011 数学科学学院
初试考试大纲：
617 数学分析
一、考试性质
数学分析是数学相关专业硕士入学初试考试的专业基础课程。
二、考试目标
本考试大纲制定的依据是根据教育部颁发的《数学分析》教学大纲的基本要求，力求反映与数学相关的硕士专业学位的特点，客观、准确、真实地测评考生对数学分析的掌握和运用情况，为国家培养具有良好数学基础素质和应用能力、具有较强分析问题与解决问题能力的高层次、复合型的数学专业人才。
本考试旨在测试考生对一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论等知识掌握的程度和运用能力。要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论；掌握数学分析的基本论证方法和常用结论；具备较熟练的演算技能和较强的逻辑推理能力及初步的应用能力。
三、考试形式和试卷结构
（一）试卷满分及考试时间
本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）答题方式
答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成，所有题目的答案必须写在答题纸相应的位置上。考生不得携带具有存储功能的计算器。
（三）试卷结构
一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论及其他（隐函数理论、场论等）考核的比例均约为1/3，分值均约为50分。
四、考试内容 (一) 变量与函数
1、实数：实数的概念、性质，区间，邻域；
2、函数：变量，函数的定义，函数的表示法，几何特征（有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数），运算（四则运算、复合函数、反函数），基本初等函数，初等函数。
(二) 极限与连续
1、数列极限：定义（-N语言），性质（唯一性，有界性，保号性，不等式性、迫敛性），数列极限的运算，数列极限存在的条件（单调有界准则（重要lim(1n)e1n的数列极限n），迫敛性法则，柯西收敛准则）；
2、无穷小量与无穷大量：定义，性质，运算，阶的比较；
3、函数极限：概念（在一点的极限，单侧极限，在无限远处的极限，函数值趋于无穷大的情形（-, -X语言））；性质（唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性）；函数极限存在的条件（迫敛性法则，归结原则（Heine定理），柯西收敛准则）；运算；
sinx11lim(1)xex
4、两个常用不等式和两个重要函数极限（x0x，x）；
lim
5、连续函数：概念（在一点连续，单侧连续，在区间连续），不连续点及其分类；连续函数的性质与运算（局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性，介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性）；初等函数的连续性。
（三）实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
1、概念：子列，上、下确界，区间套，区间覆盖；
2、关于实数的基本定理：六个等价定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理）；
3、闭区间上连续函数性质的证明：有界性定理的证明，最值性定理的证明，零点存在定理的证明，反函数连续性定理的证明；一致连续性定理的证明。
（四）导数与微分
1、导数：来源背景，定义（在一点导数的定义、单侧导数、导函数），导数的几何意义，简单函数的导数（常数、正弦函数、对数函数、幂函数），求导法则（四则运算，反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程所表示函数的求导法则）；
2、微分：定义，运算法则，简单应用；
3、高阶导数与高阶微分：定义，运算法则。
（五）微分学基本定理及导数的应用
1、中值定理：费马（Fermat）定理，中值定理（罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西(Cauchy)中值定理）；
2、泰勒公式及应用（近似计算，误差估计）；
3、导数的应用：函数的单调性、极值和最值，函数凸性与拐点，平面曲线的曲率，七种待定型与洛必达（L’Hospital）法则；
（六）不定积分
1、不定积分:概念，基本公式，运算法则，计算（换元积分法、分部积分法、有理函数积分法，其他类型积分）。
（七）定积分
1、定积分：来源背景，概念，函数可积的必要条件，达布上、下和，定积分存在的充要条件，可积函数类（闭区间上的连续函数，分段连续函数，单调有界函数)，定积分的性质，定积分的计算（基本公式、换元公式、分部积分公式）；
2、变上限定积分：定义，性质。
（八）定积分的应用
1、定积分在几何上的应用：平面图形的面积，曲线的弧长，截面已知的立体体积，旋转体的体积，旋转曲面的面积；
2、定积分在物理上的应用：功、压力、引力；
3、微元法。
（九）数项级数
1、预备知识：上、下极限；
2、级数的敛散性：无穷级数收敛、发散等概念，柯西收敛原理，收敛级数的基本性质；
3、正项级数：定义，敛散判别（基本定理，比较判别法，柯西判别法，达朗贝尔判别法，柯西积分判别法）；
4、任意项级数：绝对收敛级数与条件收敛级数的概念和性质，交错级数与莱布尼兹判别法，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法。
（十）反常积分
1、反常积分：无穷限的反常积分的概念、性质，敛散判别法（柯西收敛原理，比较判别法，狄利克雷判别法、阿贝尔判别法）；无界函数的反常积分的概念、性质，敛散判别法。
（十一） 函数项级数、幂级数
1、函数项级数的一致收敛性：函数项级数以及函数列的概念，函数项级数以及函数列一致收敛的概念，一致收敛判别法（柯西收敛原理，优级数判别法，狄利克雷判别法与阿贝尔判别法）；一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）；
2、幂级数：阿贝尔第
一、第二定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质（连续性，可积性，可微性），泰勒（Taylor）级数与几种常见的初等函数的幂级数展开。
（十二）傅里叶级数
1、傅里叶级数：引进，三角函数系的正性, 傅里叶系数与傅里叶级数，以2为周期的函数的傅里叶级数展开，以2L（L0）为周期的函数的傅里叶级数展开，奇偶函数的傅里叶级数展开，傅里叶级数收敛定理的证明。
（十三）多元函数的极限与连续
1、平面点集：邻域，点列的极限，开集，闭集，区域，平面点集的几个基本定理；
2、二元函数：概念，二重极限和二次极限，连续性（连续的概念、连续函数的局部性质及有界闭区域上连续函数的整体性质）。
（十四）偏导数和全微分
1、偏导数和全微分：偏导数的概念，几何意义；全微分的概念；二元函数的连续性、可微性，偏导存在的关系；复合函数微分法（链式法则）；由方程组所确定的函数（隐函数）的求导法；
2、偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；方向导数与梯度；泰勒公式。
（十五）极值和条件极值
1、极值：概念，判别（必要条件、充分条件），应用，最小二乘法；
2、条件极值：概念，拉格朗日乘数法，应用。
（十六）隐函数存在定理
1、隐函数：概念，存在定理；
2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式。
（十七）含参变量积分与含参变量广义积分
1、含参变量的正常积分：定义，性质（连续性、可微性、可积性）；
2、含参变量的反常积分：定义，一致收敛的定义，一致收敛积分的判别法（柯西收敛原理、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄立克雷判别法），一致收敛积分的性质（连续性、可微性、可积性）；
3、欧拉积分：函数和函数的定义、性质。
（十八）重积分的计算及应用
1、二重积分：二重积分的概念，性质，计算（化二重积分为二次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；
2、三重积分：计算（化三重积分为三次积分, 换元法（一般变换，柱面坐标变换，球面坐标变换））；
3、重积分的应用：立体体积，曲面的面积，物体的质心，矩，引力，转动惯量；
（十九）曲线积分与曲面积分
1、曲线积分：第一型曲线积分及第二型曲线积分的来源背景、概念、性质、应用与计算，两类曲线积分的联系；
2、曲面积分：第一型曲面积分及第二型曲面积分的来源背景、概念、性质、应用与计算，两类曲面积分的联系。
（二十）各种积分间的联系和场论初步
1、各种积分间的联系公式：格林（Green）公式，高斯（Gau）公式，斯托克斯(Stokes)公式；
2、曲线积分与路径无关性：四个等价条件。
3、场论初步：场的概念，梯度，散度和旋度，保守场，哈密顿算子（算子）。
856 高等代数
一、考试性质
高等代数是全国数学专业硕士入学初试考试的专业基础课程。
二、考试目标
本考试大纲的制定力求反映数学硕士专业学位的特点，科学、准确、规范地测评考生高等代数的基本素质和综合能力，具体考察考生对高等代数基础理论的掌握与运用高等代数的基本概念和论证方法分析问题解决问题的能力。
本考试旨在三个层次上测试考生对高等代数理论知识掌握的程度和运用能力。三个层次的基本要求分别为：
1、概念理解： 对高等代数理论的基本概念的正确理解考核。
2、分析判断： 用高等代数基本理论来分析判断某些论述的正确与否。
3、综合运用： 运用所学的高等代数理论知识来解决综合性题目。
三、考试形式和试卷结构
（一）试卷满分及考试时间
本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
（二）答题方式 答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成，所有题目的答案必须写在答题纸相应的位置上。考生不得携带具有存储功能的计算器。
（三）试卷结构
基本概念理解与计算考核的比例约为16.7%，分值为25分； 分析判断考核的比例约为23.3%，分值为35分； 综合运用考核的比例约为60%，分值为90分。
四、考试内容
（一）多项式理论
1、一元多项式的一般理论 概念、运算、导数及基本性质；
2、整除理论
整除的概念、最大公因式、互素的概念与性质；
3、因式分解理论
不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等；
4、根的理论
多项式函数、多项式的根、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数的关系等；
5、多元多项式的一般理论 多元多项式概念、对称多项式。
（二）矩阵理论
1、行列式理论与计算
行列式的概念、性质以及计算；Cramer法则。
2、线性方程组
向量、向量组的线性关系；线性方程组的解的结构。
3、矩阵
矩阵的各种运算及运算规律，逆矩阵的求法，分块矩阵的相应运算及性质。 4．二次型 二次型基本概念，配方法、合同法化二次型为标准形，正定二次型与正定矩阵的判定与证明。
（三）线性空间论
1、线性空间
线性空间的定义与性质；线性相关性及有关结论；秩与极大线性无关组；线性空间的基与维数；基变换与坐标变换公式；线性子空间；子空间的和与直和；线性空间的同构。
2、线性变换
线性变换及其基本性质；线性变换的运算；线性变换的矩阵；相似矩阵；矩阵的特征值与特征向量；线性变换的特征值与特征向量；哈密顿凯莱定理；相似对角化；线性变换的值域与核；不变子空间；不变子空间与线性变换的矩阵的化简；若尔当标准形；最小多项式。
3、矩阵
矩阵的概念； 矩阵的等价； 矩阵在初等变换下的标准形、不变因子与行列式因式； 矩阵的初等因子；求 矩阵的标准形的方法；矩阵相似的充分必要条件；若尔当标准形；有理标准形。
4、欧几里得空间
内积和欧几里得空间；长度、夹角与正交；度量矩阵；标准正交基；正交矩阵；欧氏空间的同构；正交变换；正交子空间与正交补；实对称矩阵的标准形；对称变换；向量到子空间的距离；最小二乘法。
复试考试大纲：
计算方法
一、考试性质
《计算方法》是中国海洋大学计算数学专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。
二、考试目标
计算方法是数学类专业的重要专业基础课，介绍数值计算的基本方法及基本理论，使学生掌握把数学问题近似求解的“数值”计算方法，通过上机实习加深对基本方法的理解并提高实际运用和编程实现能力，为进行计算方法理论及应用的深入研究打下基础。
本科目旨在考查考生对计算数学基础理论知识的掌握及考生的基本数值分析能力。 主要从如下三方面测评考生的计算数学基本素质：
1、基本概念和基本理论的掌握
2、基本数值方法的构建及分析
3、综合算法分析及应用
三、考试形式和试卷结构 (一)试卷满分及考试时间
本试卷满分为100分，考试时间为120分钟
(二)答题方式
答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成，答案必须写在答题纸上。考生不得携带计算器。
(三)试卷结构
数值逼近的基本概念和基本理论比例约为30%，分值约为30分； 代数方程的数值方法及分析比例约为40%，分值约为40分； 微分方程数值解法及分析比例约为30%，分值约为30分。
四、考试内容
（一）数值逼近基础
1．误差（误差来源，误差限，有效数字，误差传播，避免误差的注意事项） 2．插值法（Lagrange插值，Hermite插值，分段插值，分段Hermite插值, 样条插值，数值微分）
3．数据拟合法（最小二乘原理，多变量拟合，正交多项式拟合） 4．数值积分（梯形、Simpson公式及误差估计，复化公式及误差估计，加速公式与Romberg求积，Gau型公式等）
（二）代数方程数值方法
1．线性代数方程组的直接法（高斯消去法、主元消去法, 矩阵分解法，误差分析）
2．线性代数方程组的迭代法（几种常用迭代法收敛性及误差估计，判别收敛的条件，收敛速率）
3．矩阵特征值和特征向量的计算（幂法，反幂法，QR算法 Jacobi方法） 4．非线性代数方程的解法（对分区间法，迭代法，迭代收敛的加速，Newton法，弦位法抛物线法，最速下降法）
（三）微分方程数值方法
1．常微分方程的数值解法（几种简单的数值解法，R-K方法，线性多步法，预估校正公式，自动选取步长及事后估计）
2．偏微分方程的差分解法（差分格式的建立，收敛性，稳定性，高维问题的交替方向法）
实变函数
一、考试性质
《实变函数》是中国海洋大学计算数学专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。
二、考试目标
实变函数是近代分析数学的基础，是数学分析的延续与拓广。 考试以考察基本知识为主，考核对重要定理的理解和应用。
三、考试形式和试卷结构 (一)试卷满分及考试时间
本试卷满分为100分，考试时间为120分钟
(二)答题方式 答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成，答案必须写在答题纸上。考生不得携带计算器。
(三)试卷结构
填空题与简答题占35%，证明题占65%。
四、考试内容
（一）集合论
1集合的各种运算，上、下限集的定义 2集合的对等，集合的基数，集合的可列性；
3开集、闭集、完全集、稠密集、稀疏集的概念及其性质；点集的内部、导集、闭包、边界；Cantor三分集的结构和性质；
4点到集合的距离，集合间的距离。
（二）可测集
1.外测度、测度和可测集的概念及其性质，集合可测性的判别方法； 2.开集、闭集的可测性，以及它们与可测集之间的联系。
（三）可测函数
1.可测函数的概念及其性质；
2.函数可测性的判别方法，其与简单函数的联系；
3.可测函数列几种收敛性之间的关系（包括处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛、测度收敛）；
4.可测函数和连续函数的联系
5.叶果洛夫定理、里斯定理、鲁津定理的含义及应用；
（四）Lebesgue积分
1.Lebesgue积分的定义及其性质，函数可积性的判定；
2.积分收敛定理（勒维定理，法杜定理和Lebesgue控制收敛定理，Vitali定理）及应用；
3.Riemann积分与Lebesgue积分之间的区别和联系； Fubini定理。
数学物理方程
一、考试性质
《数学物理方程》是中国海洋大学计算数学专业硕士研究生入学考试复试笔试科目。
二、考试目标
《数学物理方程》课程是近代分析学的重要分支，是物理学及其它自然科学中出现的偏微分方程为主要研究对象，是先修课程数学分析、高等代数、空间解析几何、普通物理、复变函数、常微分方程、泛函分析等课程的延续与拓广。 考试以考察基本知识和计算能力为主，考核对重要定理的理解和应用。
三、考试形式和试卷结构 (一)试卷满分及考试时间
本试卷满分为100分，考试时间为120分钟
(二)答题方式
答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成，答案必须写在答题纸上。考生不得携带计算器。
(三)试卷结构
填空题与简答题占40%，证明题占60%。
四、考试内容
（一）绪论
数学物理方程含义。
（二）波动方程
（1）方程的建模过程; (2) 达朗贝尔公式的推导过程的理解；（3）各种情形中特征问题的特征值与特征向量； (4) 球平均法与降维法的基本原理的理解; （5）二维与三维情形的差异和联系； （6） 能量法的应用
（三）热传导方程
（1）方程的建模过程；（2）具第三类边界条件的特征问题；（3）积分变换法；（4）极值原理及其应用；（5）解的衰减估计值分析。
（四）调和方程
（1）方程的建模过程；（2）格林函数及性质；（3）弱极值原理与强极值原理应用；（4）特殊区域（二维及三维空间）中格林函数及推导（5）调和函数性质。
（五）二阶线性偏微分方程的分类与总结
（1）方程分类与标准形式的转化；
概率论与数理统计
一、考试性质
《概率论与数理统计》是中国海洋大学数学科学学院硕士研究生入学考试复试笔试科目。
二、考试目标
概率论与数理统计是数学类专业的重要专业必修课，要求学生掌握概率论与数理统计的基本理论和基本方法。对相关定理和统计方法有较为深刻的理解，具有分析问题和解决问题的基本技能，为深入学习随机过程和高级数理统计知识打下扎实基础。
本科目旨在考查考生对概率论与数理统计基础理论、基本知识的掌握情况。 主要从如下三方面测评考生的概率论与数理统计方面的基本素质：
1、基本概念和基本理论的理解、掌握；
2、基本解题能力；
3、综合运用理论知识分析问题、解决问题的能力。
三、考试形式和试卷结构 (一)试卷满分及考试时间
本试卷满分为100分，考试时间为120分钟
(二)答题方式 答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成，答案必须写在答题纸上。考生不得携带计算器。
(三)试卷结构
基础知识和基本概念理解部分约占分值30%；
运用所学知识经过基本分析解决问题部分约占分值40%；
运用基本理论和基本方法综合分析问题解决问题部分约分值30%。 概率论部分与数理统计部分各占分值50%；
四、考试内容
（一）概率论部分
1、概率论的基本概念：样本空间，随机事件，概率，条件概率，独立性。
2、随机变量及其分布函数，密度函数
3、二元随机变量，分布函数，条件分布，边际分布，相互独立。
4、数学特征。重要不等式。
5、特征函数，大数定律，中心极限定理。
（二）数理统计部分
1、数理统计基本概念：总体，个体，样本，统计量，经验分布函数，抽样分布定理，分位数。
2、估计理论：矩法估计，极大似然估计，无偏性，有效性，相合性，一致最小方差无偏估计，充分性，完备性，区间估计，贝叶斯估计。
3、假设检验：正态总体参数的假设，指数分布，二项分布的假设检验，非参数假设检验。
4、方差分析：单因素方差分析，两因素方差分析。
5、回归分析：线性模型，最小二乘估计，最小二乘估计的性质，线性模型中回归系数的假设检验，预测与控制。
