空间向量的基本定理
姚旺河
一、教学目标:
1、知识与技能: 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论;理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示,而且这种表示是唯一的;在简单问题中,会选择适当的基底来表示任一空间向量。
2、过程与方法: 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
3、情感态度与价值观: 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,培养学生的探索精神。
二、教学重点和难点
重点:共线、共面定理及其应用;空间向量的基本定理及其推论
难点:空间向量分解定理唯一性的理解
三、教学方法:根据本节课的特点,尝试运用“问题探究式”教学法,遵循“探索—研究—运用”即“观察—思维—迁移”的三个层次要素,教师“诱”在点上,学生动脑思,动手探。
四、教学手段:多媒体辅助教学
五、教学设计
1.共线(平行)向量的定义:
2.空间任意两个向量a,b(b0),a//b的条件:
3.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面
内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a
;
对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是
1.向量与平面平行:(大约5分钟)
已知平面和向量a,作OAa,如果直线OA平行于或在内,那么我们说向量a平行于平面,记作:a//.
通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
共面向量不一定是在同一平面内的,但可以平移到同一平面内.
2
如果两个向量a,b不共线
,p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使
pxayb.
:练习A
1、
2、
3、
4\'\'\'
例1 已知斜三棱柱ABCABC,设,,AA。在面\'
对角线AC上和棱BC上分别取点M和N,使AMkAC,BNkBC
\'C\'
\'
(0k1)。求证与向量和共面。
用和的线性表示就可证明共面。
\'\'\'\'\'
例2已知平行六面体ABCDABCD,设,,AA,
\'\'\'\'
试用基底{a,b,c}表示如下向量:AC,BD,CA,DB
C\'
学生先自主做,教师引导点出空间内的任意向量都可用三个不共面的向量表示,从而引出空间向量基本定理。
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量
p,存在一个唯一的有序实数组(x,y,z),使xy证明:(存在性)设,,不共面,
过点O作OAa,OBb,OCc,OPp
过点P作直线PP平行于OC,交平面OAB于点P;
在平面OAB内,过点P作直线PA//OB,PB//OA,分别与直线OA,OB相交于点
A,B,于是,存在三个实数x,y,z,使
OA/OAxa,OB/OByb,OC/OCzc
∴OPOAOBOCxOAyOBzOC,所以 xyz
(唯一性)假设还存在x,y,z使px/e1y/e2z/e3 ∴xe1ye2ze3x/e1y/e2z/e3 ∴(xx/)e1(yy/)e2(zz/)e3
yy/zz/不妨设xx即xx0∴e1e2e
3xx/xx/
∴e1,e2,e3共面此与已知矛盾∴该表达式唯一
由此定理, 若三向量,,不共面,那么空间的任一向量都可由,,线性表示,我们把{,,}叫做空间的一个基底,,,叫做基向量。
②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来.
例3 如图,已知空间四边形OABC,其对角线OB,AC,M,N分别是对边OA,BC
的中点,点G在线段MN上,且MG2GN,用基底向量OA,OB,OC表示向量OG
解:OGOMMG
C
A
B
2OMMN
21
OA(ONOM)23
2111
OA[(OBOC)OA]232
2111
OA(OBOC)OA233
111
OAOBOC633
∴OG
11
1OAOBOC
633
1.知识:共线向量定理和共面向量定理; 2.题型与方法:
3.数学思想方法:类比,数形结合,等价转化 4.注意问题:
1.已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp,a0,若a//b,求实数x,y的
值。
2.已知ai2jk,bi3j2k,c3i7j,证明这三向量共面。
七、布置作业
1.已知三个向量a,b,c不共面,并且pabc,q2a3b5c
71822,向量
,,是否共面?
1.(选做)对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,问满足向量式
OPxOAyOBzOC (其中xyz1)的四点P,A,B,C是否共面?
2.(选做)已知A,B,C三点不共线,对平面外任一点,满足条件
122
,OPOAOO C
555
试判断:点P与A,B,C是否一定共面?
说明:在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择恰当的充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算.