平抛 圆周计算题
一．选择题（共5小题） 1．（2011•高州市校级模拟）如图所示，小球用细绳悬挂于O点，在O点正下方有一固定的钉子C，把小球拉到水平位置后无初速释放，当细线转到竖直位置时有一定大小的速度，与钉子C相碰的前后瞬间（
）
C．A球的角速度等于B球的角速度 D．A球的角速度大于B球的角速度
5．（2009•巢湖一模）如图所示，A、B分别为竖直光滑圆轨道的最低点和最高点．已知小球通过A点的速度
m/s（取），则小球通过B点的速度不可能是（
）
A．小球的线速度变大 B．小球的向心加速度不变
C．小球的向心加速度突然增大 D．绳中张力突然增大
2．（2006•济南模拟）如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是（
）
A．4m/s B．m/s C．2m/s D．1.8m/s
二．解答题（共7小题） 6．（2015•上海一模）如图所示，一可视为质点的物体质量为m=1kg，在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点．已知圆弧半径为R=1.0m，对应圆心角为θ=106°，平台与AB连线的高度差为h=0.8m．（重力加速度g=10m/s，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求： （1）物体平抛的初速度；
（2）物体运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力．
A．若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零 B．若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零
C．若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力可能为零
D．若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q点受到细杆的作用力为推力
3．（2008•浙江）如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运（
）
A．球A的角速度一定大于球B的角速度 B．球A的线速度一定大于球B的线速度 C．球A的运动周期一定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力
4．（2011•广东校级二模）如图所示，两个内壁光滑、半径不同的半圆轨道固定于地面，一个小球先后在与球心在同一水平高度的A、B两点由静止开始下滑，通过轨道最低点时（
）
7．（2012•海南）如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度大小为g．求： （1）小球从在AB段运动的加速度的大小； （2）小球从D点运动到A点所用的时间．
A．A球对轨道的压力等于B球对轨道的压力 B．A球对轨道的压力小于B球对轨道的压力
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（1）物块做平抛运动的初速度大小v0； （2）物块与转台间的动摩擦因数μ．
8．（2011•崇川区校级模拟）如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ=30°，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球（可视为质点），小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动．试分析： （1）小球以角速度ω=（2）小球以角速度ω=转动时，绳子的拉力和圆锥体对小球的支持力； 转动时，绳子的拉力和圆锥体对小球的支持力．
11．（2015•广州）如图所示，用长为L的细绳把质量为m的小球系于O点，把细绳拉直至水平后无初速度地释放，小球运动至O点正下方的B点时绳子恰好被拉断，B点距地面的高度也为L．设绳子被拉断时小球没有机械能损失，小球抛出后落到水平地面上的C点求： （1）绳子被拉断前瞬间受到的拉力大小T． （2）B、C两点间的水平距离x．
9．（2015•武清区校级学业考试）如图所示，ABC为一细圆管构成的圆轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C，细圆管内壁光滑．在A点正上方某位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动．已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力．
（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求小球经过最低点B时的速度大小和轨道对小球的支持力大小； （2）若小球从C点水平飞出后恰好能落到A点，求小球刚开始下落时离A点的高度为多大．
12．（2014春•南湖区校级期中）如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R=1.0m，BC段长L=1.5m．弹射装置将一个小球（可视为质点）以v0=5m/s的水平初速度从A点弹入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，
2落地点D离开C的水平距离s=2.5m，不计空气阻力，g取10m/s．求
（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω和加速度a的大小；（2）小球从A点运动到C点的时间t； （3）求小球落地时的速度？
10．（2012•福建）如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R=0.5m，离水平地面的高度H=0.8m，物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s 求：
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22016年03月28日261230493的高中物理组卷
参考答案与试题解析
【专题】压轴题；人造卫星问题．
【分析】细绳只能表现为拉力，细杆可以表现为拉力，也可以表现为支持力，在最高点和最低点，靠竖直方向上的合力提供向心力，根据速度的大小判断连接体表现为什么力．
【解答】解：A、若连接体是细绳，在P点的临界情况是拉力为零，根据mg=
，最小速度为
．故A错误，
一．选择题（共5小题） 1．（2011•高州市校级模拟）如图所示，小球用细绳悬挂于O点，在O点正下方有一固定的钉子C，把小球拉到水平位置后无初速释放，当细线转到竖直位置时有一定大小的速度，与钉子C相碰的前后瞬间（
）
A．小球的线速度变大 B．小球的向心加速度不变
C．小球的向心加速度突然增大 D．绳中张力突然增大 【考点】向心力；牛顿第二定律．
【专题】压轴题；牛顿第二定律在圆周运动中的应用．
【分析】由机械能守恒可知小球到达最低点的速度，小球碰到钉子后仍做圆周运动，由向心力公式可得出绳子的拉力与小球转动半径的关系；由圆周运动的性质可知其线速度、角速度及向心加速度的大小关系．
C正确．
B、若连接体是细杆，在P点的最小速度可以为零．故B正确．
D、若连接体是细杆，小球在P点可以表现为拉力，也可以表现为支持力，在Q点只能表现为拉力．故D错误． 故选BC． 【点评】解决本题的关键掌握竖直平面内圆周运动的临界情况，掌握向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解．
3．（2008•浙江）如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运（
）
【解答】解：A、小球摆下后由机械能守恒可知，mgh=mv，因小球下降的高度相同，故小球到达最低点时的速度相同，故小球的线速度不变，故A错误； BC、小球的向心加速度a=
，R＜L，故小球的向心加速度增大，故B错误，C正确；
故绳子的拉力F=mg+m
因R小于L，故有钉子时，绳子上的拉力
2D、设钉子到球的距离为R，则F﹣mg=m变大，故D正确； 故选CD．
【点评】本题中要注意细绳碰到钉子前后转动半径的变化，再由向心力公式分析绳子上的拉力变化．
2．（2006•济南模拟）如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是（
）
A．球A的角速度一定大于球B的角速度 B．球A的线速度一定大于球B的线速度 C．球A的运动周期一定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力 【考点】向心力；牛顿第二定律．
【专题】压轴题；牛顿第二定律在圆周运动中的应用．
【分析】对小球受力分析，受重力和支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可． 【解答】解：A、对小球受力分析，受重力和支持力，如图
根据牛顿第二定律，有 F=mgtanθ=m
A．若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零 B．若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零
C．若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力可能为零
D．若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q点受到细杆的作用力为推力 【考点】向心力；牛顿第二定律．
解得
v=
由于A球的转动半径较大，故线速度较大， ω==C、T=
，由于A球的转动半径较大，故角速度较小，故A错误，B正确； ，A的角速度小，所以周期大，故C错误；
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D、由A选项的分析可知，压力等于，与转动半径无关，故D错误；
故选B．
【点评】本题关键是对小球受力分析，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解分析．
4．（2011•广东校级二模）如图所示，两个内壁光滑、半径不同的半圆轨道固定于地面，一个小球先后在与球心在同一水平高度的A、B两点由静止开始下滑，通过轨道最低点时（
）
A．4m/s B．m/s C．2m/s D．1.8m/s
【考点】向心力；牛顿第二定律；动能定理的应用． 【专题】压轴题．
【分析】本题中，小球从圆周内轨道的最高点运动到最低点过程，只有重力做功，可根据动能定理或机械能守恒
A．A球对轨道的压力等于B球对轨道的压力 B．A球对轨道的压力小于B球对轨道的压力 C．A球的角速度等于B球的角速度 D．A球的角速度大于B球的角速度
【考点】向心力；线速度、角速度和周期、转速；动能定理的应用． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】小球下落过程中只有重力做功，根据动能定理求出末速度后，再根据线速度与角速度关系公式v=ωr求出加速度，再根据合力等于向心力求出压力． 【解答】解：A、B、小球滚下过程只有重力做功
定律列式，同时小球能通过最高点的情况为在最高点时m≥G．
2
2【解答】解：小球由A至B过程中，由动能定理，得到：mvB+2mgr=mvA； 解得，vB=
=
≥G；
；
小球在最高点，F+G=m
由以上两式得到：r≤0.4m，v≥=2m/s； 本题选错误的，故选：D．
【点评】球在圆周内轨道内部运动，与用绳子系球在竖直面运动，受力与运动情况相同，可简化为同一种物理模型；要注意球能通过最高点的条件为v≥；
二．解答题（共7小题） 6．（2015•上海一模）如图所示，一可视为质点的物体质量为m=1kg，在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点．已知圆弧半径为R=1.0m，对应圆心角为θ=106°，平台与AB连线的高度差为h=0.8m．（重力加速度g=10m/s，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求： （1）物体平抛的初速度；
（2）物体运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力．
2mgr=mv 解得
v=
①
在最低点，重力和支持力的合力等于向心力 N﹣mg=m
② 2有①②解得 N=3mg 故球对轨道的压力等于3mg，与轨道半径无关 因而A正确、B错误；
C、D、根据线速度与角速度关系公式v=ωr ω==
故A球的角速度大于B球的角速度 因而C错误，D正确； 故选AD．
【点评】不管大圆轨道还是小圆轨道，小球到最低点时对轨道的压力相等．
5．（2009•巢湖一模）如图所示，A、B分别为竖直光滑圆轨道的最低点和最高点．已知小球通过A点的速度m/s（取），则小球通过B点的速度不可能是（
）
【考点】平抛运动；牛顿第二定律；向心力；机械能守恒定律．
【专题】压轴题．
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【分析】（1）根据物体能无碰撞地进入圆弧轨道，说明物体的末速度应该沿着A点切线方向，再有圆的半径和角度的关系，可以求出A点切线的方向，即平抛末速度的方向，从而可以求得初速度．
（2）从抛出到最低点O的过程中，只有重力做功，机械能守恒，可以知道在O点的速度，再有向心力的公式可以求得物体运动到圆弧轨道最低点O时受到的支持力的大小，也就是对轨道压力的大小． 【解答】解：（1）由于物体无碰撞进入圆弧轨道，即物体落到A点时速度方向沿A点切线方向，则 tanα==
2（2）小球离开D点做加速度为g的匀加速直线运动，根据位移时间公式即可求解时间． 【解答】解：（1）小滑块恰好通过最高点，则有：mg=m解得：
=tan53°
从B到C的过程中运用动能定理得：
=﹣mg•2R 又由h=gt
联立以上各式得v0=3 m/s．
（2）设物体到最低点的速度为v，由动能定理，有 mv﹣mv0=mg[h+R（1﹣cos53°）] 在最低点，据牛顿第二定律，有 FN﹣mg=m 22
解得：vB=
根据位移速度公式得：2aR=解得：a=
（2）从C到D的过程中运用动能定理得：
=mgR
解得：
代入数据解得FN=43N 由牛顿第三定律可知，物体对轨道的压力为43 N． 答：（1）物体平抛的初速度为3 m/s；
（2）物体运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力为43 N．
【点评】物体恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得物体的初速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起，能够很好的考查学生的能力，是道好题．
7．（2012•海南）如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度大小为g．求： （1）小球从在AB段运动的加速度的大小； （2）小球从D点运动到A点所用的时间．
小球离开D点做加速度为g的匀加速直线运动，根据位移时间公式得： R=解得：t=
；
．
答：（1）小球从在AB段运动的加速度的大小为（2）小球从D点运动到A点所用的时间为
【点评】本题主要考查了动能定理，运动学基本公式的直接应用，物体恰好通过C点是本题的突破口，这一点要注意把握，难度适中．
8．（2011•崇川区校级模拟）如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ=30°，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球（可视为质点），小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动．试分析： （1）小球以角速度ω=
转动时，绳子的拉力和圆锥体对小球的支持力； 转动时，绳子的拉力和圆锥体对小球的支持力．
【考点】向心力；匀变速直线运动的位移与时间的关系；牛顿第二定律；动能定理． 【专题】压轴题；牛顿第二定律在圆周运动中的应用． 【分析】（1）物体恰好通过最高点，意味着在最高点是轨道对滑块的压力为0，即重力恰好提供向心力，这样我们可以求出C点速度，从B到C的过程中运用动能定理求出B点速度，根据匀加速直线运动位移速度公式即可求解加速度；
（2）小球以角速度ω=
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【考点】向心力；力的合成与分解的运用；牛顿第二定律． 【专题】压轴题；牛顿第二定律在圆周运动中的应用．
【分析】求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力． 【解答】解：当物体刚离开锥面时：Tcosθ﹣mg=0，
【点评】解决本题的关键找出物体的临界情况，以及能够熟练运用牛顿第二定律求解．
9．（2015•武清区校级学业考试）如图所示，ABC为一细圆管构成的圆轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R（比细圆管的半径大得多），OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C，细圆管内壁光滑．在A点正上方某位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始下落，刚好进入细圆管内运动．已知细圆管的内径稍大于小球的直径，不计空气阻力．
（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，求小球经过最低点B时的速度大小和轨道对小球的支持力大小； （2）若小球从C点水平飞出后恰好能落到A点，求小球刚开始下落时离A点的高度为多大． 由拉力与重力的合力提供向心力，则有：解之得：当小球以角速度1=
＜ω0时，则存在球受到斜面的支持力，因此由支持力、重力与拉力的合力提供向心力．
对球受力分析，如图所示，则有
①
Tcosθ+Nsinθ=mg② 由①②联式解之得：
当小球以角速度ω2=如图所示，则有Tcosα=mg② 由①②联式解得：球离开斜面，则有N=O 答：（1）小球以角速度ω=（2）小球以角速度ω=
转动时，绳子的拉力转动时，绳子的拉力
和圆锥体对小球的支持力
和圆锥体对小球的支持力为零．
； ＞ω0时，则球只由重力与拉力的合力提供向心力，且细绳与竖直方向夹角已增大．
①
【考点】向心力；牛顿第二定律．
【专题】牛顿第二定律在圆周运动中的应用．
【分析】小球刚好能到达轨道的最高点C，则小球通过C点的速度为零，由动能定理和牛顿第二定律联立列式可求解；
小球从C点水平飞出，做平抛运动，由平抛运动规律和机械能守恒列式可求解． 【解答】解：（1）小球恰好通过C点，故小球通过C点的速度为零，对小球由B到C的过程根据动能定理，有：
，
0﹣…①
又由小球经过B点时，由牛顿第二定律：
…②
①②联立可得：vB=，FN=5mg （3）小球从C点飞出后做平抛运动，
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竖直方向：R=水平方向：R=vct 解得：vc=
由③④式解得
由初末机械能守恒可得： mg（h﹣R）=解得：h=
，轨道对小球的作用力大
．
答：（1）若小球刚好能到达轨道的最高点C，小球经过最低点B时的速度大小为小为5mg；
（2）若小球从C点水平飞出后恰好能落回到A点，小球刚开始下落时距离A点的高度为
答：（1）物块做平抛运动的初速度大小为1m/s． （2）物块与转台间的动摩擦因数μ为0.2．
【点评】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及知道物块随转台一起做圆周运动，靠静摩擦力提供向心力．
11．（2015•广州）如图所示，用长为L的细绳把质量为m的小球系于O点，把细绳拉直至水平后无初速度地释放，小球运动至O点正下方的B点时绳子恰好被拉断，B点距地面的高度也为L．设绳子被拉断时小球没有机械能损失，小球抛出后落到水平地面上的C点求： （1）绳子被拉断前瞬间受到的拉力大小T． （2）B、C两点间的水平距离x．
【点评】本题为动能定理与圆周运动的结合的综合题，解决本题的关键掌握动能定理，以及知道做圆周运动沿半径方向的合力提供向心力．
10．（2012•福建）如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R=0.5m，离水平地面的高度H=0.8m，物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4m．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s 求： （1）物块做平抛运动的初速度大小v0； （2）物块与转台间的动摩擦因数μ．
2【考点】向心力；平抛运动． 【专题】匀速圆周运动专题． 【分析】（1）根据动能定理求出小球运动到最低点的速度，结合牛顿第二定律求出拉力的大小． （2）根据高度求出平抛运动的时间，结合B点的速度和时间求出水平位移．
【解答】解：（1）设小球在B点的速度为v，由A到B有：mgh=mv
解得：v=
【考点】平抛运动；牛顿第二定律；向心力． 【专题】平抛运动专题． 【分析】（1）平抛运动在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据水平方向和竖直方向上的运动规律求出平抛运动的初速度．
（2）当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．根据静摩擦力提供向心力，通过临界速度求出动摩擦因数．
2．
，
设绳子被拉断瞬间受到的拉力大小为T，由牛顿运动定律有：T﹣mg=m将v=
代入得：T=3mg
2
（2）绳子被拉断后，小球做平抛运动，有：L=gt
x=vt
将v=代入得：x=2L
答：（1）绳子被拉断前瞬间受到的拉力大小T为3mg． （2）B、C两点间的水平距离x为2L．
【点评】本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．
12．（2014春•南湖区校级期中）如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R=1.0m，BC段长L=1.5m．弹射装置将一个小球（可视为质点）以v0=5m/s的水平初速度从A点弹入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，
2落地点D离开C的水平距离s=2.5m，不计空气阻力，g取10m/s．求 【解答】解：（1）物块做平抛运动，在竖直方向上有在水平方向上 s=v0t②
由①②得
①
（2）物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有fm=μN=μmg④
③
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（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω和加速度a的大小； （2）小球从A点运动到C点的时间t； （3）求小球落地时的速度？
【考点】向心加速度；平抛运动． 【专题】匀速圆周运动专题．
【分析】（1）小球在半圆形APB管内做匀速圆周运动时，角速度ω=圆管对小球的作用力大小； （2）小球从A到B的时间t1=
，加速度a=ωv0．根据牛顿第二定律求出
，从B到C做匀速直线运动，时间为t2=
．
（3）根据动能定理求出小球将要落到地面上D点时的速度大小． 【解答】解：（1）小球在半圆形APB管内做匀速圆周运动时，角速度ω=加速度为a=ωv0=5×5m/s=25m/s． （2）小球从A到B的时间t1=
=
=
s=0.628s， s=0.3s
22
=rad/s=5rad/s，
从B到C做匀速直线运动，时间为t2=故小球从A点运动到C点的时间t=t1+t2=0.928s； （3）对于平抛运动过程，根据动能定理得
mgh=mv﹣m2；解得，v=5m/s；
方向与水平面夹角为45°； 答：
2（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω是5rad/s，向心加速度a的大小为25m/s； （2）小球从A点运动到C点的时间t是0.928s；
（3）小球将要落到地面上D点时的速度大小是5m/s，方向与水平面夹角为45°． 【点评】本题是匀速圆周运动、匀速直线运动和平抛运动的组合，记住匀速圆周运动的角速度、加速度等等公式，就可以轻松解答．
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