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2013年华东理工大学自主招生试题

数学

1.已知a，b为实数，方程(x6xa)(x26xb)0的四个实根经排列可以构成一组等比数列，其中首项为1，则22a＝.b

2.一个球内接圆锥，其体积最大时，圆锥与球的体积之比是

3.各棱长均为a的正三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则此球的表面积是4.f(cos)cos3，则f(sin)

5.五张标记数字的卡片，分别标为

1、

2、

3、

4、5，重新排列后能被2和5整数的概率为6.sincosπ61ππ，[,]，则cossin 442

7.设f(x)为定义在[1,1]上的函数，满足条件：

（1）f(1)f(1)0；

（2）对u，v[1,1]，都有|f(u)f(v)||uv|.

证明：对x[1,1]，都有x1f(x)1x；

8.已知平面内一动点P到F(1,0)的距离与P到y轴的距离之差等于1.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）过点F作两条斜率存在且相互垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A、B，l2

与轨迹C相交于点D、E.求ADEB的最小值.

*9.设数列{an}满足：an1annan1（nN），当a13时，证明：对n1，有 2

（1）ann2；

（2）

1111.1a11a21an2