打破思维定势，巧学二次函数
二次函数是贯穿初高中数学教学的重点,也是历年高考的热点,更是学生学习中的一个难点.在初、高中阶段,教材对其处理方式是不同的.初中阶段,教材是在明处让学生在全体实数上感知二次函数的整体性态，而高中阶段,教材则在暗处用后继知识不断深化对二次函数的认识和运用.因此,在高中阶段,教师应引导学生打破思维定势,用后继知识不断充实对其新的认识和理解,化暗为明,让其丰富的内涵得到充分的展现和深化.下面就二次函数笔者结合自己的教学实践,略陈浅见。
一.制造认知冲突, 强调局部形象
如果说二次函数在初中是一个完美的形象,意指其图像是整条抛物线;那么高中阶段更多的是局部形象,就是说二次函数通常是定义在某个区间内,其图像是抛物线上的一部分.因此,在高中教学中,首先应帮助学生树立二次函数的局部形象.完成这个转变最有效的手段是布置一些针对性强,能给学生留下强烈印象和心灵震撼的问题.
如:设u,v是方程小值?并求出这个最小值.
对刚升入高中的学生来说,一接触该题,马上就会这样求解: 由韦达定理得
的两实根,当ｍ为何值时,
有最u+v=ｍ,uv=,∴=.
当对称轴发现:不可能!因为
时, 有最小值=.此时,学生会惊奇地
0.新旧知识产生了强烈的冲突,抓住时机,帮助学生转变观念,树立二次函数局部形象,已是水到渠成.提问学生:当ｍ=1/4时,方程根的情况如何?原方程显然无实根.原因找到了,ｍ不能取任意实数,必须满足方程有实根,即△0,得ｍ-1或ｍ2.再引导学生画出图像,把局部形象呈现出来,让学生细细品味. 二 .打破思维定势,树立配方意识
对于初三学生求二次函数最值问题,发现绝大部分学生热衷于用现存结论来求,即当x=时,y最值=,而对其解析式先配方,再求出最值,既不乐意,也有陌生感.对刚升入高中的学生来说,由于经历了用结论求最值的题海式训练,已形成强烈的思维定势,一碰到求二次函数最值,马上就机械地呈现下列求解顺序:当x=
时,y最值=.因
1 此,打破学生的思维定势,牢固树立配方意识是高中二次函数教学的一个转折点.这就需要教师结合教材内容,编制相关的题组进行训练,特别是解决二次函数在闭区间上求最值问题,应凸现配方的作用.另外,在用二次函数的图像解决相关问题时,其图像的特征量:对称轴、顶点坐标、与ｘ轴的交点情况、交点横坐标等,在配方下均能清晰地呈现出来,配方式的作用是十分显著的.
三.突出“顶点作用”,化解最值难点
求二次函数在闭区间上的最值是学生学习中的一个难点,尤其是含参数的最值问题,涉及到分类讨论，数形结合的数学思想,学生更是理不清头绪,盲目入手,容易走入歧途.那么,如何突破这个难点?笔者认为,应突出“顶点”作用,让学生明确二次函数的最值和它的顶点与变量取值区间的位置有关.相应的图像可划分为有顶点和无顶点两种状态:若顶点在,则最值在顶点处或区间端点处取得;若无顶点,则最值在区间端点处取得.
例1 函数Ａ.2 Ｂ.0 Ｃ.4 Ｄ.6
的最小值是( )
解 令ｔ=sinx∈[-1,1],得因为顶点落在区间[-1,1]的右侧,所以最小值在区间端点处取得,当ｔ=1时有最小值0,故选Ｂ.
例2 已知函数时,f(x)的取值范围恰是[4ｍ,4ｎ]?
解：
,问是否存在实数ｍ、ｎ,当x的取值范围是[ｍ,ｎ]
.若顶点在区间[ｍ,ｎ]上,则1∈[ｍ,ｎ],此时最大值1=4ｎ,ｎ=1/4,矛盾.故顶点不落在区间[ｍ,ｎ]上,且ｎ
例3 已知函数[a,b].
在区间[a,b]上的最小值是2a,最大值是2b,求解:①若顶点落在区间上,即b=13/4.a=39/64>0,矛盾.
a
.若f(a)=2a,得a =,满足条件;若f(b)=2a,得
2 ②若顶点不落在区间[a,b]上,分两种情形:(ｉ)a
,b=
,与aa≥0这时f(x)在[a,b]上单调递减,∴f(a)=2b,f(b)=2a,解之得a=1,b=3.综上所述,得[a,b]为[1,3]或[
,13/4].
四.巧学三个二次，凸显“统帅地位”
一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式,简称三个“二次”,有着紧密的联系,相互制约、相互作用.在处理三者的问题时,应注意突出二次函数在其中的统帅地位.教材中一元二次不等式的求解,既体现了数形结合的思想方法,又展示了三个“二次”的美妙联系,突出了二次函数的主角地位.建议在教学中应充分展示三者联系的过程教学,切忌将揭示三者联系的过程一笔带过,而对一元二次不等式的解集结果却要求学生死记硬背,盲目套用,淡化其中蕴含的丰富的数学思想.
曾做过这样一个练习： ①已知函数f(x)=lg(
),若其定义域为Ｒ,求a的取值范围;
②已知函数f(x)=lg(),若其值域为Ｒ,求a的取值范围.
问题①绝大部分学生都能唾手可得:若其定义域为Ｒ,则不等式>0的解集是Ｒ,从而△=4-4a1;但对问题②,许多学生感到十分茫然,其中部分学生竟认为与问题①一样.此时,我先引导学生从范围a>1中取特殊值验证.如:a=2,f(x)=lg(
)=lg[
]lg1=0,值域不是Ｒ,因此,两个问题是截然不同的.接着,引导学生考察对数函数f(x)=lgx,从图像知,其值域为Ｒ,x必需取遍所有大于0的实数.若令ｔ=
,则ｔ必需取到大于0的所有实数,我问学生:二次函数的图像应如何?许多学生竟不知所云.究其症结,根源在三个“二次”的教学中,未能凸现二次函数的统帅地位,特别是二次函数的图像在解决相关问题时的独特作用.另外,在解决二次方程
的根的分布问题及二次不等式在闭区间上恒成立的问题时,一定要突出二次函数的统帅地位,把问题的解决转化到二次函数图像特征的识别上,切忌把注意力集中到对上述问题各种题型的结论归纳,而把美妙的数学思想淹没其中.若如此,则十分可惜!
五.把握“二次函数”，渗透数学“建模”
整个高中数学教学问题往往都有它的实际背景;反过来,模型的构造或背景的揭示又可以为数学研究提供有益的帮助.所谓模型思想主要包括这样的两个方面,一是构造模型,二是使用模型,它的实质是把原问题转化为一个已经解决了的或容易解决的问题.因此,我们说模型思想的渗透和应用最能培养学生创造性地转化问题的能力,而“二次函数”模型可以说是 3 高中数学中应用最广,最具典型性和代表性的函数模型,其应用已渗透到高中数学的各个领域,并为高考命题者所青睐.以二次函数为模型的高考题新招迭出,给人以耳目一新之感.因此,我们在日常生活教学中,应帮助学生树立二次函数模型意识,并结合教学内容,编制新颖别致,富于变化的问题,让学生自己去感知、归纳、突破,真正达到领悟其内涵,灵活运用之境界.
