高中空间向量试题

上杭二中2006—2007学年第二学期

高二数学单元试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2 a－b互相垂直，则k的值是（）

137A．1B．C．D．55

52．已知32,2,则5与3数量积等于

A．－15 B．－5 C．－3 （） D．－

13．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是

（） A． B．2

11111D．OM 2333

34．已知向量a＝（0，2，1），b＝（－1，1，－2），则a与b的夹角为（） C．OM

A．0°B．45°C．90°D．180°

5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为

A．2（） B．3C．4D．

56．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）

A． 0B．1C． 2D．

317．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则AB+(BDBC)等于（2

）



A．AGB． CGC． BCD．2BC8．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa，CBb，CC1c， 则A1B（） 

高二数学共 6 页第 1 页



9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C

1A．有相同起点的向量C．共面向量

A． abcB．abcC． abcD． abc

是（）

B．等长向量D．不共面向量

10．已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点，且()



3|AC||AB|

,则点的坐标是

715310757

3A．(,,)B．(,3,2 )C． (,1,)D．(,,)

22283322

211．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0，则△BCD是 （）

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定 12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD—

A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（） A．

223B．CD

55510

（理科）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为（）A．

32B．C．D．

151011

二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）

13．已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若a∥b,则与的值分别．

14．已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m，n的夹角为 ．

bc)a，15．已知向量a和c不共线，向量b≠0，且(ab)c(d＝a＋c，则d,b．

16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A

为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是

60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长。

上杭二中2006—2007学年第二学期

高二数学单元测试答题卷

13．________、_________

15．_________________．90°16．_____________________．6

11．14．____________________．60°

52三．解答题（本大题6小题，共74分）

17．（本小题满分12分） 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B

1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．

解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)

→→→→

(2)∵ AB1 ＝ (0,

-2, 2)，ED1 ＝ (0, 1, 2)∴ AB|1 |＝ 22 ，ED|

1→→

|5 ，AB1 ED· 1 ＝ 0－2＋4＝2, →→

→→ABED·210

∴ cos AB1 ， ED1 ＝＝＝∴→→10．

2

5AB|1 |·ED| 1 | AB1与ED1所成的角的余弦值10 ． 10

18．（本小题满分12分）

在正方体ABC，如图Ｅ、Ｆ分别是BB1，ＣＤ的中点， DA1B1C1D1中（1）求证：D1F平面ADE； （2）

解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，

则D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），

E（1，1，

），F（0，

，0），

则D1＝（0，，－1），DA＝（1，0，0），

21

＝（0，1，），则D1＝0，

x

D1＝0， D1，D1.D1F平面ADE.

12

，－

（２）B1（1，1，1），C（0，1，0），故CB1＝（1，0，1），＝（－1，－

12

），

CB1＝－1＋0－

＝－

32



，

11

44

3

2，

则



32

322



3.150

19．（本小题满分12分）

BCD中如图，在四棱锥PA，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，

PDDC， E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.

DB；（1）证明 PA∥平面E

（2）证明PB平面EFD． 解：

解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设DC(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.

a.

,0,0),依题意得A(a(0,0P,),(0a,,E)

aa

22

底面ABCD是正方形， G是此正方形的中心，

aa

故点G的坐标为(,,0)且PA(a,0,a),EG(a,0,a).

2222



PA2EG.这表明PA∥EG.

而EG

平面EDB且PA平面EDB，PA∥平面EDB。

aa

0,(2)证明：依题意得B(a,a,0),PB(a,a,a)。又DE(

22PBDE, 由已知EFPB

，且EF

a2a2

故00

22

DEE,所以PB平面EFD.

20．（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°， SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD． （1）求SC与平面ASD所成的角余弦； （2）求平面SAB

和平面SCD所成角的余弦． 解

：

（1

C

（2

21．（本小题满分12分） 如图，在底面是菱形的四棱锥P—

ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）证明PA⊥平面ABCD； （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小

（1）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，

2222由PA+AB=2a=PB知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（2）解作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

又PE : ED=2 :

121，所以EGa,AGa,GHAGsin60a.

333

从而tan

EG,30.GH3

22．（本小题满分14分）



P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，AB2,1,4,AD4,2,0,

AP1,2,1.

（1）求证：PA平面ABCD.



（2）对于向量a(x1,y1,z1),b(x,2y,2z)2

，定义一种运算：



(ab)cx1y2z3x2y3z1x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，

试计算



(ABAD)AP

(ABAD)AP

的绝对值;说明其与几何体P-的绝对值的几何意义（几何体P-

ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算

ABCD叫四棱锥，锥体体积公式：V=底面积高）.

解：

（1）APAB(2,1,4)(1,2,1)2(2)40 APAB 即APAB

APAD( 1,2,1)(4,2,0)440



APAD即PAADAD面ABCD

（2）ABADAP48,又cosABAD





1ABADsinABADAP16 V3BADAP猜测：A在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱



的体积）

空间向量

空间向量

向量空间总结

空间向量整理

空间向量复习

数学空间向量

空间向量挑大梁

向量空间证明

空间向量乘积

向量空间证明

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