实际问题与反比例函数 目标认知 学习目标
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
重点
掌握从实际问题中建构反比例函数模型．
难点
从实际问题中寻找变量之间的关系．
知识要点梳理
知识点一：反比例函数的应用
在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．
知识点二：反比例函数在应用时的注意事项
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转
化为数学问题．
2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．
3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．
知识点三：综合性题目的类型
1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.
2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．
规律方法指导
本节课研究了反比例函数的概念、图象和性质．这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，即学生能深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际这一认识论的方法．
经典例题透析 经典例题透析
类型一：反比例函数与一次函数相结合
1．如图1所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
思路点拨: 求一次函数解析式必须有两个点的坐标．由于M、N都在反比例函数图象上，
，从而求出M点的坐标．再由待定系数法求出一由反比例函数定义得 1 次函数解析式．根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．
解析：（1）∵M、N在反比例函数上
设一次函数解析式为
则
，解得
故一次函数的解析式为图1
（2）由图象可知，当
时，反比例函数的值大于一次函数的值．
总结升华：（1）综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．（2）能通过观察图像得到所求信息是解决这类问题的关键。
举一反三：
【变式】已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A(2,1)。
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系。
【答案】(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，
所以
解得：
＝2×1＝2，1＝
，
＝1．
×2－1，
所以，反比例函数的解析式为： ；一次函数解析式为：．
(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．
把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，
所以，点A′在反比例函数图象上．
把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，
所以，点A′不在一次函数图象上．
2 类型二：反比例函数与三角形或四边形面积问题
2.如图2所示，A为反比例函数图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B．若△AOB的面积为3，则反比例函数的解析式是什么？
思路点拨：因为点A在反比例函数第二象限的图象上，所以，由三角形面积公式可求得k，从而求出反比例函数解析式．
解析：∵函数图象分布在第
二、四象限
∴k
设A点坐标为（x，y），则
∴反比例函数的解析式为.
总结升华：反比例函数
的图象有这样一个重要性质：
如图3，P（x，y）是反比例函数的图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，连接OP，则可得矩形、三角形等基本图形的面积如下：
（1）
（2）
举一反三：
【变式1】如图4，反比例函数
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积。
与一次函数的图象相交于A、B两点。
【答案】（1）解方程组
得
所以A、B两点的坐标为A（-2，4），B（4，-2）
（2）因为
与y轴交点D的坐标是（0，2），
所以，
所以
【变式2】 如图5，
和的图象与的图象分别交于第一象限
4 内的两点A，C，过A，C分别向x轴作垂线，垂足分别为B，D，若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为有什么关系？
【答案】：设点A的坐标为（
在
， ），则
，求
与
所以
同理可得
所以
。
。
类型三：反比例函数与实际问题相结合
面积3.一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N，回答下列问题：
（1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
（4）画出相应的函数图象．
思路点拨: 根据两个变量之间关系确定两个变量之间的函数关系式，首先要判断它属于哪一类函数，然后根据实际意义并注意自变量的取值范围，进而作出正确的函数的图象．
解析：随着木板面积
变小（大），压强p（Pa）将变大（小）．
（1），所以p是S的反比例函数，符合反比例函数的定义．
（2），所以面积为时，压强是．
（3）若压强，解得，故木板面积至少要.
（4）函数图象如下图6所示：
总结升华：解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识和物理知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.举一反三：
【变式1】要求取消市场上使用杆秤的呼声越来越高．原因在于，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小秤砣，使砣变轻，从而欺骗顾客．
（1）如图
7、8所示，对于同一物体，哪个用了较轻的秤砣？
（2）在称同一物体时，秤砣到支点的距离y与所用秤砣质量x之间满足_____________关系．
（3）当砣变轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？
图7
图8
分析：设重物的质量为G（定值），重物的受力点到支点的距离为（定值），图
7、图8中、分别表示秤砣的受力点到支点的距离，根据杠杆原理得：物体的质量（G）与阻
或
）与秤砣质量（x）的乘积． 力臂（）的乘积等于秤砣的受力点到支点的距离（
解：（1）∵
∴
．
故图7中的秤砣较轻
（2）
∴y与x满足反比例函数关系
（3）符合反比例函数“在第一象限内，y随x的增大而减小”的性质．
【变式2】某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗，如右下图.
(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?
(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?
解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，，
漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．
所以，S·d＝1000，
S＝．
,中，得
(2)根据题意把S＝100cm2代入S＝
100＝．
d＝30(cm)．
所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm．
学习成果测评 基础达标
1．如果双曲线
2．己知反比例函数____________．
经过点（2，－1），那么m=_____________.
(x＞0)，y随x 的增大而增大，则m的取值范围是
3．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与(k≠0)的图象大致是（ ）.
4．如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图象大致是（ ）. 7
A
B
C
D
5．如图1，在直角坐标系中，直线与轴交于点C，AB⊥轴，垂足为B，且
（1）求
的值；（2）若△ABC的面积是
与双曲线.
在第一象限交于点A，
，求线段AB的长度？
6．已知一次函数的图象与双曲线交于点(，)，且过点(，)，
（1）求该一次函数的解析式；
（2）描出函数草图，根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.
能力提升
1．已知：（的大小关系 ，）和（，）是双曲线上两点，当＜＜0时，与
是_____________.
2．给出下列函数：(1)y=2x; (2)y=-2x+1; (3)y=(x＞0) (4)y=(x＜0)其中，y随x的增大而减小
的函数是（ ）.
A.（1），（2）
B.（1），（3）
C.(2)，(4)
D.（2），（3）
3．设双曲线y=与直线y=-x+1相交于点A、B，O 为坐标原点，则∠AOB是（ ）.
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.锐角或钝角
4．在直角坐标系中，直线y=x与函数y=
(x＞0)的图象相交于点A，设点A的坐标为
8 (x，y)，那么长为
x,宽为y的矩形面积和周长分别为( ).
A．4，8
B．8，1
2C．4，6
D．8,6
5.在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如
图1所示．
(1) 求p与S之间的函数关系式；
(2) 求当S＝0.5 m2时物体承受的压强p．
6．如图2，A为双曲线上一点，过A作AC⊥x轴，垂足为C，且．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）若点(-1, 的大小． ),(-3,
)在双曲线上，试比较
、
图
1图2
7.如图3，已知一次函数的图象与反比例函数
，
的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是
求：（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积． 综合探究
1.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容
积V时，气体的密度也随之改变．与V在一定范围内满足
象如图1所示，则该气体的质量m为（ ）.
A.1.4kg
B.5kg
C.6.4kg
D.7kg
2.反比例函数
是（ ）.
，当
，它的图
时，y随x的增大而增大，则m的值
A.
B.小于的实数
C.
D.1
3.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．
(1)甲、乙两地相距多少千米?
(2)如果汽车把速度提高到v(千米／时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化?
(3)写出t与v之间的函数关系式；
(4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?
(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间? 答案与解析 基础达标
1．–2（提示：考察反比例函数的定义）
2．m＜1（提示：考察反比例函数的基本性质）
3．D（提示：分k＞0,k＜0进行讨论）
4．B （提示：应用物理学的知识：U=I×R）
5．(1)2（提示：因为A点在反比例函数的图像上所以三角形的面积= m值的一半，所以m=2）
(2)1+ （提示：借助△AOC的面积求值）
6．(1)y=–x+1（提示：先求m的值，再求一次函数的解析式）
(2)（图略） x＜–1或0＜x＜2
（提示：由题意得，
，即
，则
或
.）
能力提升
1．＜ (提示：本题反比例函数的解析式为，k=-5＜0,基本性质是：在各自象限内y随x的
增大而增大)
2．D（提示：综合考察集中函数图像的性质）
3．D （提示：k＞0时交点在第一象限，夹角为锐角；k＜0时交点在
二、四象限，夹 10 角为钝角）
4．A （提示：根据图像和解析式先求出A点的坐标，再求周长和面积）
5.解：（1）设所求函数解析式为p=k/s,把（0.25,1000）代入解析式，
得1000=k/0.25, 解得k=250
∴所求函数解析式为p=250/s（s＞0）
（2）当s=0.
5时，p=500(Pa)
6.分析：本题意在考查反比例函数解析式的求法以及利用反比例函数的性质解题．注意本题虽然求不出点A的坐标，但由△AOC的面积可求出k的值．
解：(1)设所求函数解析式为y=k/x, A点坐标为(x,y)
∴OC=x,AC=y
∵=OC·AC=xy=2 即 xy=4
∴ k=xy=4
∴ 所求的函数解析式为y=4/x
(2)∵k=4＞0，所以在每个象限内y随 x的增大而减小．
∵-1＞-3，∴y1＜ y2
7.分析：本题意在考查函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的的关系以及平面直角坐标系中几何图形面积的求法，要注意的是一次函数解析式的关键是求出A、B两点的坐标，而A、B两点又在双曲线上，因此它们的坐标满足反比例函数解析式；在第(2)小题中，知道A、B两点的坐标就可知道它们分别到x轴、y轴的距离．
解：(1)当x=-2时，代入得y=4
当y=-2时，x=4
∴A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(4，-2)．
将它们分别代入y=kx+b得：
∴所求直线AB的解析式为y=-x+2
(2)设直线AB与y轴交于点C，则C点坐标为(0，2)．
∴OC=2
=×2×∣-2∣+ ×2×4=6 综合探究
1.D（提示：由题意知，当V=5时，
2.C(提示：由题意，得
,当
，故，故选D．)
，故时，y随x的增大而增大，
，因此舍去．故，选C．)
3.本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解．
解：(1)50×6＝300(千米)；
(2)t将减小；
(3)t＝；
(4)由题意可知≤5，∴v≥60(千米／时)；
(5)t＝＝3.75（小时）. 12
