4.2 直线的方向向量、平面的法向量及其应用
一、直线的方向向量及其应用
1、直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
2、直线方向向量的应用
利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．
（1）若有直线l, 点A是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l
上取ABa，则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得APtAB，这
样，点A和向量a不仅可以确定l的位置，还可具体表示出l上的任意点．
（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线
交于点O,它们的方向向量分别是a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基
本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得OPxayb，这样，点O与方向
向量a、b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()
A．(1,2,3)B．(1,3,2)
C．(2,1,3)D．(3,2,1)
2.从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为()
A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)
C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)
二、平面的法向量
1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．
2、在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点
A的平面是唯一确定的．
三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
1、若两直线l
1、l2的方向向量分别是u
1、u2，则有l1// l2u1//u2，l1⊥l2u1
⊥u2．
2、若两平面α、β的法向量分别是v
1、v2，则有α//βv1//v2，α⊥βv1
⊥v2．
若直线l的方向向量是u，平面的法向量是v，则有l//αu⊥v，l⊥α
u//v
b分别是直线l
1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系。1.设a、
（1）a=（2，3，－1），b=（－6，－9，3）； （2）a=（5，0，2），b=（0，4，0）； （3）a=（－2，1，4），b=（6，3，3）
四、平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
1、设出平面的法向量为n(x,y,z)．
2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2)
na0nb0
3、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
4、解方程组，取其中一个解，即得法向量
v分别是平面α、β的法向量，根据下列条件判断α、β的位置关系： 1.设u、
（1）u=（1，－1，2），v=（3，2，
2）；
（2）u=（0，3，0），v=（0，－5，0）； （3）u=（2，－3，4），v=（4，－2，1）。
2.已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一个单位法向量。
3.若直线l的方向向量是a=（1，2，2），平面α的法向量是n=（－1，3，0），
试求直线l与平面α所成角的余弦值。
4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()
A．(0，－3,1)B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)
5．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为()
A．(1，－1,1)B．(2，－1,1) C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)
五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系
（一）用向量方法证明空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
1、线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则
l∥m⇔⇔_⇔_______.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内
一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN的实数λ的值有()
A．0个C．2个
B．1个 D．3个
2、线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则
l∥α⇔⇔_______⇔1
1．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，2，2，且l∥α，
则m＝________.2．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()
A．xOyB．xOz
C．yOzD．xOy或yOz
3．如图所示，在空间图形P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD
.
4.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
5.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；
3、面面平行(3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔
abc⇔__⇔________a＝bc (a2b2c2≠0)_______.22
21．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q；
③A1M∥面DCC1D1；
④A1M∥面D1PQB1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号
)
2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点。
求证：（1）MN//平面A1BD；（2）平面A1BD//平面B1D1C。
高三数学《第82课 利用空间向量证明平行与垂直问题》基础教案
