数学典型题型
一、和差问题
【含义】已知两数的和与差，求这两数。 【数量关系】
大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2 例1：已知两数和是10，差是2，求这两数。
大数：（10+2）÷2=6 小数：（10-2）÷2=4 答：这两数分别是6和4。
例2：有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克？ 解题思路：甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多32-30=2千克，且甲是大数，丙是小数，由此可解：
32-30=2（千克）
甲：（22+2）÷2=12（千克） 丙：（22-2）÷2=10（千克） 乙：32-12=20（千克）
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。 例3：甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？
解题思路：“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是14 X 2+3=31，由此可解：
甲：（97+14 X 2+3）÷2=64（筐） 乙：97-64=33（筐）
答:甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
二、和倍问题
【含义】已知两数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求这两数。 【数量关系】
小数=总和÷（几倍+1） 大数=总和-小数
例1：果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？
杏树：248÷（3+1）=62（棵） 桃树：62 X 3=186（棵）
答：杏树是62棵，桃树是186棵。
例2：甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？ 解题思路：每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28-24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这是乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52+32）就相当于（2+1）倍，那么，几天后甲站的车辆数为： （52+32）÷（2+1）=28（辆） 天数：（52-28）÷（28-24）=6（天） 答：6天后乙站车辆数是甲站的2倍。
例3：甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
解题思路：乙丙两数都与甲数有关，因此把甲数作为1倍量。因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变成甲数的3倍；这时（170+4-6）就相当于（1+2+3）倍。那么：
甲数：（170+4-6）÷（1+2+3）=28 乙数：28X2-4=52 丙数：28X3+6=90 答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。
三、和比问题
【含义】已知整体，求部分。
例：甲乙丙三数和为27，甲：乙：丙=2:3:4，求甲乙丙三数。 【口诀】
家要众人合，分家有原则。 分母比数和，分子自己的。 和乘以比例，就是该得的。
分母比数和，即分母为：2+3+4=9 分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9,3/9,4/9。 和乘以比例，则甲为27X2/9=6 ，乙为27X3/9=9 ，丙为27X4/9=12
四、差倍问题（差比问题）
【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求这两个数各是多少。 【数量关系】
小数=两个数的差÷（几倍-1） 大数=小数X 几倍
【口诀】
我的比你多，倍数是因果。 分子实际差，分母倍数差。
商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。
例1：甲数比乙数大12，甲：乙=7:4，求两数。 先求一倍的量，12÷（7-4）=4 所以 甲数为：4 X 7=28 乙数为：4 X 4=16 例2：果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？
杏树：124÷（3-1）=62（棵） 桃树：62 X 3=186（棵）
答：杏树是62棵，桃树是186棵。
例3：商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
解题思路：如果把上月盈利作为1倍量，则（30-12）万元就相当于上月盈利的（2-1）倍，因此：
上月盈利：（30-12）÷（2-1）=18（万元） 本月盈利：18+30=48（万元）
答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4：粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？
解题思路：由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138-94）。把几天后剩下的小麦看着1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138-94）÷（3-1）倍，因此：
剩下的小麦数量：（138-94）÷（3-1）=22（吨） 运出的小麦数量：94-22=72（吨） 运粮的天数：72÷9=8（天）
答：8天后剩下的玉米是小麦的3倍。
五、倍比问题
【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题是先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数。 【数量关系】
倍数=总量÷一个数量 另一总量=另一数量X倍数 例：100千克油菜可以榨油40千克，现在有油菜3700千克，可以榨油多少？
3700÷100=37（倍） 40X37=1480（千克） 答：可以榨油1480千克。
六、相遇问题
【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。 【数量关系】
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 总路程=（甲速+乙速）X相遇时间
例1：南京到上海的水路长392千米，同时从两港开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行驶28千米，从上海开出的船每小时行驶21千米，经过几小时两船相遇？
392÷（28+21）=8（小时） 答：经过8小时两船相遇。
例2：小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
例3：甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
七、追及问题
【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点不同时出发），作同向运动，在后面的行进速度要快一些，在前面的行进速度要慢一些，在一定时间内，后面的物体追上前面的。 【数量关系】
追及时间=追及路程÷（快速-慢速） 追及路程=（快速-慢速）X追及时间
例1：好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
解：劣马先走12天能走多少千米？75X12=900（千米）
好几天能追上劣马？
900÷（120-75）=20（天）
答：好马20天能追上劣马。
例2：小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米。求小亮的速度是每秒多少米。
解：小明第一次追上小亮时比小亮多跑了一圈，即200米，此时小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑了500米所用的时间。又知小明200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是：
（500-200）÷［40×（500÷200）］=3（米） 答：小亮的速度是每秒3米。
例3：我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在16点从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在22点接到命令，以每小时30千米的速度从乙地开始追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几小时可以追上敌人？
解:敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知
追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）
＝220÷20＝11（小时）
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4：一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距离两站中点16千米处相遇。求甲乙两站的距离。
解: 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时） 所以两站间的距离为 （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式 （48＋40）×［16×2÷（48－40）］ ＝352（千米） 答：甲乙两站的距离是352千米。
例5：兄妹二人同时由家上学，哥哥没分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家里学校有多远？
例6：孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮一开始就从家跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。
八、植树问题
【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，求第三个量。 【数量关系】
线性植树 棵数=距离÷棵距+1 环形植树 棵数=距离÷棵距
面积植树 棵数=面积÷（棵距X行距）
【口诀】
植树多少棵，要问路如何？ 直的加上1，圆的是结果。
例1：在一条长为120米的路上植树，间距为4米，植树多少棵？ 路是直的，因而植树为：120÷4+1=31（棵）
例2：在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少棵？
路是圆的，因而植树为：120÷4=30（棵）
九、年龄问题
【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是两人的年龄倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例1：母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？
解：（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？
37－7＝30（岁） （2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）
列成综合算式
（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）
答：三年后母亲的年龄是女儿的4倍。
例2：3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年各多少岁？
例3：甲对乙说，“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你讲61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？
十、行船问题
【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】
（顺水速度+逆水速度）÷2=船速
（顺水速度-逆水速度）÷2=水速 顺水速度=船速X2-逆水速度=逆水速度+水速X2 逆水速度=船速X2-顺水速度=顺水速度-水速X2 例1：一只船顺水行驶320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行驶这段路程需用几小时？
解：由条件知 顺水速度=船速+水速=320÷8，而水速为每小时15千米，所以船速为 320÷8-15=25（千米） 船的逆水速度为 25-15=10（千米）
船逆水行驶这段路程需用 320÷10=32（小时） 答：这只船逆水行驶这段路程需用32小时。
例2：甲船逆水行驶360千米需要18小时，返回原地需要10小时，乙船逆水行驶同样一段距离需要15小时，返回原地需要多少时间？
例3：一架飞机飞行在两个城市之间，飞机速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞行几小时到达？
十一、列车问题
【含义】这是与列车行驶有关的问题，解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】
火车过桥：过桥时间=（桥长+车长）÷车速
火车追击：追击时间=（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速-乙车速） 火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速+乙车速） 例1：一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？ 解：火车3分钟行驶的路程，就是桥长与车长之和。
900X3=2700（米） 2700-2400=300（米） 答：这列火车长300米。
例2：一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒的时间，大桥的长度是多少米？
例3：一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需多少时间？
十二、时钟问题
【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60°等。时间问题可与追击问题想类比。
【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。 通常按追击问题来对待，也可按差倍问题来计算。 例1：从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针与分针正好重合？ 解：钟面的一周为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格，时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走（1-1/12）=11/12。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格，所以分针追上时针的时间为：20÷（1-1/12）≈22（分） 答：再经过22分钟时针与分针正好重合。 例2：四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？
解：钟面一周有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针前或后两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5X4）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5X4+15）格。再根据一分钟分针比时针多走（1-1/12）格就可以求二针成直角的时间。
四、鸡兔同笼问题
例：鸡兔同笼，有头36，有脚120，求鸡兔数。 【口诀】
假设全是鸡，假设全是兔。 多了几只脚，少了几只足？ 除以脚的差，便是鸡兔数。
求兔时，假设全是鸡，则兔子数=（120-36X2）÷（4-2）=24（只） 求鸡时，假设全是兔，则鸡数=（36X4-120）÷（4-2）=12（只）
五、工程问题
例：一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。甲乙同时做两天后，由乙单独做，几天完成？ 【口诀】
工程总量设为1,1除以时间就是工作效率。
单独做时工作效率就是自己的，一起做时工作效率是众人的效率和。 1减去已经做的便是没有做的，没有做的除以工作效率就是结果。
[1-（1/6+1/4）X2] ÷（1/6）=1（天）
七、盈亏问题 【口诀】
全盈全亏，大的减去小的；一盈一亏，盈亏加在一起。 除以分配的差，结果就是分配的东西或者是人。 例1：小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个，求有多少小朋友？多少桃子？ 一盈一亏，则为：
（9+7）÷（10-8）=8（人） 8X10-9=71（个）
例2：士兵背子弹，每人45发则多680发，每人50发则多200发，多少士兵？多少子弹？ 全盈问题，则大的减去小的：
（680-200）÷（50-45）=96（人） 96X50+200=5000（发）
例3：学生发书，每人10本则差90本，每人8本则差8本，多少学生？多少书？
全盈问题，则大的减去小的：
（90-8）÷（10-8）=41（人） 41X10-90=320（本）
八、余数问题
例：时钟现在表示的时间是18点整，分针旋转1990圈后是几点？ 【口诀】
余数有（N-1）个，最小的是1，最大的是（N-1）。周期性变化时，不要看商，只看余数。
分析：分针旋转1圈是1小时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。1990÷24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22圈，分针向前旋转22圈相当于时针向前走22个小时，时针向前走22小时，也相当于时针向后走24-22=2个小时，即相当于时针向后拨了2小时。
即：18-2=16（点）
