函数的单调性
北京景山学校 许云尧 【教学目标】
1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．
【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】
一、创设情境，引入课题 课前布置任务：
(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．
二、归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数变化时，函数值有什么变化规律？
的图象，并且观察自变量
预案：(1)函数
在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数
在整个定义域内 y随x的增大而减小．
(2)函数在
上 y随x的增大而增大，在
上y随x的增大而减小．
(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数
在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识
问题1：下图是函数和减函数吗？
的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数
学生的困难是难以确定分界点的确切位置．
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明
在
为增函数？
22预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1
(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3) 任取，所以
在
,因为为增函数．
在
为增函数．
在
,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义． (1)板书定义 (2)巩固概念 判断题：
① ②若函数 ③若函数数．
在区间
和(2,3)上均为增函数，则函数
．
．
在区间(1,3)上为增函④因为函数在区间上是减函数.
上都是减函数，所以在
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.
三、掌握证法，适当延展
例 证明函数
在上是增函数．
1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．
证明：任取
,
设元
求差
变形
,
断号
∴ ∴
即
∴函数
2．归纳解题步骤
在上是增函数．
定论
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
练习：证明函数
问题：要证明函数
在区间
上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对
在
上是增函数．
任意的 ，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．
四、归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1．小结
(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论． (3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业
书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究： 上是增函数． (1) 证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且
有．
(2) 研究函数
的单调性，并结合描点法画出函数的草图．
《函数的单调性》教学设计说明
一、教学内容的分析
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．
对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．
二、教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．
三、教学方法和教学手段的选择
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施： （1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入． （2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．
（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．
