立体几何证明题（精选多篇）

推荐第1篇：立体几何证明题

11.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2.如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，AB//CD，PDAD，E是C A1 1D B

PB的中点，F是CD上的点且DF

PH为△PAD中AD边上的高.

（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH

1，AD1AB，2FC1，求三棱锥EBCF的体积；

（3）证明：EF平面PAB.

3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABE分11AC11，D，别是棱BC，（点D 不同于点C），且ACC1上的点DDEF，为B1C1的中点．

求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；

（2）直线A1F//平面ADE．

4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．

（1）证明：EF∥面PAD； （2）证明：面PDC⊥面PAD； （3）求四棱锥P—ABCD的体积．

5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.（I）求证：平面EFG平面PDC；

（II）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.

6.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，

,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，

A1DB1C

。求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面A1FD平面BB1C1C.

9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,ADAE,F

是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起

,得到如图5所示的三棱锥

ABCF,其中BC

(1) 证明:DE//平面BCF; (2) 证明:CF平面ABF; (3) 当AD

图4

时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.3

10.如图,在四棱锥PABCD

中,AB//CD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面

ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求

证:

(1)PA底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF平面PCD

（2013年山东卷）如图,四棱锥PABCD中,

ABAC,ABPA,AB∥CD,AB2CD,

E,F,G,M,N分别为

PB,AB,BC,PD,PC的中点

(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD; (Ⅱ)求证:平面EFG平面EMN

11.

推荐第2篇：立体几何证明题举例

立体几何证明题举例

(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.证明 (1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱， 所以C C1⊥平面ABC.

又AD⊂平面ABC，所以C C1⊥AD.

又因为AD⊥DE，C C1，DE⊂平面BC C1 B1，

C C1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BC C1 B1.

又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.

(2)因为A1 B1＝A1 C1，F为B1 C1的中点，所以A1F⊥B1 C1.因为C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F⊂平面A1 B1 C1， 所以C C1⊥A1F.

又因为C C1，B1 C1⊂平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1， 所以A1F⊥平面BC C1 B1.

由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．

(1)求证：BD⊥平面CDE；

(2)求证：GH∥平面CDE；

(3)求三棱锥D－CEF的体积．

[审题导引] (1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE；

(3)变换顶点，求VC－DEF.

[规范解答] (1)证明 ∵四边形ADEF是正方形，

∴ED⊥AD，

又平面ADEF⊥平面ABCD，

平面ADEF∩平面ABCD＝AD.

∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.

又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，

∴BD⊥平面CDE.

(2)证明 ∵G是DF的中点，又易知H是FC的中点，

∴在△FCD中，GH∥CD，

又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

(3)设Rt△BCD中，BC边上的高为h，

∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，

11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，

33∴h＝2C到平面DEF2，

1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如图所示，已知在三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－

BCM的体积．

[审题导引] (1)只要证明MD∥AP即可，根据三角形中位线定理可证；

(2)证明AP⊥BC；

(3)根据锥体体积公式进行计算．

[规范解答] (1)证明 由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.

(2)证明 因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，

所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.

又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.

因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.

又BC⊥AC，AC∩AP＝A，

所以BC⊥平面APC.

因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.

(3)由题意，可知MD⊥平面PBC，

所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，

11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.

33

推荐第3篇：高三立体几何证明题训练

高三数学 立体几何证明题训练

班级姓名

1、如图，在长方体

ABCDA1B1C1D1中，AA1ADa，AB2a，E、F分别为C1D

1、

A1D1的中点． （Ⅰ）求证：DE平面BCE；（Ⅱ）求证：AF//平面BDE．

D

1F

E

C1

A1

C

B

A

ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且AA1面ABCD

ADAA1，F为棱AA1的中点， 1的中点，M为线段BD

（1）求证：MF//面ABCD；（2）求证：MF面BDD1B1；

2、如图，已知棱柱

，DAB60，



DC

1B1

M

AF

C

A

3、如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中点，F为ED

的中点。 （I）求证：平面PAC⊥平面PCD；（II）求证：CF//平面BAE。

4、如图，

ABCDA1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。

（2）求三棱锥D

D1BC//平面C1DE；

（1）求证：BD

15、如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BAABCD，E为PC的中点。PA＝AD＝AB＝1。

AD,,CDAD,CD2AB,PA 底面

（1）证明：EB//平面PAD；（2）证明：BE平面PDC；（3）求三棱锥B-PDC的体积V。

6、如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，∠

1ABC = ∠BAD = 90，PA = BC =AD． (Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面PCD；

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB ？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

PB

C

D

7、已知ABCD是矩形，

AD4,AB2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA面ABCD.P

(1) 证明：PF⊥FD；(2) 在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD.

A E

B

F

D

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直

,AB,AF1,M

的中点。(Ⅰ)求三棱锥ABDF的体积； (Ⅱ)求证:AM//平面BDE；

8、如图，已知正方形

9、如图，矩形

是线段EF

为CE上的点，且

ABCD

中，

AD平面ABE，AEEBBC2，F

的体积.BF平面ACE。Ⅰ）求证：AE平面BCE；

（Ⅱ）求证；

AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥CBGF

C

B

10、如图，四棱锥P—ABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．

(I) 求证：平面PDC平面PAD；(II) 求证：BE//平面PAD．

11、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）证明FO//平面CDE；（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．

P

E

D

C

A

B

A

D

C

12、如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥C－BEP的体积．

13、如图，在矩形ABCD中，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求证：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱锥C′—ABD的体积。

14、如图,在四棱锥P

ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形

,侧面PAD底面ABCD，且

PAPD

(Ⅰ)

AD，若E、F分别为PC、BD的中点。 2

EF //平面PAD； (Ⅱ) 求证:平面PDC平面PAD；

推荐第4篇：届高考数学立体几何证明题

空间直线、平面的平行与垂直问题

一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题，“线面平行”与“面面平行”的转化问题

知识点：

一）位置关系：平行：没有公共点．

相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上．

相交包括垂直相交和斜交．

二）平行的判定：

（１）定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证）

（２）判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．（线面平行得面面平行）

（３）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（４）平行于同一个平面的两个平面平行．

（５）过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个．

三）平行的性质：

定义：两个平行平面没有公共点．（常用于反证）

性质定理一：若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．（面面平行得线线平行，用于判定两直线平行）

性质定理二：两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行，用于判定线面平行）

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．（用来判定直线与平面垂直）

一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．

夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．

二、“线线垂直”到“线面垂直”“线面垂直” 到“线线垂直”及三垂线定理

1、斜线长定理——从平面外一点所引的垂线段和斜线段中

①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

②相等的两条斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

③垂线段比任何一条斜线段都短

2、直线与平面所成的角

一条直线若是平面的斜线，那么它和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。特别地，若这条直线是平面的垂线，那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是0。090

结论：斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

3、三垂线定理及逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

逆定理：在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。

其主要作用有：①证明问题：如线线、线面、面面垂直的证明；

例题

1、（将线面平行转变为线线平行）：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.（Ⅱ）求证：PB//平面AEC；

2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF//BC．



2（1）证明FO//平面CDE；（线面平行时用） （2

）设BC直时用）

3、（将线面平行转变为面面平行）如图,长方体

ABCD-A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点，

AD=AA1a,AB=2a,

（线面垂D，证明EO平面CDF．

（Ⅰ）求证：MN//平面ADD1A1；

4、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB//DC,

ACBD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO

2,PO

PBPD.（Ⅲ）设点M在棱PC上，且

PMMC

,问为何值时，PC

平面BMD。

5、（将面面垂直转变为线面垂直）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，

PD底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；

（可用空间向量做）

6、（线线垂直先证线面垂直）：如图：三棱锥vABC中，AH侧面VBC且H是VBC的重心，BE是VC边上的高 （1）求证：VCAB

7、如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明PA⊥BF；

8、（利用空间向量解决线面平行垂直问题）如图，平面PAC平面ABC，ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，

PB，AC的中点，AC16，PAPC10．

（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

推荐第5篇：必修2 立体几何证明题 详解

迎接新的挑战!

必修2 证明题

一．解答题（共3小题）

1．（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．

（1）求证：PB∥平面AEC；

（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．

考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。

分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定

定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD

交AC于点O，连EO，

则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；

（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是

二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面

角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．

解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC

又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB

连BD交AC于点O，连EO，

则EO是△PDB的中位线，

∴EO∥PB

∴PB∥平面AEC

（2）取AD的中点F，连EF，FO，

则EF是△PAD的中位线，

∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，

∴EF⊥平面ABCD

同理FO是△ADC的中位线，

∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．

又

FO=AB=PA=EF

∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，

故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

2．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

考点：三垂线定理。

专题：作图题；证明题。

分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，

证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

解答：证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，

垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，

∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，

∵，

又∵AB⊥PE，

∴AB⊥平面PEO，

∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．

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必修2 证明题

在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，

∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，

即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．

点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．

3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．

（I）求证：A1C⊥BD；

（II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；

（III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值．

考点：三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。

专题：计算题；证明题；综合题。

分析：（I）连AC，要证A1C⊥BD，只需证明AC⊥BD，说明AC是A1C在平面ABCD

上的射影即可；

（II）说明∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角，解三角形A1CB1，求

直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；

（III）找出∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角，通过角三角形求二面角B1﹣CD

﹣B的正切值．

解答：解：（I）连AC，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，

底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD

又侧棱AA1⊥平面ABCD

∴AC是A1C在平面ABCD上的射影

∴A1C⊥BD（三垂线定理）；（4分）

（II）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，

所以B1C是A1C在平面BB1C1C上的射影

∴∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角，（6分）

在直角三角形A1CB1，A1B1⊥B1C，A1B1=2，

∴；（9分）

（III）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面BB1C1C

∴CD⊥B1C，CD⊥BC

∴∠B1CB为二面角B1﹣CD﹣B的平面角，（11分）

∴

二面角B1﹣CD﹣B的正切值为．

点评：本题考查三垂线定理，直线与平面所成的角，二面角及其度量，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

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推荐第6篇：高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

（1） 求证：EFGH是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H证明：在ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理，FG//BD,FG

(2) 90°30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。

22、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。E BCAC证明：（1）CEAB AEBE

同理，ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE

（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

D

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 证明：∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABC

BC面SACBCAD



A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SCAD,SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，

AN3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。 证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，

M



P

∴MQ//BC，∵ CB平面PAB ，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影 ，取 AB的中点D，连结 PD，∵PAPB,∴C

A

PDAB，又AN3NB，∴BNND

N ∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB B

1

（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且

MQBC

1，∴MN

2考点：三垂线定理

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE

又PAAEA，DE平面PAE （2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE300 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE， ∴ AH平面BCD． 考点：线面垂直的判定

推荐第7篇：分析立体几何证明题思路的方法

应用分析法分析立体几何证明题思路

立体几何是高中数学中很重要的一部分知识，对培养学生空间想象能力有很重要的意义，虽然近些年高考中立体几何的难度有所降低，但一直是高考的必考点，其中证明又是重要的考察点。有许多空间想象能力较弱的学生一见到立体几何证明题就无从下手，也不知道该怎么学习这部分知识，下面谈谈我在教学中的一些做法。

一、基础知识的准备，学生需要熟悉所学的公理、定理的条件和结论，并按照结论来分类，这样做的目的是让学生知道当要证明一个结论时需要选择的方法有哪些，然后根据条件来确定。立体几何证明里边常见的是位置的证明，有平行和垂直，又可分为六种，有线线、线面、面面平行和垂直。整理方式如下：

（一）线线平行

1.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；

2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行； 3.面面平行的性质定理：一个平面与两个平行平面的交线互相平行；

4.垂直于同一个平面的两条直线平行。

（二）线面平行

1.线面平行的判定定理：平面外一条直线平行于平面内的直线，则该直线与平面平行；

2.面面平行的性质定理：两个平面平行，则一个平面内的任意直线平行另外一个平面。

（三）面面平行

1.面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；

2.推论：两个平面内的两条相交直线分别平行，则两个平面互相平行。

（四）线线垂直

1.线面垂直的性质定理：直线垂直于平面，则该直线垂直于平面的内的所有的直线；

2.三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；

3.三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

（五）线面垂直

1.线面垂直的判定定理：直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线垂直于平面；

2.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

（六）面面垂直

面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。

二、掌握证明方法，用分析发来分析思路，用综合法来书写证明过程。分析时从结论出发，找结论成立的条件。下面用例题来说明。

例1（2014年全国卷2第18题） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD,E为PD中点。

（I）证明：PB//面AEC; (II)略。

分析：要证明的是线面平行，根据掌握的常用结论有线面的判定和面面平行的性质，从图中观察，PB所在的两个平面和面AEC并不平行，所以选择用判定，在平面内找一条直线与PB平行，现有的三条也不平行，这时就想到要做辅助线了，怎么做呢，由点E是中点容易想到用三角形的中位线所以连接BD交AC于点O，连接OE，O为BD的中点，OE为中位线，所以平行于PB，故能证明结论PB//面AEC成立。下面用简图说明；

要证明PB//面AEC

 PB//OE



OE是PBD的中位线

书写证明过程时从条件出发，证明如下： 证明：连接BD交AC于点O，连接OE。

点E是PD的中点

PB//OE OE面ACE

PB//面AEC

例题2（2013陕西第18题） 如图，四棱柱ABCDA\'B\'C\'D\'的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A\'O平面BB\'D\'D,ABAA\'2.(I)证明：A\'CBB\'D\'D; (II)略。

要证明线面垂直，能用的结论有线面垂直的判定和面面垂直的性质，这就有两种证明方法了，先用线面垂直的判定来分析。

分析1： A\'CBB\'D\'D

ACBD

A\'CBB\'

\'

BD面ACC\'A\' A\'COO\'

 

  

四边形ABCD是正方形 A\'O面ABCD A\'OOC A\'OOC    

已知 已知 在RtAA\'O中计算 已知 ACBD A\'OBD 四边形A\'OCO\'为正方形

 

分析完成后，按照从下往上的顺序书写证明过程，书写中完善条件。 证明:连接上底面对角线交于点O\'，连接OO\',O\'C.四边形ABCD是正方形 ACBD A\'O面ABCD

A\'OBD

ACA\'OO,AC、A\'O面ACC\'A\' BD面ACC\'A\' A\'CBD

A\'O平面BB\'D\'D,ABAA\'2.在RtAA\'O中A\'OOC 四边形A\'OCO\'为正方形 A\'COO\' A\'CBB\' A\'CBB\'D\'D

下面用面面垂直的性质来分析；

分析2： A\'CBB\'D\'D 

面ACC\'A\'面BB\'D\'D A\'COO\'

 

BD面ACC\'A\' 四边形A\'OCO\'为正方形

 

ACBD A\'OBD A\'OOC A\'OOC

    四边形ABCD是正方形 A\'O面ABCD 在RtAA\'O中计算 已知

 

已知 已知

证明过程略。

通过这样的方法多练习，掌握分析方法，熟练后基本的立体几何证明问题都可以解决。

推荐第8篇：高中数学立体几何常考证明题汇总1

2、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。证明：（1）

E

BCAC

CEAB

AEBE

B

ADBD同理，DEAB

AEBE

又∵CEDEE∴AB平面CDE （2）由（1）有AB平面CDE

C

D

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 证明：∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABCBC面SACBCAD



A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SCAD,SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.DA

D

A

BBC

1面AB1D1．求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC1

证明：（1）连结A1C1，设

AC11B1D1O1

，连结AO1

∵ ABCDA1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形

∴A1C1∥AC且 AC11AC又O1,O分别是AC11,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1AO

C

AOC1O1是平行四边形

C1O∥AO1,AO1

面AB1D1，C1O面AB1D1∴C1O∥面AB1D1

（2）CC1面A1B1C1D1CC !1B1D又

∵AC11B1D1

同理可证

ACAD11

，B1D1面A1C1C即A1CB 1D1

，又

D1B1AD1D1

面AB1D1AC1

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

6、正方体ABCDA\'B\'C\'D\'中，求证：（1）AC平面B\'D\'DB；（2）BD\'平面ACB\'.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，

又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，

且EF

AC，

2BDC90，求证：BD平面ACD

证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG

1//AC 2

//1BD，又ACBD,∴FG1AC，∴在EFG中，EG2FG21AC2EF2 FG

222



∴EGFG，∴BDAC，又BDC90，即BDCD，ACCDC∴BD平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

考点：三垂线定理

10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD 又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D

1G

EB四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB

又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE

，平面D1EF∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：AC1//平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，

∵E、O分别是AA

1、AC的中点，A1C∥EO

平面BDE，EO平面BDE，A1C∥平面BDE 又AC

1（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD 又BDAC，

ACAA1A

，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE

又PAAEA，DE平面PAE （2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE300 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （2）求证：ADPB；证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD 又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD

（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG 且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，

PB平面PBG，ADPB

平面MBD．

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO

1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，

A1AACA

，

平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O．∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1

2设正方体棱长为a，则AO1

32

3a，MO2a2． 2

4．

在Rt△ACA1M211M中，

9222

2OOMMOA1M∵AO，∴Aa．11

∵OM∩DB=O，∴ A1O⊥平面MBD．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 1

5、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE， ∴ AH平面BCD． 考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

C

证明：连结AC

⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C



A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，

∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=2a，

11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥

平面BSC．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）

推荐第9篇：高中数学立体几何常考证明题汇总 副本

立体几何常考证明题汇总答案

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点 （1） 求证：EFGH是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。证明：（1）

E

C

H D

BCAC

CEAB

AEBE

B

同理，

ADBD

DEAB

AEBE

C

又∵CEDEE∴AB平面CDE （2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC

B

考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，

A

D

D

1C

求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点

C

D

S

∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，AC1在平面BDE外 ∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.

A

C

B

D1A

1D

A

BBC1

面AB1D1．求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC1

C

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

6、正方体ABCDA\'B\'C\'D\'中，求证：（1）AC平面B\'D\'DB；（2）BD\'平面ACB\'.考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，

又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，

且EF

AC，

2BDC90，求证：BD平面ACD

证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG

1//AC 2

//1BD，又ACBD,∴FG1AC，∴在EFG中，EG2FG21AC2EF2 FG

222



∴EGFG，∴BDAC，又BDC90，即BDCD，ACCDC∴BD平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，

AN3NB

P



（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。 证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点， M∴MQ//BC，∵ CB平面PAB ，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影 ，取 AB的中点D，连结 PD，∵PAPB,∴CAPDAB，又AN3NB，∴BNND

N ∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB B

1

（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且

MQBC

1，∴MN

2考点：三垂线定理

10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD 又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D

1G

EB四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB

又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE

，平面D1EF∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：AC1//平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，

∵E、O分别是AA

1、AC的中点，AC1∥EO

平面BDE，EO平面BDE，AC又AC∥平面BDE 1

1（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD 又BDAC，

ACAA1A

，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE 又PAAEA，DE平面PAE （2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE30 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （2）求证：ADPB；

（3）求二面角ABCP的大小． 证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD 又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD

（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG 且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，

22

2PB平面PBG，ADPB

（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB 又BGAD，AD∥BC，BGBC PBG为二面角ABCP的平面角

在RtPBG中，PGBG，PBG4

5考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

平面MBD．

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO

1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，

A1AACA

，

平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1．1

设正方体棱长为a，则AO1

32

3a，MO2a2． 2

4．

在Rt△ACA1M211M中，

9222

2OOM∵AO，∴AMOA1Ma．11

∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 1

5、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，

∴ AH平面BCD．

考点：线面垂直的判定

A

16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

A1C⊥平面BC1DC证明：连结AC

⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影

BDA1C



A1C平面BC1D

同理可证A1CBC1

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，

∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=2a，

11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥

平面BSC．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）

推荐第10篇：立体几何平行证明题常见模型及方法[定稿]

立体几何平行证明题常见模型及方法 证明空间线面平行需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

平行转化：线线平行 线面平行 面面平行；

类型一：线面平行证明（中位线法，构造平行四边形法，面面平行法）

（1） 方法一：中位线法以锥体为载体

例1：如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，

点E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC；

变式1：若点M是PC的中点， 求证：PA||平面BDM；

变式2：若点M是PA 的中点，求证：PC||平面BDM。 EAB变式3如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，

(2) 以柱体为载体

例2在直三棱柱ABCA1B1C1,D 为BC的中点，求证：AC1||平面AB1D

变式1 在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式2在正方体ABCDA1BC11D1中，若E是CD的中点，求证：B1D||平面BC1E 变式 3如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，∠C=90°，点D是A1C1的中点.求证：BC1//平面AB1D；

方法2：构造平行四边形法

例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形， E、F

分别为AB,SC的中点．证明○1EF∥平面SAD○2BF∥平面SDE S

A

变式1：若E、F分别为AD,SB的中点．证明EF∥平面SCD

变式2若E、F分别为SD,AB的中点．证明EF∥平面SCB

例2如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC

1E1E

F

E

B

C

AD1

B1

方法3：面面平行法 （略）

举一反三

1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，

ADDE2AB，F为CD的中点.(1) 求证：AF//平面BCE； (2) 求证：平面BCE平面CDE；

E

A

C

F

2如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME； (3)求证：平面BDE⊥平面BCD.

3直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为AB中点．

(1)求证EF∥平面ADD1A1； （2）求几何体DD1AA1EF的体积。

第11篇：学生版 高中数学立体几何常考证明题汇总

立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

（1） 求证：EFGH是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。

ABC E 考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证： A1C//平面BDE。

考点：线面平行的判定



4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． B C D1 D B CD C

证明：

考点：线面垂直的判定

ASBC

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.D

1求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)A1C面AB1D1．证明：

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

A

D

O

A1

C1

BCB

6、正方体ABCDA\'B\'C\'D\'中，求证：（1）AC平面B\'D\'DB；（2）BD\'平面ACB\'.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，

且EF

BDC90，求证：BD平面ACD



A

B

AC，

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，

AN3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。

考点：三垂线定理

C

N

P

M

A

B

10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：A1C//平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE.

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长

为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD． （1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （2）求证：ADPB；

（3）求二面角ABCP的大小．

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD． 证

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

考点：线面垂直的判定

第12篇：(学生用)高中数学立体几何常考证明题汇总.

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, , , , E F G H 分别是边 , , , AB BC CD DA 的中点 (1 求证:EFGH 是平行四边形

(2 若

BD=AC=2, EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。

考点:证平行(利用三角形中位线 ,异面直线所成的角

2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, , BC AC AD BD ==, E 是 AB 的中点。 求证:(1 ⊥AB平面 CDE; (2平面 CDE ⊥平面 ABC 。 考点:线面垂直,面面垂直的判定

3、如图,在正方体 1111ABCD A BC D -中, E 是 1AA 的中点, 求证: 1//AC平面 BDE 。 考点:线面平行的判定 A D 1 C B D C H

D C E D B C N M P C B A

4、已知 ABC ∆中 90ACB ∠= , SA ⊥面 ABC , AD SC ⊥, 求证:AD ⊥面 SBC .考点:线面垂直的判定

5、已知正方体 1111ABCD A BC D -, O 是底 ABCD 对角线的交点 .求证:(1 C1O ∥面 11AB D ; (21 AC ⊥面 11AB D .考点:线面平行的判定(利用平行四边形 ,线面垂直的判定

6、正方体 ' ' ' ' ABCD A B C D -中,求证:(1 ' ' AC B D DB ⊥平面 ; (2 ' ' BD ACB ⊥平面 .考点:线面垂直的判定

7、正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中.(1求证:平面 A 1BD ∥平面 B 1D 1C ; (2若 E、F 分别是 AA 1, CC 1的中点,求证:平面 EB 1D 1∥平面 FBD ..考点:线面平行的判定(利用平行四边形

8、四面体 ABCD 中, , , AC BD E F =分别为 , AD BC 的中点,

且 EF AC = , 90BDC ∠= ,求证:BD ⊥平面 ACD 考点:线面垂直的判定 , 三角形中位线,构造直角三角形

9、如图 P 是 ABC ∆所在平面外一点, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点, 3AN NB = (1求证:MN AB ⊥; (2当 90APB ∠= , 24AB BC ==时,求 MN 的长。 考点:三垂线定理 S C B

A D D B C 1 B A 1

C A

10、如图,在正方体 1111ABCD A BC D -中, E、F、G 分别是 AB、AD、11C D 的中点 .求证:平面 1D EF ∥平面 BDG .

考点:线面平行的判定(利用三角形中位线

11、如图,在正方体 1111ABCD A BC D -中, E 是 1AA 的中点 .(1求证:1//AC平面

BDE ; (2求证:平面 1A AC ⊥平面 BDE .考点:线面平行的判定(利用三角形中位线 ,面面垂直的判定

12、已知 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD , 2AB =, 4PA AD ==, E 为 BC 的中点.

(1求证:DE ⊥平面 PAE ; (2求直线 DP 与平面 PAE 所成的角.考点:线面垂直的判定 , 构造直角三角形

13、如图, 在四棱锥 P ABCD -中, 底面 ABCD 是 0 60DAB ∠=且边长为 a 的菱形, 侧面 PAD 是等边三角形, 且平面 PAD 垂直于底面 ABCD .

(1若 G 为 AD 的中点,求证:BG ⊥平面 PAD ; (2求证:AD PB ⊥; (3求二面角 A BC P --的大小.考点:线面垂直的判定 , 构造直角三角形 , 面面垂直的性质定理,二面角的求法 (定义法

14、如图 1, 在正方体 1111ABCD A BC D -中, M 为 1CC 的中点, AC 交 BD 于点 O ,求证:1 AO ⊥平面 MBD .考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直

15、如图2,在三棱锥 A -BCD 中, BC =AC , AD =BD , 作 BE ⊥ CD , E 为垂足,作 AH ⊥ BE 于 H .求证:AH ⊥平面 BCD .考点:线面垂直的判定

17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC ,且∠ ASB=∠ ASC=60°,∠ BSC=90°,求证:平面 ABC ⊥平面 BSC .考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角

第13篇：立体几何

直线、平面平行与垂直的判定及其性质

一、知识复习

1.直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2.平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

3.直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

4.平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

5.直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足。

7.斜线的定义及斜线与平面所成的角：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，则这条直线叫做这个平面的斜线。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

8.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。棱为AB,面分别为α，β的二面角记做α-AB-β。

9.二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在两个半平面内分别作垂直与棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的角∠AOB叫做二面角的平面角。（二面角的大小是用它的平面角来度量的，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角。

6.直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

10.平面与平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

11.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

12.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

二、学法指导

1.证明直线与平面平行的方法

（1）定义法：转化为证明它们没有公共点

（2）判定定理：转化为证明线线平行

（3）利用面面平行的性质：转化为证明面面平行

2.证明平面与平面平行的方法

（1）定义法：转化为证明它们没有公共点

（2）判定定理：转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行

3.直线与直线垂直的判断方法

（1）用定义

（2）用平行的性质：两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直它

（3）用线面垂直性质：一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于这个平面内的任意直线

（4）用平面几何知识

4.直线与平面垂直的判断方法

（1）用线面垂直定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

（2）用线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

（3）用线面垂直性质：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面

（4）用面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（5）用面面平行性质：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面

（6）用面面垂直性质：如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面。

5.平面与平面垂直的判断方法

（1）用定义：证明这两个平面所成的二面角是直二面角

（2）用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

（3）用面面平行的性质：两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面。

第14篇：证明题

一．解答题（共10小题） 1．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．

2．如图，已知∠1+∠C=180°，∠B=∠C，试说明：AD∥BC．

3．已知：如图，若∠B=35°，∠CDF=145°，问AB与CE是否平

行，请说明理由．

分值：显示解析

4．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请

你完成下列填空，把解答过程补充完整．

解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，

∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）

∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）

又∠1=∠2，

从而∠CDA-∠1=∠DAB-

．（等式的性质）

即∠3=

．

∴DF∥AE．（

7．如图，

∠B=55°，∠EAC=110°，AD平分∠EAC，AD与BC平行吗？

为什么？根据下面的解答过程，在括号内填空或填写理由．

解：∵AD平分∠EAC，∠EAC=110°（已知）

∴∠EAD=

第15篇：证明题

一、听力部分

1—5 ACACB6—10 ABCBC11—15 ACABC16—20 CABAA

二、单选

21—25 ABBCC26—30 DBACC31—35 DCCDB

三、完形填空

36—40 BACCD41—45 AABAB

四、阅读理解

46-50 ABBCD51—55 BBABD56—60 DADCD 61—65 TFTFF

五、综合填空

66.hear67.advice

71.discu72.angry

六、情景交际

76—80CFAED

七 作文

该卷分工情况

第五大题：史永利

第七答题：孙荣花68.how to73.them董丽萍 陈志宏69.understanding70.feel74.true75.goes 周婷平晓蕾

第16篇：立体几何公式

解立体几何有两种方法，一种是几何法，一种是代数法

1.几何法

顾名思义，就是像初中学平面几何那样，通过空间想象来找角，边。这种方法比较简单，直观，写的步骤少而且算数容易。当让对应的要求，你必须有很高的空间想象力。尤其不要自以为是以为他是直角，就按照直角来算，一定要有根据，要注意 一，所要计算的角是否在一个面上。 二，两条边所组成的角是否是一个平面的角 三，定理一定要非常的熟练，并且能延伸 2.代数法

代数法就比较简单了，通过向量建系计算。攻无不克。 但要注意：

一，要仔细，有条理。算错一个数就全错了。

二，建系的时候，要看清直角关系，尽量找一个三条边都相互垂直的角来建系，，实在没有也最

其实立体几何不难，重要的是掌握方法，多练习，多思考

遇到的问题主要有：求空间距离；求空间角度（线面角、二面角、异面直线缩成的角）--注意范围

遇到问题，主要考虑的有：

1、几何法

即通常找辅助县。基本从平行线、中点等方面考虑，进而转化为平面问题。

2、向量法

这种方法比较死板，一般有垂直或知道角度时使用。可用于求角度问题

3、坐标法

这种方法可用范围较广，须建立空间直角坐标系。和几何法比较，计算量大，但是思考过程简单，一般有三条直线两两垂直时使用。在距离、角度等方面都有很好的效果。

我也是高二，立体几何这章学完了，这些都是总结后的一些方法。基本从这几个方面想问题，大题都一般可以解决。至於选择填空，就要方法灵活些了。 一点经验，希望有用。

先做个例子，比如怎么解决二面角问题

二面角类问题，找二面角的时候，估计百分之八九十都是先找一个面的垂线，再过垂足或与另外一个面的交点向交线做垂线，再连接。根据三垂线定理就可以证明那两条线的夹角就是二面角了。

说的你可能有点迷糊（我已经迷糊了），给你个题，你看看这个题，应该就明白了这个题我没解出来，但是找到二面角了。

记住，找二面角就是找一个面的垂线

看完这个估计以后你做有关二面角的问题就比较自如了，只要也可以达到85%，先找有没有已知的垂线，如果没有，再想办法做垂线，然后就是三垂线定理

1 做空间几何，首先是定义，一定要熟悉，只有这样，你才能应用自如，我们老师跟我们说过一句话，看到求证想判定，看到结论想性质，意思就是如果求证线面垂直，面面垂直一类的问题，就去想判定定理，判定定理是怎么说的，就根据判定定理需要的条件入手，去解决问题，这样你就会有一定的思路，解决问题也会更加容易。而看见结论想性质，就是说，如果题目已经说了面面垂直一类的结论，那么就要去想面面垂直的性质，垂直于交线就垂直于面，往往利用性质就很容易解题了。你一定要把书上的定义记住了，再找几个类型题，做一做，你就会找到感觉了

还有一点，比如你遇到二面角的问题，根据上面说的方法，你找不到二面角，一般情况下(我说的是一般情况下，也有一定的可能是不需要垂线的，但是我还没见过)不要去想其他的方法,就是去找垂线

你可能不信，但是只要你做题的时候坚持一两次，你就会坚信这个观点。

我也只能说这些了，其实我的成绩也不算太好，不能帮你太多，平时要注意与你们班上学习好的同学交流，问问他们怎么学，这对你很有帮助

哦，对了，还有一种方法，就是找不到垂线的时候，使用空间向量，也比较简洁

把定理记住是一定的，并且在做题的过程中要善于总结各个定理的使用及配合，比如求二面角，首先找两面的交线，然后找垂直这个直线的其它相关直线，一般求二面角的题会跟三垂线定理联系在一起，再比如证平行的问题，一般在一些相似三角形里，如果题目没有，就去构造。还有建议把空间向量学一学，如果实在没思路的话，也可以利用空间向量解决

判断二面角的平面角是锐角还是钝角应该不难,你看着它像锐角,就说它是锐角就行,不用特别去证明~

用向量法求二面角大小,主要是用公式

cosA=a*b/(|a|*|b|) a,b要分别取这构成二面角的两个平面的法向量,可能不止一个,取最简单的那个,然后两分别算出它们的模,即|a|,|b|,再代入公式即可 算出cosA的值后,再根据前面的判断 若是锐角,而算得cosA>0,则所求角为A 若是锐角,而算得cosA0,则所求角为(派-A) 若是钝角,而算得cosA

高中立体几何梳理(看完立即无难题!!!)

基本概念

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

2 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

（1）共面：平行、相交

（2）异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法

两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面

直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]

最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直

esp.直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

两个平面的位置关系：

（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

（2）两个平面的位置关系：

3 两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交

二面角

（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

（2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]

（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）

多面体

棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：

（1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形

（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

正棱锥

4 正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

（1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

（3） 多个特殊的直角三角形

esp： a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

Attention：

1、注意建立空间直角坐标系

2、空间向量也可在无坐标系的情况下应用

多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=2 正多面体只有五种：正

四、

六、

八、十

二、二十面体。

球

attention：

1、球与球面积的区别

2、经度（面面角）与纬度（线面角）

3、球的表面积及体积公式

4、球内两平行平面间距离的多解性

最主要的还是 第一；自信

第二；放好心态

第三；好好复习，不胡乱想与学习无关的事

第四；放松一下，不要紧张

第五；迎接高考把

祝你成功！！！

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

（1）判定直线在平面内的依据

（2）判定点在平面内的方法

公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。

（1）判定两个平面相交的依据

（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上

公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （1）确定一个平面的依据

（2）判定若干个点共面的依据

5 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 （1）判定若干条直线共面的依据

（2）判断若干个平面重合的依据

（3）判断几何图形是平面图形的依据

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

立体几何 直线与平面

空 间 二 直 线平行直线

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线

空 间 直 线 和平面 位 置 关 系

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线和平面平行——没有公共点

立体几何 直线与平面

直线与平面所成的角

（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角

（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角

（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角

三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直

三垂线逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直

空间两个平面 两个平面平行 判定

性质

（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（2）垂直于同一直线的两个平面平行

（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

6 相交的两平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面

二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角

平面角是直角的二面角叫做直二面角

两平面垂直 判定

性质

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内

立体几何 多面体、棱柱、棱锥

多面体

定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。

棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

棱锥 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。

球

到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。

欧拉定理

简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

第17篇：教案 立体几何

【教学过程】 *揭示课题 9 立体几何 *复习导入

一、点线面的位置关系

1 点与直线的位置关系：Aa Aa 2.点与面的位置关系： A A 3.直线与直线的位置关系：平行 相交 异面 4直线与平面的位置关系： 在平面内 相交平行

二、线面平行的判定定理

1.线线平行：平行于同一条直线的两条直线互相平行

2.线面平行：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行

3.面面平行：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行

三、线面平行的性质定理

1.线线平行：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

2.线面平行：如果一条直线和一个平面平行，并且经过这条直线的平面和这个面相交，那么这条直线和交线平行

3.面面平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

四、线面垂直的判定定理

1.线面垂直：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直

2.面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

五、线面垂直性质定理

1.线面垂直：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

2.面面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

六、柱、锥、球 1.棱柱、圆柱

S侧=底面周长高V体=底面面积高2.棱锥、圆锥

1底面周长母线2 1V体=底面积高3S侧3.球

S表=4r243 V体=r3*练习讲解 复习题A组 *归纳小结

本章立体几何部分概念偏多，需要着重分辨判定定理与性质定理的适用范围，将点线面位置关系化为最简单的线线判断，由此可提高位置判定的速度，能够更加地熟练运用各大定理。

第18篇：立体几何证明

立体几何证明

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

2

四个判定定理：

①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

②如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

③如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四个性质定理：

①一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

②两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③垂直于同一平面的两条直线平行。

④两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

(2)立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很

第19篇：立体几何复习

一、线线平行的证明方法

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、反证法。

3、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行。

4、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面

三、面面平行的证明方法

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直

第20篇：立体几何测试题

1、设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（B）

（A）若lm，m，则l（B）若l，l//m，则m

（C）若l//，m，则l//m（D）若l//，m//，则l//m

2、在空间，下列命题正确的是(D)

A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行

3、用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题正确的有：( C ) ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.

A.①②B.②③C.①④D.③④

4.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（ D ）

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

5、设,是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确（C）

A．若l,，则lB．若l//,//，则l

C．若l,//，则lD．若l//,，则l

6：已知m,n是两条不同直线，,,是三个不同平面，下列命题中正确的是（ D ）

A．若m‖,n‖,则m‖nB．若,,则‖

D．若m,n,则m‖n C．若m‖,m‖,则‖

7：设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是(D)

A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥

C.若，m,则mD.若，m，m,则m∥

8：已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：

①若m∥，n∥，则m∥n；②若m∥，n⊥，则n⊥m；③若m⊥，m∥，则⊥． 其中真命题的个数是( C)

A．0B．1C．2D．3

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