立体几何易错题分析

立体几何易错题分析

1.下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()

A 正解：D

错因：空间感不强.2.如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a,b都相交；（2）过P一定可作直线L与a,b都垂直；（3）过P一定可作平面（4）过P一定可作直线L与a,b都平行，其中正确的结论有（） 与a,b都平行；

A、0个B、1个C、2个D、3个 正解：B .(2)正确

错解：C 认为（1）（3）对D 认为（1）（2）（3）对

错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密.正解：C

错因：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜.3.判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线

垂直于另一个平面.（） 正解：本题不对.

错因：未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况.4.和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（）.

A．和都垂直于平面g

B．内不共线的三点到的距离相等 C．l,m是平面内的直线且l//,m//

D．l,m是两条异面直线且l//,m//,m//,l// 正解：D

对于A,,可平行也可相交；对于B，三个点可在平面同侧或异侧；对于C,l,m在平面 内可平行，可相交.

对于D正确证明如下：过直线l,m分别作平面与平面,相交，设交线分别为l1,m1与 l2,m2，由已知l//,l//得l//l1,l//l2，从而l1//l2，则l1//，同理m1//，

S

Q RS B

Q PC

S

R P DQ

//。

错解：B往往只考虑距离相等，不考虑两侧.

5． △ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将△ABC沿AD折成大小为q的二

面角B-AD-C，若cos

ab

，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（）

A、锐角三角形B、钝角三角形

C、直角三角形D、形状与a,b的值有关的三角形

6.底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是（）

A、一定是正三棱锥C、不是斜三棱锥正解： D

错因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D

7.有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.正解：2a2.错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为a2.

这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为.

B、一定是正四面体D、可能是斜三棱锥

8.过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个.正解： 1个或无数个.

错解：1个.错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个.9.自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则

PAPB

PC=_____。

正解:4R2,可将PA,PB,PC看成是球内接长方体的三边,则PAPBPC应是长方体对角线的平方,即球直径的平方.

10．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直二面角，则两直角边所

夹角的余弦值为_____.正解：

25

.

设AB==

BD=

=

=

AD=-=

CDAB,BDCD,ADCD ADB为二面角B-CD-A的平面角，

ADB



25

AB(5)(

85

5)

2032025

25



2855

24(

cosACB

5224

85)



错因：折叠后仍然BDCD,ADCD判断不了，找不到RtADB,AB的长求不出.错因：没有考虑到球内接长方体，直接运算，易造成计算错误.

11.直二面角α－l－β的棱l上有一点A，在平面a,b内各有一条射线AB，AC与l成45，AB,AC，则∠BAC=.正解：600或1200

错因：画图时只考虑一种情况

12.如图在三棱柱ABC-A\'B\'C\'中，已知底面ABC是底角等于30，底边AC=43 的等

腰三角形，且B\'CAC,B\'C22，面B\'AC与面ABC成45，A\'B与AB\'交于点E.

⑴求证：ACBA\'； (2)求三棱锥B\'BEC的体积.正解：(1)证：取AC中点D，连ED，

E是AB\'的中点，ED12B\'C

B\'CAC,DEAC



又ABC是底角等于30的等腰，BDAC,BNDED

AC面BDE,ACBE,即ACBA\'

(3)解：由(1)知

EDB是二面角B\'ACB的一个平面角， EDB＝45，ED



2,BDADtan30



23

33

2

在

DBE中：

EB

ED

BD

2EDBDcos452422



22

2

11

\\VB\'-BEC=VA-BEC=2VA-BED=2245=

32错因：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。

13．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为29，设这条最短路线与C1C的交点为N.求: ⑴该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

⑵PC和NC的长；

正解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92

4

97

②如图1，将侧面BC1旋转120使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线.

设PC＝x，则P1C＝x，

在RtMAP1中，（3＋x)22229,x2 MCMA

P1C2P

1A

5

,NC

45

错因：①不会找29 的线段在哪里.

②不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解.

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