构造函数证明不等式的八种方法
一、移项法构造函数
例:
1、已知函数f(x)ln(x1)x,求证:当x1时,但有1
2、已知函数f(x)aex1ln(x1)x 1x12x (1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围。
2(2)若a=1,求证:x0时,f(x)1x
二、作差法构造函数证明
1例:
1、已知函数f(x)x2lnx,求证:在区间(1,)上,函数f(x)的图象在函数
22g(x)x3的图象下方。
3思想:抓住常规基本函数,利用函数草图分析问题
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2、已知函数f(x)nlnx的图象在点P(m,f(x))处的切线方程为y=x,设
n(1)求证:当x1时,g(x)0恒成立;(2)试讨论关于x的方g(x)mx2lnx,x
n程mxg(x)x32ex2tx根的个数。 x
3、换元法构造函数证明
例:
1、证明:对任意的正整数n,不等式ln(1)
2、证明:对任意的正整n,不等式ln(1)
3、已知函数f(x)ln(ax1)xxax,(1)若321n11,都成立。 n2n31n113都成立。 2nn2为yf(x)的极值点,求实数a
3的值;(2)若yf(x)在[1,)上增函数,求实数a的取值范围。(3)若a=-1时,方程f(1x)(1x)3b有实根,求实数b的取值范围。 x
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4、从条件特征入手构造函数证明
例1 若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)恒成立,且常数a,b满足\'
ab,求证:af(a)bf(b)
5、主元法构造函数
例1.已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx,(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0ab,证明:0g(a)g(b)2g(
ab)(ba)ln2
26、构造二阶导数函数证明导数的单调性
例1:已知函数f(x)aex12(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; x,
2(2)若a=1,求证:x0时,f(x)1x
7、对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式)
例1:证明当x0时,(1x)1
1xe1x
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8、构造形似函数
例1:证明当bae,证明ab
2、已知m、n都是正整数,且1mn,证明:(1m)(1n)
思维挑战
1、设a0,f(x)x1lnx2alnx,求证:当x1时,恒有xlnx2alnx
12、已知定义在正实数数集上的函数f(x)
且b
3、已知函数f(x)ln(1x)
4、f(x)是定义在(0,)上的非负可导数,且满足xf(x)f(x)0,对任意正数a、b,若ab,则必有()
A.af(x)bf(a)B.bf(a)af(b)C.af(a)f(b)D.bf(b)f(a)
- 4 - \'2nmba212x2ax,g(x)3a2lnxb,其中a0,252a3a2lna,求证:f(x)g(x) 2xb,求证:对任意的正数a、b恒有lnalnb1 1xa