我的教学主张
关注数学课堂之灵魂----“数感”的培养
普陀区教育学院附属学校 张小芳
一、教学主张的提出
在我的教学实践中，时常发现学生犯这样的错误：“每个油桶能装油4.5千克，要装60千克油，需要多少个这样的油桶？”学生的解答是需要13.3个。“每套童装用布2.2米，50米布可以做多少套童装？”学生答可以做22.7套。有谁见过0.7套衣服？又有谁拿得出0.3个油桶？类似的“失误”还有许多，如小丁丁的体重是25克，奶奶今年17岁等。是学生缺乏与此相关的生活经验和常识吗？当然不是！那为什么学生头脑中的“数”游离于生活经验之外，不能自觉地与已有常识建立联系呢？反思其中原因，我认为，这虽然与学生解题的不良习惯有关，但更重要的原因在于学生缺乏一定的数感。
关于数感，在以往的教学中，没有引起足够的重视。我们常常认为数学教学就是让学生学会正确地读数、写数，能够按照既定规则比较数的大小、完成数的计算操作就可以了，很少有目的地让学生思考数的实际意义，更不会有意识地引导学生用已有的数的知识去观察身边事物发展的数量规律。这就造成学生未能在数学知识与生活实际之间建立起自然的联系，不会从数的实际意义去分析、解释和解决问题。简而言之，学生是为了学数学而学数学。为了让学生学会解题，我们往往采用大量的形式多样的操练，最后达到“条件反射”的程度，结果是学生的负担加重了，数感却并没有因此得到增强。我们的生活中处处都有数的存在。建立数感不仅仅是为了学好数学，更重要的是它对于每一个人的生活和工作都有很大的帮助。有了良好的数感后，当遇到具体问题时，就能自然地、有意识地与数学联系起来，并试图进一步用数学的观点和方法去处理问题、解释问题。
基于以上思考，我在自己的教学中提出关注数学课堂之灵魂----数感，并开展了培养学生良好数感的研究。
二、概念的界定
什么是数感？顾名思义，是指对数的感觉。那么，什么又是对数的感觉呢？《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）中的解释是：“数感主要表现在：理解数的意义，并能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”显然，这段话并没有给出数感的定义，而是试图从学习行为改变的角度，对数感在数学学习中的具体表现加以刻画。由于内涵丰富，从概念界定的需要来讲，显得不很明确、不够概括。《义务教育数学课程标准》（2011年版）同样是描述数感的表现，但较为简练：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。”
数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识，是人的一种基本的数学素养，它是建立明确的数的概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。
在数学科学里，数与量可以“混为一谈”，因为数是量的高度抽象，变数与变量是同义词。但在小学数学中，数与量却是两个既有联系又有区别的概念。例如，从数的角度讲，1 小于 10；从量的角度讲，1 千米大于 10 毫米。前者是纯粹的“数感”，后者是实实在在的“量感”。小学阶段教学数的意义，我们不仅需要抽象地解释，而且必须联系具体的量，借助直观帮助学生理解。例如，通过把10根小棒扎成1捆，抽象出10个1是1个10；借助1米的十分之一是 1 分米，使 1 的十等分是1/10或 0.1 直观化。也就是说，联系量来帮助学生建立数感，是小学数学的主要教学策略。对小学生而言，数感的形成离不开量感的支持。缺了量感，数感也就成了无源之水、无本之木，没有实际意义了。
其实，在实际生活中，人们常常会有意识地将一些现象与数量建立联系，从而使我们眼中的世界有了量化的意味。例如，买了1千克橘子，估计大约有14个。这里，“1千克”“单个橘子的质量”与“14个”产生了联系。可见，数 与量在现实世界里总是密不可分的。因此，我们对数感的定义是：数感是数的抽象意义与数的具体意义的统一，是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，是人的一种基本素养。如同球员打球有球感，歌手唱歌有乐感一样，学生学数学也要有数感。建立数感，是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础之一，也是将数学与现实建立联系的重要桥梁。有了数感，学生在学习数学及相关学科时，就会感到左右逢源，得心应手，反之则会处处受制。
三、帮助学生形成数感的方式
（一）在数概念的教学中帮助学生形成数感
数概念的教学是数学教学的重要任务，其目的之一就是培养学生的数感。学生数概念的建立需要经历一个从“迷茫”到“醒悟”的过程，如何在此过程中帮助学生形成数感？通过实践研究，我们发现，利用生活经验、借助直观形象、运用已有数感，是在数概念教学中帮助学生形成数感的三条主要途径。
1.利用生活经验
利用学生生活经验帮助学生形成数感，这是由小学生的年龄特点所决定的。数概念本身的抽象性和学生思维的具体形象性往往会产生矛盾。解决这一矛盾，教师要善于把教学内容与学生的生活实际联系起来，让他们了解其中的内在关联，从而为学生真正理解数的意义，建立数概念和形成数感提供经验支撑。
例如，学生经常看到天气预报，教学时可以从列举学生熟悉的几个城市的天气情况入手，让他们发现气温除了零度、零上温度，还有零下温度。怎样用数表示气温，才能使得零上、零下一目了然呢？在这一过程中，学生第一次真切地感受到：（1）如果不用文字，仅用已学过的数（即非负数），不能明确区分零上、零下的气温；（2）还有比零摄氏度更低的气温，需要用比0更小的数来表示。于是，比较自然地促使学生产生用负数表示的想法。然后，通过观察银行存折记载情况、记录家庭收支情况等活动，引导学生用正负数表示一些日常生活中具有相反意义的量感悟正负数的实际意义。进一步，启发学生挖掘一些生活中可以使用正负数的例子，加深对正负数的理解。
2.借助直观形象
如果说利用生活经验形成数感是将儿童课堂以外的活动经验及其所见所闻融入了数学学习，那么借助直观形象则是利用了儿童善于形象思维的本能。因此，通过教具的演示和学具的操作来帮助学生建立数概念，形成数感，也是小学数学教学不可或缺的手段。
借助直观形象的经典方法就是利用计数器。计数器与数位顺序表一一对应，通过计数器的演示，还能让学生看到满十进一的过程，感悟十进制的构造。但相对于实物直观来说，计数器又具有一定的抽象性，难以表现数的实际大小。鉴于 此，我们在教学中借鉴国外经验，引入积木式的计数教具“块、条、板”，即用一“块”小立方体表示1，一“条”（10个）小立方体表示10，一“板”（100个）小立方体表示100，一“个”大立方体（由10板即1000个小立方体组成）表示1000。块、条、板的引入，更形象、更具体地为学生展示了数的大小，简洁明了。学生看到有几个大立方体几板几条几块就知道表示的是几千几百几十几，对数感的形成有着比较直接的促进作用。
3.运用已有的数感建立新的数感
数学学习是一个循序渐进的过程，后一个知识的学习往往建立在前一个知识的基础上。数感的建立亦是如此，教师可以从学生已有的数感出发，帮助他们建立新的数感。
以“万”的教学为例，考虑到学生已经有对于千的数感，教学时可以结合身边的例子展开。例如，全校有一千名左右的学生，那么万名学生有多少呢？一个学校一千，一千一千地数，数十次，十个一千就是一万，十个这样的学校里的学生集合在一起就大约是一万名学生了。教学十万、百万、千万、亿等计数单位时，难以给出精确的直观模型，这时就必须利用学生已有的数感。
（二）在计算的教学中，帮助学生形成数感
计算教学也是数学教学的重要任务。对计算方法的选择、对计算结果的估计，都与学生的数感有着密切的联系。多年的实践研究发现，在计算教学中帮助学生形成数感的途径与措施很多，比较而言，相对重要、效果明显的途径有以下三种。
1.重视口算教学
口算既是人人必须具备的基本技能，又是学习笔算、估算的基础。口算教学中，如何培养学生的数感呢？我们认为“，循理入法，以理驭法”应该贯穿始终。因为口算方法只是解决问题的操作程序，口算算理才是算法赖以成立的数学原理，而数感则是理解口算原理的必要支撑。
举个典型的例子。口算因数末尾有0的乘法，如7×800、800×70，课改以来，一些教师把教学的重点放在让学生自己发现规律，得到口算算法，一旦学生总结出“先把两个因数尾0前面的数相乘，再看因数的末尾有几个0，就在乘得的积的末尾添上几个0”，就认为大功告成，而对算理的解释弃之不顾。实际上，还要引导学生由7个8是56，推出7个800是56个百，所以 7×800=5600；再由 7×800 是 56 个百，推出800×70是56个千，也就是56000。整个推算过程，不仅强化了学生对数概念的理解，更有助于学生数感的发展。 2.提高估算意识
所谓估算意识，是指人们在面对一个实际问题时，不急于计算准确的结果，先采用适当的方法估计得数的大致范围，以及对自己或别人的计算结果，自觉地用估计的方法判断其是否有明显错误，并成为一种习惯。估算同我们的生活息息相关。提高学生的估算意识，不仅给学生的实际生活带来方便，而且有利于发展学生的数感。
在教学两位数乘两位数时，先让学生估算一下结果大概是多少。如“19×12=？”，一般会有以下估计方法：方法1：把19看作20，20×12=240；方法2：把12看作10，19×10=190；方法 3：把 19 看作 20，把 12 看作 10，20×10=200。这三种估算方法都正确，但结果各不相同。观察比较后学生发现，方法1把19看作20，估算结果一定比正确结果大；方法2把12看作10，估算结果一定比正确结果小；方法3，一个因数估大，一个因数估小，估算结果更接近正确结果。这样，通过三种不同估算结果的比较，学生对计算结果有了大致的判断，答案范围应在190到240之间。如果笔算结果不在此范围内，说明计算错误。经常有意识地引导学生尝试通过估算预测计算结果的范围，或检验计算结果是否正确，不断积累经验，能使估算意识与数感的培养相得益彰。
3.关注笔算算理
所谓笔算，就是借助纸和笔把思维的过程完全、清晰地记录下来。学生在记录的过程中是否了解每一步的含义，即计算的道理，对于掌握计算方法是非常重要的。而关注笔算的算理，也有利于学生形成数感。笔算教学通常由现实生活问题引入。例如，把73支铅笔平均分给3个小朋友，每个小朋友能分到多少支铅笔？还剩几支铅笔？让学生借助小棒动手操作，通常会出现两种分法。
分法 1：先分根，再分捆。先拿出 3 根小棒，每人分到1根；再拿出6捆小棒，每人分到2捆，然后把剩下的1捆小棒拆成10根，每人分到3根还多出1根。因此，每人分到1根+2捆+3根=24根，还剩1根。
分法 2：先分捆，再分根。先拿出 6 捆小棒，每人分到2捆；再把剩下的1捆和3根合起来分，每人分到4根，还剩下1根。因此，每人能分到2捆+4根=24根，还剩1根。
从心理学的角度分析，物化的操作使抽象的计算得以具体、形象地展现，有利于学生形成计算过程的表象。与此同时，数学逻辑思维得到锻炼，算理得到澄清，数感也得以增长。有了这样的基础，除法笔算的进一步学习就能依此类推。在此我们也看到，将算理归结为最基本的运算意义和数的组成，即归结为最基本的数学概念，则知识迁移的范围也就越广。
4.适当启发算法多样化
算法的多样化是指学生群体算法多样化，对于学生个体来说，则是算法的个性化。倡导算法多样化，是培养学生数感的又一条途径与策略，因为学生面对新的计算问题所想到的不同算法，常常反映出他们个性化的数感。
数感的形成不是一蹴而就的，需要一个渐进、沉淀、积累的过程。因此，教师在教学中应当结合有关内容和情境，加强对学生数感的培养，追求“随风潜入夜，润物细无声”的教学境界。随着数感的建立、发展、形成、巩固和升华，学生的数学素养一定会得到全面提高。
