线面平行证法探讨
惠来一中方文湃
今年我校高一级第一学期质检考试试题第17题第一小题的题目如下： 题目：如图，四边形ABCD是正方形，
MA⊥平面ABCD，MA∥PB。
求证：DM∥面PBC
这是一道证明线面平行的经典题目，
大家知道，线线平行、线面平行、
B面面平行在一定条件下，是可以相
互转化的。其关系如下图：
线∥面面∥面
一、转化为线线平行
证明线面平行的一种方法思路，是转化为线线平行，其关键是在已知平面内找到一条直线与之平行，而 “DM∥面PBC”(线面平行)是待证的正确结论，过已知直线DM的任一截面与平面PBC的交线l显然均与直线DM平行。这就给我们指出了找“线线平行”的平行线的一条康庄大道，所以“线线平行”与“线面平行”是可以互相转化的，辅助截面是实现这一转化的“桥梁”。
接下来的问题，是怎样作出辅助截面。其理论依据有“两平行线确定一个平面”、“两相交线确定一个平面”。于是有下面两种不同解法：
[法一]：运用“两平行线确定一个平面”做出辅助截面。
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1过M作MN∥AB，交PB于N，连结CN。 ∵MA∥PB，∴ABNM是平行四边形 即MN∥AB，MN=AB ∵DC∥AB，DC=AB ∴MN∥DC，MN=DC 即DCNM是平行四边形 ∴DM∥CN，
N
B
∵CNÌ面PBC，DMË面PBC，∴DM∥面PBC
[法二] 运用“两相交直线确定一个平面”做出辅助截面。 若PB=MA，易证DM∥CP，从而DM∥面PBC； 若PB¹MA，设PM∩BA=E， ED∩BC=F（如图所示）。 ∵MA∥PB，AD∥BC ∴EM：EP=EA：EB=ED:EF
B∴DM∥FP，
∵FPÌ面PBC，DMË面PBC
∴DM∥面PBC
小结：线面平行找平行线，辅助截面来帮忙。
二、转化为面面平行
证明线面平行的的另一种方法思路，是转化为面面平行，其关键是在过已知直线的平面中找到一个平面与已知平面平行。而证明“面面平行”的一种方法是，寻找“线线平行”证“线面平行”，得出“面面平行”，再由“面面平行”得出 “DM∥面PBC”(线面平行)。所以 “线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是相互
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密切、相互转化的关系。
[法三]：∵MA∥PB，AD∥BC PBÌ面PBC，MAË面PBC，BCÌ面PBC，ADË面PBC ∴MA∥面PBC ，AD∥面PBC ∵MA∩AD=A ∴面MAD∥面PBC ∵DMÌ面MAD∴DM∥面PBC
[法四]：对于本题，转化为面面平行的一种比较方便的方法是证明两个平面MAD、PBC同垂直于同一条直线AB（略）
B
三、向量工具
自从新教材引入向量，向量作为解决几何问题一个行之有效的工具，由于避开了几何繁琐的推理过程，而受到同学们的青睐。向量来解决几何问题首先必须将几何问题转化为向量的运算，最后还要将运算结果翻译几何的结论。
[法五]：容易证明AB⊥PB，AB⊥BC，所以AB是平面PBC的法向量；证明AB
⊥平面MAD可得AB⊥MA，于是MA^AB，故DM∥面PBC
[法六] ∵MA∥PB，∴存在lÎR，使AM=lPB，
∵DA∥CB，DA=CB，∴DM=DA+AM=CB+lBP
CB、BP 是共面向量，∴DM∥面PBC 即 DM、
练习题：如图，已知矩形ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别
1
1在对角线BD,AE上，且BMBD,ANAE
3
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B
C
求证：MN//平面CDE
具体解法，仿照上述。
“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。以上各种方法，看似难以想到，毫不相干，其实每一种方法都有它的根源、有它的理论根据。所谓有“果”，必有“因”，找到它的“因”，自然能够修成“正果”。我们在教学中提倡“授之以鱼”，不如“授之以渔”。我们不但要教给学生解题的方法，还要让学生学会解一大类题，融会贯通，达到“举一仿三，触类旁通”的效果，更要让他们理解各种方法的由来，以及其体现的数学思想。
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