主题

（二）归纳探索，形成概念

问题3 首先，在x轴上，从左到右自变量在增大，如何用数学符号反映？

意图自变量x取两个值x

1、x2，当x1x2时，表示自变量在增大.问题4 若自变量x在x

1、x2处的函数值分别为f(x1)、f(x2)，那么自变量在增大，引起函数值在增大（或减小），如何用数学符号表示？

意图当x1x2时，则f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）

问题5 在函数yx2中，自变量x从2增大到1，而相应的函数值则从-4增大到-1，能否说明函数yx在(2,1)是递增的？

意图进一步说明函数的增减性是相对于区间而言的，同时也为自变量在区间内取值是任意的做铺垫.函数yx在区间(,220)上是递增的，在区间(0,)上也是递减的，但在其定义域内不能说是递增的或递减的.追问自变量取两个具体的值时，函数值在增大（或减小），不能反映函数是递增的（或递减的），那么，如果自变量取三个、四个、„„甚至无数个值，函数值都是递增的（或递减的），是不是就能说明函数是递增的（或递减的）？

意图自变量和因变量的区别就是取无数个值，函数都是递增的（或递减的），都不能说明函数是递增的（或递减的），比如对于函数f(x)x而言，若当

210.8……20.3时，有0f(1)f(0.8)…f(0.3)f(0.1)，但是函数f(x)x在区间(1,0.1)上不是递增的.问题6 由上述问题及追问可知，自变量取两个值、三个值、四个值、甚至无数个值，函数值都在增大，却不能说明函数是递增的，那么自变量x应该怎样取值，才能保证满足上述条件时，函数f(x)是递增的（或递减的）？

意图自变量的取值必须是区间内的任意两个数.这就类似于直线在垂直于平面内的无数条直线，都不能说明直线垂直于这个平面，只有直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线就一定垂直于这个平面.这也是为后续学习这些内容做铺垫.问题7 结合上述问题的认识，你认为函数是递增的（或者递减的），需要抓住哪些关键因素？

意图递增（或递减）是针对定义域内的某个区间；自变量x的取值必须是任意两个数x

1、x2；当x1x2，则f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)）.问题8 函数是递增的、递减的应该如何定义更准确？

意图

在学生对增函数、减函数定义中的几个关键因素的必要性认识清楚后，自然得到增函数、减函数的定义，而且在今后利用其定义在解决问题时，对其关键因素也就认识到位、应用到位了.

（三）实例应用，加深理解.

问题9 函数yf(x)的图像如图所示，请写出该函数的增区间和减区间.

意图

由于函数的单调性是针对区间而言的，因此先通过函数图像，让学生直观认识函数的单调区间，这也是函数图像和性质应用中的一个基本问题看，已知函数图像认识函数的单调区间.同时也为已知函数的单调性描绘函数图像做铺垫.

问题10 说出函数f(x)=意图

函数f(x)=1的单调区间，并用单调性的定义加以证明.x1在整个定义域内不是减函数，进一步说明单调性是针对区间而言x的，同时熟悉函数单调性的定义，培养学生的逻辑推理能力，这也是进入高中阶段第一次进行代数推理.

变式练习：证明函数f(x)=x+1在区间(0,1)上是减函数，在区间 (1，＋∞)上是增x函数．

意图：进一步加强单调性的定义，特别是在作差变形时，只有化为两个因式之乘积，才容易判断其值的正负，这也是利用函数单调性定义证明的关键.

(四)归纳总结，提升层次

问题10 函数单调性定义中关键因素是什么？利用函数单调性定义证明时，作差之后的变形需要注意什么？

意图对函数单调性定义中的关键因素的进一步熟悉，同时再利用函数单调性定义证明时，作差变形是关键.培养学生自己的知识体系，从开始就能有一定的构建能力.(五)作业布置，不断强化

习题2—3 A组

2、

4、5.B组

1、2.

五、教学设计反思

函数单调性是函数中最重要的性质，对于这节课的理解与掌握情况如何，将直接影响着对函数的进一步学习，同时，函数单调性又是学生第一次接触代数推理问题，所以，无论从哪个角度说，这节课都是非常关键，也非常重要的.基于以上考虑，为了让学生能够很好的理解本节课，采用问题发现式教学法，通过设计环环相扣的问题，让学生在分析问题、解决问题的过程中，对函数单调性定义及其关键要素的必要性的理解.如自变量的增大如何用数学符号表示，自变量增大引起函数值增大又如何用数学符号表示，对自变量取值为什么是“任意的”，单调性是相对区间而言的，等等，通过逐层深入的分析、讨论，让学生认识到知识的产生、发展过程，从而领会知识的实质.在练习巩固问题的设计上，先通过直观感知，让学生认识单调区间，在对其进行证明，特别是在利用函数单调性证明时，先是通过简单问题，让学生熟悉代数推理的思路，再逐渐增加试题难度，证明函数f(x)=x+1的单调性，主要是在单调性定义证明时，作差变形是x关键，只有化为因式之乘积，才容易判断其正负，这是对作差比较大小思路方法的复习，更重要的是体现数学解题方法的连贯性.