平方数(教案 )

发布时间：2020-03-02 05:21:49 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

平方数(教案)

一、平方数的性质

性质

1、完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.性质

2、奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数.性质３、如果一个平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质

4、平方数被8除的余数只可能是0，1，4 性质

5、平方数被9除的余数只可能为0，1，4，7；平方数的各位数字之和被9除的余数也只能为0，1，4，7 2性质

6、ab为完全平方数的充要条件是b为完全平方数.

2ppa性质

7、如果质数能整除,但不能整除a,则a不是完全平方数.2性质

8、若n

9、一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个正约数(包括1和n本身).即平方数的正约数的个数为奇数。

性质

10、平方数的个位数字为非零数字，若末几位数字相同，则该数字应为4.最多只有三位相同练习：

1、求证:11,111,111,„,111„1(n个1)这串数中没有完全平方数。

2、若n2的十位数字是7，求其个位数字。

3、8k+7（k∈N）型自然数能否写成平方数的和。

解：8k+7=x2+y2+z2，由性质知，x2，y2，z2被8除余数只能为0，1，4 x2+y2+z2被8除只能余0，1，2，3，4，5，6，没有7 即8k+7≠x2+y2+z2的形式

4、一个整数 a与1512的乘积为完全平方数，求a 的最小值与这个平方数。解：151223337

则a237

421512×42=63504

一、平方数性质的应用

例

1、试证：数列49，4489，444889，„，222448967444889667497证明 ,,

4448889nn1为平方数. 1

n44488891(9991)81111444108881411nn1nn1nnn

4111911141118111136111121111nnnn22nn

(61111)266672nn1即

4448889nn1为平方数

所以数列49，4489，444889，„，

每一项都是完全平方数.

99...9600..04n练习：

1、证明：数列9604，996004，„，n的每一项均为平方数。

nn14448889证明：99„9600„04=99„96×10n+1+4=(10n+1－4)×10n-1+4=102(n+1)－4×10n+1+4 =(10－2) n+12 ∴数列9604，996004，„，99„9600„04的每一项均为平方数。

2、证明数列1089，110889，11108889，…，111...10888...89中的每一项均为平方数

例

2、求证:四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方.证明：设四个连续的整数为n,(n1),(n2),(n3)加上1为m,则mn(n1)(n2)(n3)1[n(n3)][(n1)(n2)]1(n23n)(n23n2)1

(n23n)22(n23n)1(n23n1)2[n(n1)(2n1)]2

而n(n1)是两个连续整数的积,所以是偶数;又因为2n1是奇数,因而n(n1)2n1是奇数.这就证明了m是一奇数的平方.练习：

1、两个连续偶数（或奇数）的乘积加1，即为平方数

2、连续四个偶数的乘积再加上16，一定是一个平方数

3、证明任意五个连续整数的平方和不能是某个整数的平方。证明：设五个连续整数为n-2，n-1，n，n+1，n+2 ∴(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5 n2+10=5(n2+2) 若为平方数5整除n2+2，n2的末位数字只能为3或8 由性质1知，n2的末位数字不可能为3或8 ∴5(n2+2)不能为平方数 ∴任意五个连续整数的平方和不能是某个整数的平方

4、求证：三个连续奇数的平方和加1能被12整除但不能被24整除。

证明：设三个连续奇数为2n-1，2n+1，2n+3 S=(2n+1)2+(2n-1)2+(2n+3)2+1=12n2+12n+12=12(n2+n+1) ∴12︱S n2+n+1=n(n+1)+1一定为奇数 ∴2不整除n2+n+1 ∴24不整除S∴结论得证

2 例

3、试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同解设这个四位数为aabb ∵它是一个平方数

232(a10b)11a0b11 a10a10b10baabb ∴所以,欲使它是完全平方数,三位数a0b必须含质因数11,则当且仅当11|(ab).而a,b是0,1,2,„各数码之一(a≠0),故共有(2,9),(3,8),(4,7),„(9,2)等8组可能值.直接验算,可

2774488知所求的四位数为.练习：

1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数.解:设此自然数为x,依题意可得

2222 x45m x44n (m,n为自然数) 可得nm89

(nm)(nm)89

但89为质数,它的正因子只能是1与89,于是解得 n45 m44

22∴ x444545441981 故所求的自然数是1981.

2、求满足下列条件的所有自然数: ① 它是四位数;②被22除余数为5;③它是完全平方数.解设m22n5N2,其中n,N为自然数,可知N为奇数

N21611(2n1) (N4)(N4)11(2n1) 11N4或11N4

所以N11k4,N11l4 ,k,l均为正奇数

2 又1000

N=37,59,81 由3111l4100得3k10 k=5,7，9 N=51,73,95 所以m的值为372=1369 592=3481 812=6561 512=2601 732=5329 952=9025 经过试数可知,此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025.例

4、求出所有这样的两位数:它们中的每一个比它的倒序数大一个非零完全平方数.解：设nab10ab(ab)为所求的两位数,则它的倒序数n'ba10ba,于是nn'9(ab) 若nn'是非零的完全平方数,则ab也为非零完全平方数

3 因为 0ab9,故有下列三种可能 (1) ab1 有 10,21,32,„,87,98 (2) ab4 有 40,51,62,73,84,95 (3) ab9 有 90 练习：

1、求一个四位数xyzt,它是一个完全平方数。求适合x=y+z,x+z=10t。

解：∵ 0

2、求完全平方数abcd，使ab=cd+1。

解：设cd=x,ab=x+1 设abcd=t2 100（x+1）+x=t2 101x+100=t2 101x=t2-100=(t+10)(t-10) 1000≤＜10000 30＜t＜100 20＜t-10＜90 40＜t+10＜110

∴t+10=10

1∴t=91 ∴abcd=t2=912 例

5、数n是一个不以0结尾的正的完全平方数，抹去最后两个数码之后，所得新数仍是正的完全平方数。试求具有这样性质的最大数。

解：n=100m2+ab=t2,ab=(t-10m)(t+10m) t-10m=k,t=k+10m.ab=k(20m+k)＜100 所以当k=1时，m取最大值，即m=4 所以t=41,n=412

二、平方数的速算

1、个位数字是5的数的平方: 222(x5)(10x5)100x100x25100x(x1)2

5算理：如152=

252=

352=

452=

552=

652=

752=

2、个位是1 的两位数的平方

2算理：（a1）=（10a1)2100a220a1

底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，在个位加1。

222===如712=5041

812=6561

918281

613721

411681

2512=2601

31=961

3、求11～19 的平方

2算理：（1a）=（10a)210020aa2

如172= 289 162=256 192=361 152=225

4、40—60的数的平方: 算理：(50x)22500100xx2=100（25x)x2

计算时,可用25加上超过50的“过剩数 ”或减去50的“亏损数”,并在此基础上加上“过剩数”或“亏损数”的平方.如下: 412(259)(92)1681 422(258)(82)1764 432(257)(72)1849 512(251)0(12)2601 522(252)(22)2704 532(253)(32)2809

如412 =1681 422 =1764 4321849 4421936 4522025 4622116 4722209 482 2304 5122601 5222704 5322809 542 2916 562 3136 572 3249 5823364 5923481

5、90—110之间的数的平方: 计算时一般按照如下的公式进行:

(100x)210000200xx2(1002x)100x2(100xx)100x2 验证效果如下:

1022(10022)0(22)10404 1012(10021)0(12)10201992(10021)0(12)9801 922(10028)(82)8464

如9128281 9228464 9328649 9428836 9629216 9729409 9829604 9929801 101210201 102210404 103210609 104210816 105211025 106211236 107211449 108211664 109211881

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档