立体几何知识点（精选多篇）

推荐第1篇：高中数学知识点立体几何

【高中数学知识点】立体几何学习的几点建议.txt

一 逐渐提高逻辑论证能力

立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法(“推出法”)形式写出。

二 立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在初学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：

(1) 深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。 (2) 培养空间想象力。

(3) 得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

三 “转化”思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

1.两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

2.异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

3.面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

4.三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

四 培养空间想象力

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位臵关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形(如：直线和平面)、简单的几何体(如：正方体)开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如：纸、黑板)上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

五 总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。 六 典型结论的应用

在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。

推荐第2篇：立体几何知识点梳理

1.证明线面垂直的方法

1线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；

m、n，mnA2判定定理1：l；lm，ln

3判定定理2：，a；4面面平行的性质：，a；5面面垂直的性质：，l，a，ala.

2．证明线线垂直的方法

1平面几何中证明线线垂直的方法；2线面垂直的性质：a，bab； 3线面垂直的性质：a，b//ab.

3．证明面面垂直的方法

判定定理：a，a.4、垂直关系的转化

判定判定线线垂直线面垂直面面垂直性质性质

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．

5．面面垂直的性质定理是作辅助线

的一个重要依据，我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的 一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．

推荐第3篇：立体几何知识点小总

高中几何知识点部分总结

1证线面平行，先证这条直线平行于平面内一条直线，则这条直线平行于这个平面。

2证面面平行，只要正这两个平面内的两条相交线和另一平面内的两条相交线互相平行。

3证线面垂直，只要证明不在这个平面内的一条直线垂直于这个平面内的一条直线。

4证两个平面互相垂直方法：1）两平面内的的直线垂直于交线且两直线的夹

角为90度

2）一平面过另一平面的垂线。

推荐第4篇：高中数学立体几何初步知识点

高中数学立体几何初步知识点

高中几何是高中的一个难点。大家只要记住下面这几点相信你成绩一定会突飞猛进的！立体几何初步:①柱、锥、台、球及其简单组合体等内容是立体几何的基础，也是研究空间问题的基本载体，是高考考查的重要方面，在学习中应注意这些几何体的概念、性质以及对面积、体积公式的理解和运用。②三视图和直观图是认知几何体的基本内容，在高考中，对这两个知识点的考查集中在两个方面，一是考查三视图与直观图的基本知识和基本的视图能力，二是根据三视图与直观图进行简单的计算，常以选择题、填空题的形式出现。③几何体的表面积和体积，在高考中有所加强，一般以选择题、填空、简答等形式出现，难度不大，但是常与其他问题一起考查④平面的基本性质与推理主要包括平面的有关概念，四个公理，等角定理以及异面直线的有关知识，是整个立体几何的基础，学习时应加强对有关概念、定理的理解。⑤平行关系和垂直关系是立体几何中的两种重要关系，也是解决立体几何的重要关系，要重点掌握。跟几何说886吧，只要用心去学，相信成绩上不会再因为几何而丢大量的分数！

推荐第5篇：立体几何证明中常用知识点

立体几何证明中常用知识点

一、判定两线平行的方法

1、平行四边形

2、中位线定理

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（线面平行的性质定理）

4、比例关系

二、判定线面平行的方法

1、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（线面平行的判定定理）

2、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行的性质定理1）

三、判定面面平行的方法

1、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行（面面平行的判定定理）

2、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则两面平行（面面平行的判定定理的推论）

四、判定两线垂直的方法

1、定义：成90角

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直（线面垂直的性质定理）

3、三线合一

五、判定线面垂直的方法

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（线面垂直的判定定理）

2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直的性质定理）

六、判定面面垂直的方法

一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面（面面垂直的判定定理）

推荐第6篇：高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)

立体几何知识点整理

姓名：

一．直线和平面的三种位置关系： 1.线面平行

l

符号表示：

2.线面相交

符号表示：

3.线在面内

符号表示：

二．平行关系： 1.线线平行：

方法一：用线面平行实现。l//

l

l//m m

方法二：用面面平行实现。

//

l

l//m

m

方法三：用线面垂直实现。若l,m，则l//m。 方法四：用向量方法：

若向量和向量共线且l、m不重合，则l//m。

2.线面平行：

方法一：用线线平行实现。

l

l//m

m

m

l// l

方法二：用面面平行实现。

//

l

l// 方法三：用平面法向量实现。

若n为平面的一个法向量，nl且l,则

l//。

3.面面平行：

方法一：用线线平行实现。

l//l\'



m//m\'

l,m且相交//

l\',m\'且相交

方法二：用线面平行实现。

l//



m//

//l,m且相交

三．垂直关系：1.线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

lAC

lAB

ACABAl



AC,AB

方法二：用面面垂直实现。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：





ml 22

2clm,l

2.面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

l

l



方法二：计算所成二面角为直角。 3.线线垂直：

方法一：用线面垂直实现。

l

m

lm

方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO

lOA

lPA l

方法三：用向量方法：

若向量和向量的数量积为0，则lm。 三．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：(0,90] (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

cosabc

2ab

b

(计算结果可能是其补角)

方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：

cos

(二) 线面角

(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO

于O,连结AO，

则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。

(2)范围：[0,90]

当0时，l或l// 当90时，l (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。

方法二：向量法(为平面的一个法向量)。

sincos,





(三) 二面角及其平面角

(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。

四．距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。

步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。 步骤

2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 方法二：坐标法。

(2)范围：[0,180](3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。

dcos



2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。

如图，m和n为两条异面直线，n且

m//，则异面直线m和n之间的距离可转化为直

线m与平面之间的距离。

方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。



nn

2步骤一：计算cosn1n2

1n1n2



步骤二：判断与n1n2的关系，可能相等或

者互补。

如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，

m//m\'，则异面直线m和n之间的距离为：

d

c2a2b22abcos

五．空间向量 (一)空间向量基本定理

若向量,,为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量，都存在唯一的有序实数对

角分别为、、，则cos2+cos2+cos



x、y、z，使得xyz。

(二) 三点共线，四点共面问题 1.A，B，C三点共线

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则cos2+cos2+cos2 3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。 (二) 正在底面中心。

(三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且

每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体)

(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，

且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

(六) 体积：V棱柱 V棱锥 (七) 球

1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2.设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。

3.球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

4.球的表面积公式：体积公式：



OAxOByOC，且xy

1当xy时，A是线段BC的

2A，B，C三点共线 2.A，B，C，D四点共面



OAxOByOCzOD，且xyz1

当xyz时，A是△ABC的

3A，B，C，D四点共面xy (三)空间向量的坐标运算

1.已知空间中A、B两点的坐标分别为：

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2) 则：



AB;dA,BAB



2.若空间中的向量a(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2) 

则abab

abcosab

六．常见几何体的特征及运算 (一) 长方体

1.长方体的对角线相等且互相平分。

2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的

推荐第7篇：高一立体几何知识点总结(学生版)

yiuytiytiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

公理4 yiy

等角定理及其推论

定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分jhkhjk

推荐第8篇：立体几何

直线、平面平行与垂直的判定及其性质

一、知识复习

1.直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2.平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

3.直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

4.平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

5.直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足。

7.斜线的定义及斜线与平面所成的角：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，则这条直线叫做这个平面的斜线。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

8.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。棱为AB,面分别为α，β的二面角记做α-AB-β。

9.二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在两个半平面内分别作垂直与棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角∠AOB叫做二面角的平面角。（二面角的大小是用它的平面角来度量的，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角。

6.直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

10.平面与平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

11.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

12.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

二、学法指导

1.证明直线与平面平行的方法

（1）定义法：转化为证明它们没有公共点

（2）判定定理：转化为证明线线平行

（3）利用面面平行的性质：转化为证明面面平行

2.证明平面与平面平行的方法

（1）定义法：转化为证明它们没有公共点

（2）判定定理：转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行

3.直线与直线垂直的判断方法

（1）用定义

（2）用平行的性质：两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直它

（3）用线面垂直性质：一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于这个平面内的任意直线

（4）用平面几何知识

4.直线与平面垂直的判断方法

（1）用线面垂直定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

（2）用线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（3）用线面垂直性质：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面

（4）用面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（5）用面面平行性质：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面

（6）用面面垂直性质：如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面。

5.平面与平面垂直的判断方法

（1）用定义：证明这两个平面所成的二面角是直二面角

（2）用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

（3）用面面平行的性质：两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面。

推荐第9篇：近四年福建高考数学立体几何知识点总结

近四年福建数学高考立体几何知识点总结 09年文科

已知面面垂直，证线线垂直，求侧面积

09理科

求异面直线的夹角，探究直线上是否有点，线面垂直。

10年文科

线面平行，求体积结合几何概率。

10年理科

面面垂直，二面角的余玄值

11年文科

线面垂直，四棱锥的体积

11年理科

面面垂直，线面夹角，探究到四个点的距离相等的点

12年文科

三棱锥体积，线面垂直

12年理科

线线垂直，线面平行，二面角的大小，求AB的长

推荐第10篇：立体几何公式

解立体几何有两种方法，一种是几何法，一种是代数法

1.几何法

顾名思义，就是像初中学平面几何那样，通过空间想象来找角，边。这种方法比较简单，直观，写的步骤少而且算数容易。当让对应的要求，你必须有很高的空间想象力。尤其不要自以为是以为他是直角，就按照直角来算，一定要有根据，要注意 一，所要计算的角是否在一个面上。 二，两条边所组成的角是否是一个平面的角 三，定理一定要非常的熟练，并且能延伸 2.代数法

代数法就比较简单了，通过向量建系计算。攻无不克。 但要注意：

一，要仔细，有条理。算错一个数就全错了。

二，建系的时候，要看清直角关系，尽量找一个三条边都相互垂直的角来建系，，实在没有也最

其实立体几何不难，重要的是掌握方法，多练习，多思考

遇到的问题主要有：求空间距离；求空间角度（线面角、二面角、异面直线缩成的角）--注意范围

遇到问题，主要考虑的有：

1、几何法

即通常找辅助县。基本从平行线、中点等方面考虑，进而转化为平面问题。

2、向量法

这种方法比较死板，一般有垂直或知道角度时使用。可用于求角度问题

3、坐标法

这种方法可用范围较广，须建立空间直角坐标系。和几何法比较，计算量大，但是思考过程简单，一般有三条直线两两垂直时使用。在距离、角度等方面都有很好的效果。

我也是高二，立体几何这章学完了，这些都是总结后的一些方法。基本从这几个方面想问题，大题都一般可以解决。至於选择填空，就要方法灵活些了。 一点经验，希望有用。

先做个例子，比如怎么解决二面角问题

二面角类问题，找二面角的时候，估计百分之八九十都是先找一个面的垂线，再过垂足或与另外一个面的交点向交线做垂线，再连接。根据三垂线定理就可以证明那两条线的夹角就是二面角了。

说的你可能有点迷糊（我已经迷糊了），给你个题，你看看这个题，应该就明白了这个题我没解出来，但是找到二面角了。

记住，找二面角就是找一个面的垂线

看完这个估计以后你做有关二面角的问题就比较自如了，只要也可以达到85%，先找有没有已知的垂线，如果没有，再想办法做垂线，然后就是三垂线定理

1 做空间几何，首先是定义，一定要熟悉，只有这样，你才能应用自如，我们老师跟我们说过一句话，看到求证想判定，看到结论想性质，意思就是如果求证线面垂直，面面垂直一类的问题，就去想判定定理，判定定理是怎么说的，就根据判定定理需要的条件入手，去解决问题，这样你就会有一定的思路，解决问题也会更加容易。而看见结论想性质，就是说，如果题目已经说了面面垂直一类的结论，那么就要去想面面垂直的性质，垂直于交线就垂直于面，往往利用性质就很容易解题了。你一定要把书上的定义记住了，再找几个类型题，做一做，你就会找到感觉了

还有一点，比如你遇到二面角的问题，根据上面说的方法，你找不到二面角，一般情况下(我说的是一般情况下，也有一定的可能是不需要垂线的，但是我还没见过)不要去想其他的方法,就是去找垂线

你可能不信，但是只要你做题的时候坚持一两次，你就会坚信这个观点。

我也只能说这些了，其实我的成绩也不算太好，不能帮你太多，平时要注意与你们班上学习好的同学交流，问问他们怎么学，这对你很有帮助

哦，对了，还有一种方法，就是找不到垂线的时候，使用空间向量，也比较简洁

把定理记住是一定的，并且在做题的过程中要善于总结各个定理的使用及配合，比如求二面角，首先找两面的交线，然后找垂直这个直线的其它相关直线，一般求二面角的题会跟三垂线定理联系在一起，再比如证平行的问题，一般在一些相似三角形里，如果题目没有，就去构造。还有建议把空间向量学一学，如果实在没思路的话，也可以利用空间向量解决

判断二面角的平面角是锐角还是钝角应该不难,你看着它像锐角,就说它是锐角就行,不用特别去证明~

用向量法求二面角大小,主要是用公式

cosA=a*b/(|a|*|b|) a,b要分别取这构成二面角的两个平面的法向量,可能不止一个,取最简单的那个,然后两分别算出它们的模,即|a|,|b|,再代入公式即可 算出cosA的值后,再根据前面的判断 若是锐角,而算得cosA>0,则所求角为A 若是锐角,而算得cosA0,则所求角为(派-A) 若是钝角,而算得cosA

高中立体几何梳理(看完立即无难题!!!)

基本概念

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

（1）共面：平行、相交

（2）异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法

两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面

直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]

最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直

esp.直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

两个平面的位置关系：

（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

（2）两个平面的位置关系：

3 两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交

二面角

（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]

（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）

多面体

棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：

（1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形

（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

正棱锥

4 正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

（3） 多个特殊的直角三角形

esp： a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

Attention：

1、注意建立空间直角坐标系

2、空间向量也可在无坐标系的情况下应用

多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=2 正多面体只有五种：正

四、

六、

八、十

二、二十面体。

球

attention：

1、球与球面积的区别

2、经度（面面角）与纬度（线面角）

3、球的表面积及体积公式

4、球内两平行平面间距离的多解性

最主要的还是 第一；自信

第二；放好心态

第三；好好复习，不胡乱想与学习无关的事

第四；放松一下，不要紧张

第五；迎接高考把

祝你成功！！！

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

（1）判定直线在平面内的依据

（2）判定点在平面内的方法

公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。

（1）判定两个平面相交的依据

（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上

公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （1）确定一个平面的依据

（2）判定若干个点共面的依据

5 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 （1）判定若干条直线共面的依据

（2）判断若干个平面重合的依据

（3）判断几何图形是平面图形的依据

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

立体几何 直线与平面

空 间 二 直 线平行直线

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线

空 间 直 线 和平面 位 置 关 系

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线和平面平行——没有公共点

立体几何 直线与平面

直线与平面所成的角

（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角

（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角

（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角

三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直

三垂线逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直

空间两个平面 两个平面平行 判定

性质

（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（2）垂直于同一直线的两个平面平行

（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

6 相交的两平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面

二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角

平面角是直角的二面角叫做直二面角

两平面垂直 判定

性质

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内

立体几何 多面体、棱柱、棱锥

多面体

定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。

棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

棱锥 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。

球

到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。

欧拉定理

简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

第11篇：教案 立体几何

【教学过程】 *揭示课题 9 立体几何 *复习导入

一、点线面的位置关系

1 点与直线的位置关系：Aa Aa 2.点与面的位置关系： A A 3.直线与直线的位置关系：平行 相交 异面 4直线与平面的位置关系： 在平面内 相交平行

二、线面平行的判定定理

1.线线平行：平行于同一条直线的两条直线互相平行

2.线面平行：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行

3.面面平行：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行

三、线面平行的性质定理

1.线线平行：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

2.线面平行：如果一条直线和一个平面平行，并且经过这条直线的平面和这个面相交，那么这条直线和交线平行

3.面面平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

四、线面垂直的判定定理

1.线面垂直：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直

2.面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

五、线面垂直性质定理

1.线面垂直：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

2.面面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

六、柱、锥、球 1.棱柱、圆柱

S侧=底面周长高V体=底面面积高2.棱锥、圆锥

1底面周长母线2 1V体=底面积高3S侧3.球

S表=4r243 V体=r3*练习讲解 复习题A组 *归纳小结

本章立体几何部分概念偏多，需要着重分辨判定定理与性质定理的适用范围，将点线面位置关系化为最简单的线线判断，由此可提高位置判定的速度，能够更加地熟练运用各大定理。

第12篇：立体几何证明

立体几何证明

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

2

四个判定定理：

①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四个性质定理：

①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③垂直于同一平面的两条直线平行。

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

(2)立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很

第13篇：立体几何复习

一、线线平行的证明方法

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、反证法。

3、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行。

4、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面

三、面面平行的证明方法

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直

第14篇：立体几何测试题

1、设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（B）

（A）若lm，m，则l（B）若l，l//m，则m

（C）若l//，m，则l//m（D）若l//，m//，则l//m

2、在空间，下列命题正确的是(D)

A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行

3、用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题正确的有：( C ) ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.

A.①②B.②③C.①④D.③④

4.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（ D ）

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

5、设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确（C）

A．若l,，则lB．若l//,//，则l

C．若l,//，则lD．若l//,，则l

6：已知m,n是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的是（ D ）

A．若m‖,n‖,则m‖nB．若,,则‖

D．若m,n,则m‖n C．若m‖,m‖,则‖

7：设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是(D)

A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥

C.若，m,则mD.若，m，m,则m∥

8：已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：

①若m∥，n∥，则m∥n；②若m∥，n⊥，则n⊥m；③若m⊥，m∥，则⊥． 其中真命题的个数是( C)

A．0B．1C．2D．3

第15篇：立体几何公式

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

Al，Bl，且Aα，Bαlα．（作用：证明直线在平面内）

公理2 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面） 推论 ①直线与直线外一点确定一个平面．

②两条相交直线确定一个平面．

③两条平行直线确定一个平面．

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． Pα，且Pβαβ＝l，且Pl．（作用：证明三点/多点共线）

公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性）

空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．线面平行判定平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 推论 一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行． 线面平行性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行．

面面平行判定 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 面面平行性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．线面垂直判定 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行． 线面垂直性质定理1 如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线． 线面垂直性质定理2 垂直于同一个平面的两条直线平行．

三垂线定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 逆定理 如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直． 射影定理 从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短．

面面垂直判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

面面垂直性质定理1 两个平面垂直，则一平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 面面垂直性质定理2 两个平面垂直，过一平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．

第16篇：立体几何解题技巧

立体几何解题技巧

李明健 发布时间： 2010-8-4 16:07:19

立体几何解答题的设计，注意了求解方法既可用向量方法处理，又可以用传统的几何方法解决，并且一般来说，向量方法比用传统方法解决较为简单。由于立体几何解答题属于常规题、中档题，因而，立体几何的复习应紧扣教材，熟练掌握课本中的每一个概念、每一个定理的种种用途，突破画图、读图、识图、用图的道道难关，同时要注意总结证明垂直、平行的常用方法和技巧，掌握角、距离、面积、体积等的转化和计算方法，在做题的过程中进行反思，在反思中总结、提炼，不断提升空间想象能力及分析问题和解决问题的能力。

1．平行、垂直位置关系的论证的策略:

（1）由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

（2）利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

（3）三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2．空间角的计算方法与技巧:

主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。

（1）两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：

（2）直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算.

（3）二面角

①平面角的作法：（i）定义法；（ii）三垂线定理及其逆定理法；（iii）垂面法。 ②平面角的计算法：

（i）找到平面角，然后在三角形中计算（解三角形）或用向量计算；（ii）射影面积法 ；（iii）向量夹角公式.

3． 空间距离的计算方法与技巧:

（1）求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

（2）求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解（这种情况高考不做要求）。

（3）求点到平面的距离：一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算；也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4． 熟记一些常用的小结论，诸如：正四面体的体积公式是 ；面积射影公式；“立平斜关系式”；最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。

5．平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。

6．与球有关的题型，只能应用“老方法”，求出球的半径即可。

第17篇：立体几何复习资料

立体几何判定方法汇总

一、判定两线平行的方法

1、平行于同一直线的两条直线互相平行

2、垂直于同一平面的两条直线互相平行

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明

二、判定线面平行的方法

1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点

2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行

3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面

5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面

三、判定面面平行的方法

1、定义：没有公共点

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行

3垂直于同一直线的两个平面平行

4、平行于同一平面的两个平面平行

四、面面平行的性质

1、两平行平面没有公共点

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面

3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面

五、判定线面垂直的方法

1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直

2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面

4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面

6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面

六、判定两线垂直的方法

1、定义：成90角

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直

5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直

七、判定面面垂直的方法

1、定义：两面成直二面角,则两面垂直

2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面

八、面面垂直的性质

1、二面角的平面角为90

2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

第18篇：立体几何证明

1、（14分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，

底面边长AB＝2，侧棱

交B1C于点F，

BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，（1）求证：A1C⊥平面BDE；



D3．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BCAC2，AA14，为棱CC

1上的一动点，M、N分别为ABD、A1B1D的重心.（1）求证：MNBC； ．

A

B

4.如图，在三棱拄ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C1,

1N 31 B1

（Ⅰ）求证：C1B平面ABC；



A11

（Ⅱ）试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EAEB1； .A

A1

B1

C

E

C1

5、如图，P—ABCD是正四棱锥，ABCDA

1BC11D1是正方体，

其中AB2,PA

（1）求证：PAB1D1；

6．（本小题满分12分）

如图，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；（2）若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD，

指出点Q的位置，

7、如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA面ABCD

，PA=AB=1，BC=2 （Ⅰ）求证：平面PDC平面PAD；

8.正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求证：BC⊥面PAC；

P（2）求证：PB⊥面AMN.

M

A

10、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、

点，且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD.(12分)

11、已知ABC中ACB90，SA面ABC，ADSC，求证：AD面S分)

12、已知正方体ABCDA1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：（１）C1O面AB1D1；（2 ）AC面AB1D1．(14分)

1

CD、DA上的

A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命题正确的是………………………………………………（）

B

A．三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面

2．若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是（） A．内的所有直线与a异面B．内不存在与a平行的直线 C．内存在唯一的直线与a平行D．内的直线与a都相交

3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（） A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面

4．正方体ABCDA'B'C'D'中，AB的中点为M，DD'的中点为N，异面直线B'M与CN所成的角

A．0B．45C．60D．90

5．平面与平面平行的条件可以是…………………………（）

A．内有无穷多条直线都与平行C．直线a，直线b且a//，b// B．直线a//,a//且直线a不在内，也不在内D．内的任何直线都与平行 6．已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（） A．3B．2C．1D．0

7．下列命题中错误的是……………………………………（） A． 如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B． 如果平面，那么平面一定存在直线平行于平面

C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面，，l，那么l

8．直线a//平面，P，那么过点P且平行于的直线…………（） A． 只有一条，不在平面内B．有无数条，不一定在内C．只有一条，且在平面内D．有无数条，一定在内 9．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED平行②CN与BE异面③CN与BM成60

④DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是__________________ 3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是_______________ 4.已知直线a,b和平面,且ab,a,则b与的位置关系是______________

第19篇：立体几何概念

易知学堂：easycla高中数学必修二， 立体几何概念姓名：

一． 棱柱，棱锥概念：

棱柱:上下面平行，侧棱平行。

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

平行六面体：上下面是平行四边形的棱柱。

直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体。

棱锥：侧面是三角形，且有一个公共顶点。

正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直底面。

二． 空间线面关系定理

1.线面平行：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2.面面平行：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

3.如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。

4.两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

5.线面垂直：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直。

6.直线垂直于平面，则垂直于平面内任一条直线。

7.垂直于同一直线的两个平面平行。

8.面面垂直：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

9.两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

空间角：

10.异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a, b’∥b, 把a’

与b’所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角（或夹角）。

11.线面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的锐角。

12.二面角的平面角：从二面角的棱上一点，在两个半平面内分别作垂直棱的射线，则两射线所成的角

叫做二面角的平面角。

13.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那

么它也和这条斜线垂直。

14.三垂线逆定理： 如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜

线在平面内的射影。

第20篇：立体几何复习题

立 体 几 何 复习题

二、垂直关系

一、平行关系

（1） 线线平行（2）线面平行（3）面面平行

证明线线平行的常用方法： 证明线面平行的常用方法： 证明面面平行的常用方法： 练习：

1、已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且APDQ，求证：PQ∥平面CBE。

D

2、在正方体AC1中，E是DD1的中点，求证D1B∥平面EAC。

3、在正方体AC1中，M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点，

1求证：（1）M,E,F,N四点共面；（2）平面MAN∥平面EFDB。 A

方法指导与点评：要证明平行关系，首先我们要深刻地理解和牢记证明平行关系的常用方法，解题是，我们的头脑里要同时展现这些方法，然后再根据图形的具体特征选择适当的方法；证明线面平行和面面平行一般情况可以转化为证明线线平行，所以我们一定要掌握证明线线平行的方法。证明线面平行时，关键在于在平面内找到一条直线与已知直线平行，这条直线如果已经存在，那直接证明即可，如果不存在，那需要作出这条直线，常用的作法有两种，构造平行四边形或三角形的中位线。（如练习1和练习2）

（1） 线线垂直（2）线面垂直（3）面面垂直 证明线线垂直的常用方法：

证明线面垂直的常用方法： 证明面面垂直的常用方法： 三垂线定理： 三垂线的逆定理： 练习：

、在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，M为BB1的中点，求证

D

1D1O平面AMC。

2、已知RtABC中，C900,PA平面ABC,且AEPB，

AFPC，E、F分别为垂足，求证：(1)AF平面PBC；(2)PB

平面AEF。

B

3、已知四棱锥PABCD,底面ABCD为菱形,DAB60

,PD平面ABCD ,点E为

AB的中点,求证:平面PED平面PAB.A

E

4、如图,四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABCBAD90,PABC

12AD.(1)求证:平面PAC平面PCD；

(2)在棱PD上是否存在一点E,使得CE平行于平面PAB?若存在,请确定E的位置; 若不

存在,请说明理由.

方法指导与点评：要证明垂直关系,首先,我们要深刻地理解和牢记证明垂直关系的常用方法,解题时,头脑里要同时展现这些方法,然后再根据图形的具体特征选择适当的证明方法.证明 线面垂直和面面垂直一般情况可以转化为证明线线垂直，所以我们一定要掌握证明线线垂直的

方法。一般情况下,要证明两条异面直线相互垂直,考虑通过证明线面垂直来证明线线垂直，如果给出线线之间的大小关系,我们 可以考虑用勾股定理来证明线线垂直.对于用证明两条直线所成的角为90

,在证明线线垂直时,可以分为两类,一类是直接证明这两条直线所成的角为

90

,另一类是通过证明这两条直线中的一条的平行线和另一条所成的角为90

,（如练习4，都

可用上述的证明方法证明）.

三、求值问题(解求值问题分三步:作,证,求)

1、异面直线所成的角

(1) 异面直线所成的角的定义和范围.(2) 作异面直线所成的角的平面角常用方法:平移法,补形法.

练习:

1、在直三棱柱ABCA1B1C1中，CBA900,点D,F分别是A1C1,A1B1的中点，若

ABBCCC1,求CD与AF所成的角的余弦值。

C

1C

A

B

2、在正四面体ABCD中, M,N分别是BC,AD的中点，求

AM与CN所成的角的余弦值。 D

3、正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等, 求AB1与BC1所成

的角的余弦值。

4、如图所示,正方体ABCDAB

1B1C1D1中, (1)A1C1与B1C所成

角的大小; (2)A

11C与AD1所成角的大小.方法指导与点评： 作异面直线所成的角的平面角有两种方法:平移法和补形法.一般情况下,如 果我们用平移法作异面直线所成的角的平面角时,我们可以考虑在其中一条直线的顶点或者中 点作另一条直线的平行线,常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形的 中位线(如练习

1、2),有时我们在其中一条直线的顶点或者中点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图 形的外面去,此时考虑两条都要平移.如何平移呢？关键在于找到这样一条连接两条异面直线 端点的线段,然后在这条线段的中点作这两条异面直线的平行线(如练习3中BB 1);补形法就

是在长方体或者正方体中,当我们在其中的一条直线的顶点作另一条直线的平行线时,这条直线跑到图形的外面去,此时,可以考虑在原长方体或者正方体的旁边补上一个大小相同的长方体或者正方体,从而作出异面直线所成的角的平面角.2、直线与平面所成的角

直线与平面所成的角的定义和范围：

练习：

1、在正方体AC1中，求(1)BC1与平面ACC1A1所成的角;(2)A1B1与平面A1C1B所成的角.3、四棱锥中SABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD

。已知

ABC450

,AB

2,BCSASB（1） 证明SABC；

（2） 直线SD与平面SAB所成的角.A

方法指导与点评：求线面角的关键是寻找两“足”(斜足和垂足).垂足的 寻找方法:一般可以考虑从斜线的顶点或中点作平面的垂线,通常用到面面垂直的性质定理(如练习1)和三垂线定理，过斜边的顶点或中点作平面的垂线.有时候,我们必须考虑垂足到底在哪里,所以必须掌握点在平面内的射影的定位问题(详见立体几何证明常用方法),(如练习1第2问),有时候.我们过斜线的定点或中点作底面的垂线时,垂足不好确定,此时,考虑用点到平面的距离把垂线段的长度给求出来(如练习3的第2问).3、二面角

1、二面角的定义和范围

2、二面角平面角的定义

3、作二面角平面的方法

（1）根据定义的图形的特征作图

（2）根据三垂线定理或者逆定理的方法 练习:

1、在正方体中ACC11，过顶点在正方体中B、D、C1作截面，

则二面角BDC1C的大小为

2、在正方体中AC1，二面角A1B1DB的大小为

C

13、如图，在直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB,F

为CE上的点，且BF平面ACE.(1) 求证：AE平面BCE; (2) 求二面角BACE的大小; (3) 点D到平面ACE的距离.4、如图，在底面为平行四边形的四棱锥

PABCD中，ABAC,PA平面

ABCD,且PAAB,点E是PD的中点。

（1） 求证：ACPB;

（2） 求证：PB∥平面AEC;

（3） 求二面角EACB的大小.C

E

D

5、如图所示，过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，设PAABa求：

（1）二面角BPCD的大小; （2）平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小。

方法指导与点评： 根据三垂线定理或者逆定理作二面角的平面角时,难点在于找到半平面的垂线,解决办法:线找面面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到半平面的垂线,然后作棱的垂线连接垂足与两垂线的端点,运用三垂线定理证明所求的角是二面角的平面角.如果二面角是钝角时,用三垂线法作二面角的平面角时,垂足跑到二面角的外面去,则可先求出二面角的补角的大小,然后求出二面角的大小(如练习4);若二面角无棱,则先作棱(常用线面平行的性质定理,如练习5).4、点到平面的距离 练习

1、在三棱锥SABC中，侧棱SASBSC7，AB6,BC8,AC10，求点S到

平面ABC的距离。

C

D

2、在棱长为a正方体中AC1中，求点B1到平面A1BC1的距离。

3、在四棱锥MABCD中，MD平面ABCD, MDa。ABCD是边长为a的棱

形,DAB600，E是MB的中点。（1）求证：平面EAC平面ABCD；（2）求二面

3、棱锥的底面是等腰三角形,这个等腰三角形的底边长为12cm,腰长为 10cm,棱锥的侧面与

底面所成的二面角都是45,求棱锥的侧面积和体积。(顶点在底面三角形的射影为该三角形的内心)

C

角AECB的正切值；（3）求点E到平面MDC的距离。

方法指导与点评： 点到平面的距离常用的方法:直接法和间接法.利用直接法求距离需要找到

点到两面内的射影.(必须掌握点在两面内射影的定位问题,详见立体几何证明常用方法),其中,我们经常考虑两垂点的性质定理与几何图形的特征性质;间接法常用的是等积法和转移法,转移法即根据“如果一条直线和一个平面平行,则线上的点到面的距离相等”(如练习3).

5、棱锥体积的计算和侧面积棱锥体积公式v1

3sh

练习:

1、如图所示，在直三棱柱ABCA900

1B1C1中，ABC,ABAC1.(1) 求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；

(2) 若直线A0

1C与平面ABC所成的角为45，求三棱锥的体积A1ABC。

2、在三棱锥SABC中，已知SABC,SABCl,SA、BC的公垂线段EDh，求

在三棱锥SABC的体积。

C

4、已知ABC中, AB2,BC1,ABC90 ,平面ABC外的一点P满足

PA

PB

PC2,求棱锥PABC的体积.( 顶点在底面三角形的射影为该三角形的

外心)

方法指导与点评：对三棱锥体积的计算要懂得灵活转换顶点的底，使得棱锥的高和底面面积能

求出来，其棱锥体积的方法常用的还有割补法。

、球、正四面体的内切球的半径与正四面体的高的比为多少?内切球的半径与外切球的半径的比

为多少?、在长方体AC'中,AB3,AD4,AA15,则该长方体的外切球的的直径为

6

13、已知球O的半径为R，正方体的各顶点都在球O的表面上，则正方体的棱长为

2

3证明线线平行的方法：

R

立体几何中证明的常用方法

（1）证明这两条直线所在的四边形为平行四边形（2） 构造三角形的中位线 （3）公理4（4）线面平行的性质（5）面面平行的性质定理 证明线面平行的方法：

（1）线面平行的判定定理 （2）面面平行的性质

证明面面平行的方法：

（1） 面面平行的判定定理（2）垂直于同一条直线的两平面互相平行 （3）平行的传递性 证明线线垂直的方法：

（1）线面垂直的定义 （2）三垂线定理和逆定理（3）勾股定理（4）证明这两条直线所成的角为90o（5）证明其中的一条直线的平行线和另一条直线垂直 证明线面垂直的方法：

4、水盆里的水冬天结冰时,一个球漂在水上,取出后(冰面未受损),冰面上留下一个直径为

24cm,深为8cm的空穴,那么该球的半径为( C )

A 8cmB

5、地球半径为R,在北纬30的圆上有A,B两点,A点在东经120,B点在西经60,则A,B

两点的球面距离为( D )A 

RB

3RD R RC 23

2

4（1） 线面垂直的判定定理 （2）面面垂直的性质 （3）平行线中一条垂直一个平面，另一条也

R，

6、设地球半径为R，在北纬450圈上有A、B两地，它们的纬线圈上的弧长等于求A、B两地的球面距离。(  R )

垂直这个平面 （4）直线垂直平行平面中的一个，也垂直另一个。

（5）如果两个相交的平面与第三个垂直，那么交线垂直于第三个平面。 证明面面垂直的方法：

（1）面面垂直判定定理（2）定义法 作二面角的平面角的常用方法：

（1）定义法（2）三垂线法（3）垂面法 点在平面内射影的定位：

法

1、通常先过这一点作平面内一条直线的垂线，然后再证明这条垂线就是平面的垂线 法

2、利用面面垂直的性质定理

法

3、如果一个角所在平面外一点到这个角两边的距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角

的平分线所在的直线上。

方法指导与点评：有关球面距离的计算,根据公式||R,需要先求出球心角,而要求球心角

则需要先求球心角所对的弦长,求出弦长后再根据图形的特征或者余弦定理求出球心角(如练习6),若球心角不是特殊角时则用反三角函数来表示.法

4、利用一些比较常用的结论： P为△ABC所在平面外的一点，

1）若P到点A，B，C的距离相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的外心

2）若P到直线AB，AC，BC的距离相等，那么点P在平面内的射影是△ABC的内心。 3）若平面PAB，PBC，PCA与平面所成的二面角大小相等，那么点P在平面内的射影是△ABC

的内心。

4）若直线PA与BC，PC与AB互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂心。 5）若直线PA，PB，PC两两互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂心。

6）若平面PAB，平面PBC，平面PCA两两互相垂直，那么点P在平面内的射影是△ABC的垂

心。

有了上述这些结论，我们就可以很快的判断出某个点在某一平面内的射影的位置方便解题。

《立体几何知识点.doc》

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