高考数学基础知识总结：第15章_复数（推荐）

发布时间：2020-03-03 00:32:04 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

高中数学第十五章复数

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、

除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

§15.复数知识要点

1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.

⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.

⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2，

(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2.⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.

其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.

由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.

⑵曲线方程的复数形式： ①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.②z1z2z1z2z1z2.

左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.

3.共轭复数的性质：

zzz1z2z1z2

zz2a，zz2bi（za + bi）zz|z|2|z|2

z1z2z1z2z1z2z1z2

z1z2z1（z20）zn(z)n z2

注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

4 ⑴①复数的乘方：znzzz...z(nN) 

②对任何z，z1,z2C及m,nN有