压轴题型训练5构造函数证明不等式

构造函数证明不等式

函数是高中数学的基础，是联系各个数学分支的桥梁和纽带.在不等式的证明中，我们可根据不等式的结构特点，建立起适当的函数模型，利用函数的单调性、凸性等性质，灵活、巧妙地证明不等式.一、二次函数型：

1.作差构造法.例1.求证:abcabbcca.

分析:将a视为变量,考察函数faabcabbcc.由于该二次函数的图象开口向上,22222

2且3bc0,故fa0.结论获证.

例2.设a,b,c为ABC的三条边,求证:a2b2c2＜2abbcca.

分析:构造函数fxx2bcxbc.∵fx图象开口向上,对称轴xbc.∴fx222

在,bc上单调递减.∵a,b,c为ABC的三条边,∴bc＜a＜bc (不妨设bc)∴fafbc.

∵fbcbc2bcbcbc4cbc0.∴fa0.即结论成立.

2.判别式构造法.

2222例3.已知a,b,c,d都是实数,且ab1,cd1.求证:acbd1.

222acbd4ab分析：所证结论即是222c2d20.故可构造函数

fxa2b2x22acbdxc2d2.

由于fxax2acxc222bx222bdxd2axcbxd0.22

当且仅当xcd时取“=”号.又因为fx的图象开口向上,故必有0.结论成立.ab

2练习1.求证:acbdab22c2d2.

点拨:证法同例3.该题是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:

nnnnnn2222xbi2证之.aibiaibi.可构造函数fxaix2aibi

i1i1i1i1i1i12

练习2.已知a,b是不相等的两个正数,求证:

aba3b3a2b22.

2点拨:构造函数fxabx2ab22xa

1 3b3axabxb证之.22

练习3.已知a,b都是正数,x,yR,且ab1,求证:

ax2byaxby.

222

点拨:构造函数fzabz2axbyzaxbyazxbzy证之.242

练习4.求证:31aa1aa





.

点拨:构造函数fx3x21aa

二、分式函数型:

x1a

a4x1xaxa2证之.例4.已知a,b,m都是正数,并且ab,求证:

分析:构造函数fx

ama

.bmb

baxa

0.故fx在x0,.由于当x0,时，fx

2xbxb

0,上是增函数.∵fx在x0处右连续，∴fx在0,上是增函数.∵m0 ∴

fmf0 即

ama.bmb

ab

1.

1ab

例5.已知a1,b1,求证:

1a2ax

0.分析:构造函数fxx1,1.由于当x1,1时，fx2

1ax1ax

故fx在1,1上是增函数.∵fx在x1处右连续，在x1处左连续.∴fx在1,1上是增函数.∵1b1 ∴f1fbf1 ,即1

ab

1, 即1ab

ab

1.

1ab

练习5.已知cab0,求证:

点拨:构造函数fx

ab.cacb

x

x0,c

cx

abc

.ambmcm

练习6.已知ABC的三边长分别是a,b,c.且m为正数.求证:

点拨:构造函数fx

x

,x0,.易证fx为增函数.由于abc, xmabcababab

故fabfc.即.而.

abmcmambmabmabmabm

abc故有.

ambmcm

练习7.求证:

ab1ab



ab1ab

.

分析:构造函数fx

三、幂函数型：

x

,x0,证之.1x

3223

例6 .如果a,b都是正数，且ab,求证：ababab.分析：abababab

n

*

553223



33

a

b2.

考察函数fxx, (nN)在0,上的单调性，显然fx在0,上为增函数.

3322

若ab,则ab, ab,所以ab



33

aa

b20； b20。

3322

若ab,则ab, ab,所以ab

332

所以ababab.

利用函数的单调性证法可以将上述结论推广为: 若a、b是正数且ab,求证：a

四、一次函数型：

例7.设a,b,c0,1,求证:abcabbcca1.分析:构造函数fa1bcabcbc1,a0,1.

∵f0bcbc11cb10,f11bcbcbc1bc0.∴对任意a0,1,恒有fa0.故原不等式成立.

五、三角函数型：

222

2例8.已知a,b,c,d都是实数,且ab1,cd1.求证:acbd1.55322

3mn

bmnambnanbm.(m,nN*)

cossinsin 分析:设acos,bsin, ccos,dsin.则acbdcoscos1.

练习8.设x,yR,且xy1,求证

:x2xyy点拨:设xrcos,yrsin.其中r1.以下略.

六、构造函数,利用函数图象的凸性： 例9.求证3+7

5分析:考察函数f(x)=x的图象,特征是上凸函数.对任意x1,x20,,

且x1x2,都有：

f(x1)f(x2)

2f3f7所以,f5.2

1即（+7）

两条结论:

（1

值之和越大.(2)下凸函数,区间中点相同时,两端“距离”区间中点越近,两端点函数值之和越小.练习9.已知:fxtanx,x0,

1

x,xxx, 若 且,试判断0,1212fx1fx2与222

xx

f12的大小.2

练习10.已知:fxlgx

x1,若0x1x2,试比较



lgAlgB

fx1fx2与2

xx

f12的大小 2

练习11.求证:lg

AB2

AB0.

以上表明,若能清楚不等式所反映的图象意义，就会给证明提供思路.

七、构造连续函数，应对含离散型变量的不等式问题： 例10．已知m,n是正整数，且1﹤m＜n.

证明1m＞1n.n

m

分析：不等式1m＞1n两边取对数，得：ln1m＞ln1n.

n

m

n

m

整理，得：

ln1mln1n＞.

mn

构造函数gx

ln1x

x

x2.

x

ln1x

求导，得：gx1x.

2x

当x2时,可得：0＜

x

＜1，ln1xln3＞1.1x

故gx＜0.所以gx在2,上是减函数.

∵gx在x2处右连续.∴gx在2,上是减函数.∵m＜n，∴ gm＞gn.即

n

m

ln1mln1n＞.

mn

整理，得：1m＞1n.

注：不等式1m＞1n也可化为：1m

n

m

m

＞1n

1n

.这时，可研究函数

hx1xe

1x

ln1xx

的单调性证之.

n

1练习12.已知n是正整数且n≥3.求证：n

点拨：不等式n

n1

n

＞n1.

n

＞n1两边取自然对数，整理得：

lnnlnn1＞.

n1n

构造函数fx

lnx

可证之.x

lnfx

说明:根据所构造函数的结构特点,我们将函数转化为lnfx型或e

型,

方便了对函数的求导运算.不等式证明的数学模型，除本文介绍的函数模型外，还可建立向量模型、解析几何模型、方程模型等.

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