数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
1.数学分析Ⅰ教学大纲……………………………………………………………………………1 2.几何学教学大纲…………………………………………………………………………………7 3.数学分析Ⅱ教学大纲 …………………………………………………………………………10 4.高等代数I教学大纲…………………………………………………………………………15 5.普通物理I教学大纲……………………………………………………………………………20 6.数学分析Ⅲ教学大纲……………………………………………………………………………2
3-1-
数学分析Ⅰ教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《数学分析Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以一元微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，也是高观点下深入理解中学教学内容的基础．在第1学期开设．
（二）教学目的
通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微分学内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程（复变函数、变实函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练．
（三）教学内容
集合与映射、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中值定理及其应用、实数系的连续性．
（四）教学时数及学分
102学时．学分：5分
二、本文
一 实数集与函数 （10学时）
[[教教学学要要点点]]
集合、映射与函数的概念，一元函数的定义表示及初等函数的定义，函数的简单特性．非空数集上（下）确界的概念．
[[教教学学内内容容]]
1 实数
实数及其性质；绝对值与不等式．
-2- 2 数集与确界原理
集合的概念、运算、Descartes乘积集合．区间、邻域、数集的上（下）界与最大（小）值的概念．上确界与下确界、确界存在原理．
映射与函数
映射、一元实函数、函数的表示、几个常见的特殊函数、函数的运算、基本初等函数、初等函数．
4 具有某些特性的函数
函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性．
二 数列极限(16学时) [[教教学学要要点点]]
本段为整个课程的基础，数列极限的定义、性质、四则运算、无穷大量、无穷小量、待定型．运用单调有界原理和Cauchy收敛准则对数列的敛散性进行一般基本的分析和应用．
[[教教学学内内容容]]
1 数列极限概念
数列、数列极限的定义及其应用数列极限的定义证明数列极限． 2 收敛数列的性质
收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保序性，无穷小量以及无穷小量的基本性质，数列极限的四则运算，迫敛性．无穷大量的定义、无穷大量与无穷小量的关系，待定型．子列、收敛子列定理．
3 数列极限存在的条件
单调数列、单调有界定理．基本列、Cauchy收敛准则．
三 函数极限(16学时) [[教教学学要要点点]]
函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系，单侧极限、Heine归结原则、Cauchy收敛准则．两个重要极限，无穷小量与无穷大量及其阶的比较．
[[教教学学内内容容]]
1 函数极限概念
x趋于无穷大时函数的极限，x趋于某一定数时函数的极限，单侧极限．
2 函数极限的性质
函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四则运算．无穷小量、无穷大量的定义及其无穷大量与无穷小量的关系．函数极限定义的推广．复合
-3- 函数的极限．
3 函数极限存在的条件
Heine归结原则．单侧极限存在定理，Cauchy收敛准则． 4 两个重要极限
两个重要极限的推导及其应用． 5 无穷小量与无穷大量的阶
无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量，无穷大量的比较、高阶、同阶、等价无穷大量，等价量、等价量的代换．
四 函数的连续性(14学时) [[教教学学要要点点]]
连续函数的定义、间断点的类型、连续函数的四则运算、反函数的连续性、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质、一致连续的概念．
[[教教学学内内容容]]
1 连续性概念
连续函数的定义、单侧连续，间断点的类型，区间上的连续函数． 2 连续函数的性质
连续函数的四则运算，连续函数的局部性质，反函数连续性定理、复合函数的连续性．闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、根的存在定理、一致连续性及闭区间上连续函数的一致连续性的Cantor定理．
3 初等函数的连续性
指数函数的连续性，基本初等函数的连续性，初等函数的连续性．
五 导数与微分(14学时) [[教教学学要要点点]]
导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用，微分的定义、一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则， Leibniz公式．
[[教教学学内内容容]]
1 导数概念
导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、导函数、单侧导数，可导与连续的关系．用定义求导数．
2 求导法则
求导的四则运算、反函数求导法则，复合函数求导法则——链式法则．基本求导公式，基本 -4- 初等函数的导数．双曲函数的导数．
3 微分
微分的历史背景、微分的定义、微分的几何意义、微分的运算性质、一阶微分形式的不变性、近似计算与误差估计．
4 高阶导数和高阶微分
高阶导数的定义、运算、Leibniz公式、高阶微分的概念． 5 参量方程所确定的函数的导数
六 微分中值定理与不定式极限(20学时) [[教教学学要要点点]]
微分中值定理、Taylor公式及其应用， L`Hospital法则并应用极限计算．用导数判断函数单调性、极值、最大值和最小值的方法，函数凸性和拐点的定义、函数的凸性条件推导和证明、函数的凹凸性和拐点的判定，应用函数的单调性和凸性证明不等式，函数的渐近线、函数作图．
[[教教学学内内容容]]
微分中值定理
极值、Fermat引理、Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理．函数的单调性与单调区间、运用不等式原理证明不等式．
L` Hospital法则
待定型极限、L` Hospital法则、极限．
Taylor公式
Taylor中值定理、Taylor公式及其Peano型余项、Lagrange型余项、Cauchy型余项．Maclaurin公式，Taylor公式的应用、近似计算、求极限．
函数的极值
函数极值、最大值和最小值，最值问题． 4
函数的凸性和拐点
函数凸性和拐点的概念，函数凸性和拐点存在的各种条件，Jeen不等式、运用函数的凹凸性证明不等式．
函数图像的讨论
函数的渐进线，运用函数的各种几何性态描述函数的图像．
000型、型、型、0型、型、1型、0型的0七 极限与连续性（续）( 12学时) [[教教学学要要点点]]
-5-
在第
二、
三、四部分我们讨论了极限存在的各种条件，本部分是在上述讨论的基础上通过讨论实数系的连续性继续详细讨论极限存在的各种条件及其内在联系，本段的内容主要包括Cantor闭区间套定理、聚点、Bolzano-Weierstra聚点定理、Heine—Borel有限覆盖定理的证明和应用，及其运用上述定理证明闭区间上连续函数的性质．
[[教教学学内内容容]]
1 实数完备性的基本定理
Cantor闭区间套定理及其‘闭区间套技术’、Cauchy收敛准则、Weierstra聚点定理、致密性定理、Heine—Borel有限覆盖定理及其‘有限覆盖技术’，实数完备性的基本定理的等价性的讨论与推导．
2 闭区间上连续函数性质的证明
运用上节定理证明闭区间上连续函数的性质—有界性、最大值和最小值、介值性与根的存在定理、一致连续的Cantor定理．
三、参考书目
1、华东师范大学数学系．数学分析（第二版）．北京
：高等教育出版社，1996．
2、陈传璋 ，金福临 ，朱学炎，欧阳光中．数学分析（第二版）．北京：高等教育出版社，2002．
3、陈纪修 ， 於崇华 ， 金路著．数学分析（第-一版）．北京
：高等教育出版社，2002．
4、、、菲赫金哥尔茨．微积分学教程．北京
：人民教育出版社，1957．
5、吉米多维奇．数学分析习题集．北京
：人民教育出版社，1958．
-6- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
几何学教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《几何学》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．既是学习后继课程的基础，又对中学教学有着指导作用．
（二）教学目的
通过《空间解析几何》部分的学习，使学生初步掌握解析几何的基本思想、基本理论和研究方法，积累必要的数学知识，培养学生抽象思维能力、建立数学模型的能力、推理和演算能力，提高学生利用解析几何知识分析问题和解决问题的能力.通过《射影几何学》部分的学习，使学生初步了解近代几何的公理化方法和体系，较深入地理解中学几何的逻辑结构，特别是解析几何的理论与方法，从而获得在比较高的观点上来处理中学几何问题的能力.另外，通过本课程的学习，为学习相关专业课程及以后实际应用提供必要的基础．
（三）教学内容
在《空间解析几何》部分的学习矢量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线的一般理论.《射影几何学》部分的学习仿射几何学的基本概念，欧氏平面的拓广，一维射影几何学.
（四）教学时数及学分 78学时，学分：4分.
二、本文
第一部分 空间解析几何（78学时）
一 向量与坐标（22学时）
[[教教学学要要点点]]
向量及其线性运算；向量的内积、外积与混合积； 向量的坐标；向量代数在初等几何中的应用．
[[教教学学内内容容]]
-7-
1、向量、向量的模、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、自由向量、共线向量与共面向量的概念，掌握向量的表示方法；
2、向量线性相关与线性无关的概念及相关结论；
3、向量的基本运算，运用向量法证明较简单的几何问题，运用向量的基本知识解决关于共线、共面、定比分点等问题；能解决关于长度、夹角、面积、体积等度量问题；
4、坐标进行向量的相关运算及一些简单问题的证明.
二 轨迹与方程（10学时）
[[教教学学要要点点]]
平面的方程、点到平面的距离；平面间的相关位置； 直线的方程、点到直线的距离； 直线、平面之间的相关位置关系；平面束．
[[教教学学内内容容]]
1、平面曲线、曲面、空间曲线的方程的定义，轨迹与其方程之间的关系；
2、在直角坐标系下建立曲线或曲面方程的基本方法；
3、曲线、曲面普通方程和参数方程的相互转化.
三平面与空间直线（16学时）
[[教教学学要要点点]]
平面和空间中曲线的概念 ；平面和空间直线方程的各种表示形式及其相关位置；平面和空间曲线的方程及其各种方程之间的转换，应用．
[[教教学学内内容容]]
1、平面和空间直线方程的各种表示形式；
2、建立平面和空间直线的方程的方法；
3、根据已知条件判断平面与平面、平面与空间直线、空间直线与空间直线之间的相关位置；
4、平面的一般方程与法式方程、空间直线的一般方程与标准方程的互化方法；
5、求两异面直线的距离与公垂线方程的计算方法.四 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（14学时）
[[教教学学要要点点]]
空间中曲面的概念 ；球面、柱面、锥面；旋转曲面； 二次曲面； 直纹面．
[[教教学学要要点点]]
1、柱面、锥面、旋转曲面的定义及特征，了解直纹曲面的概念，了解椭球面、双曲面、抛物面的标准方程及图形特征；
2、求柱面、锥面及旋转曲面的方程，坐标面内的曲线绕该面内的一条坐标轴旋转时所得旋转
-8- 曲面的方程的求解方法.
3、求单叶双曲面与双曲抛物面的直母线.五 二次曲线的一般理论（16学时）
[[教教学学要要点点]]
欧氏平面上的坐标变换；坐标变换下二次方程系数的变化； 二次曲线方程的化简与二次曲线的分类； 二次曲线的不变量．
[[教教学学要要点点]]
1、二次曲线及其相关定义，了解平面直角坐标变换公式；
2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、主方向与主直径；
3、能够将二次曲线的一般方程化为标准方程.
三、参考教材
1、吕林根、许子道编 《解析几何》（第四版）．北京：高等教育出版社，2005
2、朱德祥编《高等几何》．北京：高等教育出版社，2004
3、梅向明编《高等几何》（第二版）．北京：高等教育出版社，2004
-9- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
数学分析Ⅱ教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《数学分析（Ⅱ）》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．研究的主要内容是如何求解不定积分和定积分，如何理解和讨论级数和反常积分的敛散性，它是分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基础．在第2学期开设．
（二）教学目的
掌握不定积分的概念、计算方法，掌握定积分的概念、可积条件、计算方法及几何意义、定积分的几何应用和物理应用；反常积分和级数的概念和敛散性的基本判别方法及幂级数的基本知识；初步培养具有用定积分解决实际问题的能力和敛散性的思想，为分析数学及其后继课程的学习打好必要的基础知识．
（三）教学内容
不定积分，详细讨论定积分和非正常积分的基本理论及其定积分的应用；讨论数项级数和函数项级数的基本理论，幂级数、Fourier级数的基本知识．
（四）教学时数及学分 108学时，学分：6分．
二、本文
九 不定积分（16学时）
[[教教学学要要点点]]
不定积分的概念、性质和换元积分法、分部积分法，不定积分的基本公式，有理函数积分的计算，区分三角函数、无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型．
[[教教学学内内容容]]
1、不定积分的概念和基本公式
原函数、不定积分的定义、不定积分的线性性质、不定积分的基本公式．
-10-
2、换元积分法和分部积分法
换元积分法——凑微法、代入法，分部积分法、基本积分表．
3、有理函数的不定积分及其应用
有理函数、有理函数的积分、可化为有理函数不定积分的情形．积分表的使用．
十 定积分（28学时）
[[教教学学要要点点]]
定积分的概念，定积分的思想，可积的判断方法，微积分基本定理和定积分的计算，定积分的近似计算．非正常积分的概念和计算及敛散性判别法．
[[教教学学内内容容]]
1、定积分的概念
定积分的引入和概念，定积分的几何意义、利用极限计算定积分
2、可积条件
可积的必要条件、Darboux和的基本概念，Riemann可积的充要条件和可积函数类．
3、积分的基本性质
定积分的基本性质：线性性质、乘积可积和商可积、区间可加性，非负性、保序性、绝对值不等式，估值不等式和积分第一中值定理等．积分上、下限函数．介绍积分第二中值定理．
4、微积分基本定理、定积分的计算
微积分基本定理，Newton—Leibniz公式，定积分的换元积分法和分部积分法，周期函数、奇偶函数的定积分．一些特殊的定积分．Taylor公式的积分型余项．应用定积分求极限．
5、非正常积分
非正常积分的引入，无穷限非正常积分和瑕积分敛散性概念，非正常积分的计算．绝对收敛和条件收敛的概念，非正常积分的Cauchy收敛原理，非负函数非正常积分的比较判别法，Cauchy判别法，以及一般函数非正常积分的Abel，Dirichlet判别法．
十一 定积分的应用（8学时）
[[教教学学要要点点]]
定积分在几何和物理方面的应用．
[[教教学学内内容容]]
1、平面图形的面积
求直角坐标系、参量方程下、极坐标下平面图形的面积
2、由截面面积求立体体积
-11- 几何体的体积和旋转体的体积．
3、曲线的弧长与曲率
求直角坐标系、参量方程下、极坐标下平面曲线的弧长，介绍曲线的曲率．
4、旋转曲面的面积
微元法，旋转曲面的面积简单的计算．
5、定积分在物理学上的某些应用
质量、质心、转动惯量、功、水压力、引力、平均值和均方根．
6、定积分的近似计算
矩形法、梯形法、抛物线法近似计算定积分
十二 数项级数（20学时）
[[教教学学要要点点]]
数项级数及敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项级数的判别法．
[[教教学学内内容容]]
1、数项级数的收敛性
数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必要条件和其它性质，级数收敛的Cauchy收敛准则，一些简单的级数求和．
2、正项级数
正项级数的概念，正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、D` Alembert及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法．和运用上述判别法判别数项级数的敛散性．
3、一般项级数
交错级数及其Leibniz级数判别法，条件收敛和绝对收敛概念，条件收敛和绝对收敛的级数具有的性质（更序级数等）， Abel变换、Abel、Dirichlet判别法，级数的乘法．
十三 函数列与函数项级数（16学时）
[[教教学学要要点点]]
函数列和函数项级数一致收敛的概念和其判别方法，一致收敛函数项级数和函数列的连续、可导和可积性
[[教教学学内内容容]]
1、一致收敛性
函数列一致收敛的概念及其判别法，函数项级数点态收敛、收敛域，部分和函数，点态收敛函数项级数的基本问题，一致收敛、内闭一致收敛．函数项级数的Cauchy收敛原理，上确界判别法、Weierstra判别法，Abel、Dirichet判别法．
-12-
2、一致收敛函数列与函数项级数的性质
一致收敛的函数列与函数项级数的连续性、可积性和可导性．
十四 幂级数（12学时）
[[教教学学要要点点]]
幂级数概念、幂级数的敛散性及其判定，幂级数的性质，幂级数的运算．Taylor级数、初等函数的幂级数展开，应用幂级数的展开式做近似计算．Euler公式．
[[教教学学内内容容]]
1、幂级数
幂级数概念，Abel定理，收敛半径和收敛域，利用Cauchy-Hadamard定理，D` Alembert判别法求幂级数的收敛半径、收敛域，幂级数的四则运算，幂级数的连续性、可导性和可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和．
2、函数的幂级数展开
Taylor级数的概念，函数幂级数展开的条件，初等函数的幂级数展开．应用幂级数的展开式做近似计算．Euler公式．
十五 Fourier级数（8学时）
[[教教学学要要点点]]
函数的Fourier级数展开． Fourier级数的分析性质； Fourier级数收敛性的证明．
[[教教学学内内容容]]
1、函数的Fourier级数
Fourier级数历史背景及与Taylor展开的比较；周期为2的函数的Fourier展开；将函数展开为正弦级数与余弦级数．
2、以2l为周期的函数的展开式
以2l为周期的函数的Fourier级数，偶函数和奇函数的Fourier级数．
3、Fourier级数收敛定理的证明
Parseval不等式及其应用．了解Fourier级数收敛定理的证明
三、教材及参考书
1、华东师范大学数学系．数学分析（第二版）．北京
：高等教育出版社，1996．
2、陈传璋 ， 金福临 ， 朱学炎，
欧阳光中．数学分析（第二版）．北京
：高等教育出版社，2002．
3、陈纪修 ， 於崇华 ， 金路著．数学分析（第-一版）．北京
：高等教育出版社，2002．
4、、、菲赫金哥尔茨．微积分学教程．北京
：人民教育出版社，1957．
-13-
5、吉米多维奇．数学分析习题集．北京
：人民教育出版社，1958．
-14- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
高等代数I教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《高等代数Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．也是理科各学科的一门重要基础课．它是中学代数的继续和提高，它的思想和方法已经渗透到数学的各个领域．高等代数的全部内容分两大部分，多项式理论和线性代数理论．其中线性代数理论显得十分重要，不仅在自然科学的各分支有着重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用．目前在师范院校，除了文学专业和外语专业外，大部分专业都开设了线性代数课程，值得一提的是，在体育专业和政治专业也开设了线性代数课程，而且大家一致认为十分必要．
（二）教学目的
通过高等代数的学习，使学生掌握其基本理论和方法，主要是从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法，这和中学代数思想方法有着很大的不同．掌握了高等代数的基本知识和思想方法，必然会提高学生分析问题和解决问题的能力，对数学专业后继课程的学习至关重要，教师必须清楚地认识到这一点，教学目的不能偏离这个方向．
（三）教学内容
高等代数I的主要内容有：多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组．
（四）教学时数及学分 90学时，学分：5分．
二、本文
一
基本概念（14学时）
[[教教学学要要点点]]
集合；映射、单射、满射、双射；数学归纳法；整数的整除性质、素数、合数；最小数原理；数环、数域．
[[教教学学内内容容]]
-15- 1．集合
主要讲授集合的概念、集合的关系、集合的运算． 2．映射
主要讲授映射概念的形成，结合中学函数概念，加以引深和推广，在映射的基础上讲授单射、满射、双射的概念及基本性质，本节的重点是讲授逆映射．
3．数学归纳法
主要介绍数学归纳法原理，它的理论基础是最小数原理．其中分别介绍第一数学归纳法和第二数学归纳法．
4．整数的整除性质
主要介绍整除的定义，其次是介绍带余除法、素数、合数、最大公因数等概念及性质． 5．数环与数域
主要介绍数环、数域这两个基本概念及二者之间的关系．
二
多项式（34学时）
[[教教学学要要点点]]
一元多项式的定义及运算、多项式的整除性、多项式的最大公因式、多项式的分解、重因式、多项式的根、C上和R上的多项式、多元多项式、对称多项式．
[[教教学学内内容容]]
1．一元多项式的定义及运算
介绍一元多项式的定义，重点讲解多项式的形式表达式．规定多项式的加法、减法与乘法运算的法则及性质，给出多项式次数的定义，介绍零次多项式与零多项式．
2．多项式的整除性
介绍多项式整除的概念，重点讲解带余除法定理，它是多项式理论的核心内容． 3．最大公因式
介绍最大公因式的概念、性质和辗转相除法，另外介绍多项式互素的概念、性质和判断互素的充分必要条件．
4．多项式的分解
介绍多项式因式分解的思想，重点强调一个多项式能分解到什么程度与它的系数所在的数域有着密切的关系．
5．重因式
介绍多项式重因式及多项式导数的概念，给出利用多项式导数判定多项式有无重因式的充分
-16- 必要条件．
6．多项式函数
多项式的根
介绍从函数的观点看待多项式的思想，给出多项式根的定义和性质． 7．复数域和实数域上的多项式
介绍代数学基本定理（不给出证明）及其推论，指出复系数多项式只有一次因式是不可约的，而实系数多项式只有一次的和某些二次的是不可约的．
8．有理系数多项式
指出有理系数多项式在有理数域的可约性问题可以转化为整系数多项式在整数环上可约性．给出判定整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦因方法及有理系数多项式有理根的求法．
9．多元多项式
介绍多元多项式的概念及运算，给出项的字典排序方法． 10．对称多项式的概念及运算，给出项的字典排序方法．
介绍对称多项式的概念，给出任一个对称多项式都可表成初等对称多项式的方法．
三
行列式（14学时）
[[教教学学要要点点]]
线性方程组、排列、n阶行列式、子式和代数余子式、Cramer规则．
[[教教学学内内容容]]
1．线性方程组与行列式
介绍2×2线性方程组与二阶行列式的关系，3×3线性方程组与三阶行列式的关系，由此提出一个问题，n×n线性方程组与n阶行列式是什么关系．
2．排列
介绍排列概念及基本性质，其中包括偶排列、奇排列、反序数．讲授一个主要结论：n元排列中奇排列、偶排列各占一半．
3． n阶行列式
介绍n阶行列式的定义、性质．指出按定义计算一个n阶行列式是很困难的，要计算出一个n阶行列式必须掌握它的7个性质．
4．子式和代数余子式 ）
介绍子式和代数余子式的定义，使学生掌握另一种计算n阶行列式的方法，即按行按列展开的计算方法，举出一些利用性质和代数余子式计算n阶行列式的有效方法．
-17- 5． Cramer规则
介绍Cramer规则，它是本章的基本结论，前面的几节内容都是为得到这一结果服务的，所以Cramer规则十分重要，它是解n×n线性方程组的一个有力工具．
四
线性方程组（14学时）
[[教教学学要要点点]]
线性方程组的消元解法、矩阵的秩、有解的判别定理、线性方程组的公式解法、二元方程组的结式和判别式．
[[教教学学内内容容]]
1．
线性方程组的消元解法
主要介绍矩阵、矩阵的初等变换、线性方程组的高斯消元法、线性方程组的同解变形、线性方程组的加减消元法与它的增广矩阵行初等变换的一致性．
2．
矩阵的秩、线性方程组有解的判定定理
主要介绍矩阵的秩、初等变换不改变矩阵的秩、线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等．
3．
线性方程组的公式解
主要介绍如何用Cramer规则解一般的线性方程组，齐次线性方程组解的性质． 4．
结式和判别式
介绍线性方程组理论和行列式方法在解二元二次方程组时的应用，给出结式和判别式的概念．
五
矩
阵（14学时）
[[教教学学要要点点]]
矩阵的运算、矩阵的行列式、矩阵的逆矩阵、矩阵的分块理论．
[[教教学学内内容容]]
1．
矩阵的运算
主要介绍矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵的乘法． 2．
可逆矩阵、矩阵乘积的行列式
主要介绍n阶矩阵的逆矩阵的概念和性质，矩阵乘积的行列式与各自行列式的关系、n阶方阵可逆时逆矩阵的求法（有两种方法，伴随矩阵的方法与初等行变换的方法）．
3．
矩阵的分块
主要介绍矩阵的分块理论，也就是把矩阵中一部分元素看作一个块（或一个元素）来处理矩阵的有关问题．
-18-
三、参考教材
1、张禾瑞、郝炳新，《高等代数》（第四版）．北京：高等教育出版社，2003．
2、北大数学系，《高等代数》（第二版）．北京：高等教育出版社，1991年．
3、王蕚芳等《高等代数》．北京：清华大学出版社，1997年
4、丘维声编著《高等代数》（上、下）．北京：高等教育出版社，1996
5、蓝以中编著《高等代数简明教程》（上、下）．北京：北京大学出版社，2002
-19- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
普通物理I教学大纲
一、说明
（一）课程性质
本课程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的专业必修课程之一．
（二）教学目的
通过本课程的学习，使学生较系统地掌握物质运动的基本规律，培养学生运用基本规律对一般问题进行理论分析和计算的能力．同时为数学与应用数学专业诸多数学课程（如解析几何、数学分析、常微分方程、概率论和泛函分析等）的学习和巩固提供一些重要实际背景知识．
（三）教学内容
质点运动学、牛顿运动定律、功与能、动量、刚体转动、气体分子运动论、热力学基础、静电场、静电场中的导体和点介质、稳恒电流、磁介质、机械振动、机械波、电磁振荡、电磁波、波动光学简介、狭义相对论简介．
（四）教学时数及学分
72学时，其中理论54学时，实验18学时，学分：3分．
二、本文
一
质点运动学(8学时) [[教教学学要要点点]]
抛体运动、圆周运动、切向加速度、法向加速度．
[[教教学学内内容容]]
参照系、质点、运动方程、直线运动的速度和加速度、曲线运动的速度和加速度、抛体运动、圆周运动、切向加速度、法向加速度、相对运动．
二
牛顿运动定律(8学时) [[教教学学要要点点]]
牛顿运动定律及其应用、力学单位和量纲．
-20- [[教教学学内内容容]]
牛顿运动定律、力学单位制和量纲、牛顿运动定律应用举例、惯性参照系、力学相对性原理．
三
功与能(12学时) [[教教学学要要点点]]
动能原理、机械能转换和守恒定律、功能原理、能量转换和守恒定律．
[[教教学学内内容容]]
功、功率、动能、动能原理、势能、保守力和保守力场、机械能转换和守恒定律、功能原理、能量转换和守恒定律．
四
动量(8学时) [[教教学学要要点点]]
动量原理、动量守恒定律．
[[教教学学内内容容]]
冲量、动量、动量原理、动量守恒定律、完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞．
五
刚体的转动(8学时) [[教教学学要要点点]]
转动惯量、转动定律、角动量守恒定律．
[[教教学学内内容容]]
平动和转动、刚体的定轴转动、转动定律、转动惯量、力矩作功、刚体绕定轴转动的动能、角动量守恒定律、经典力学的适用范围简介．
六
气体分子运动论(8学时) [[教教学学要要点点]]
理想气体的压力公式、气体分子的平均动能与温度的关系．
[[教教学学内内容容]]
分子运动论的基本概念、气体的状态参量、平衡态和平衡过程、理想气体的压力公式、气体分子的平均动能与温度的关系、气体分子速率分布规律、分子的平均碰撞次数和平均自由程．
七
热力学基础(8学时) [[教教学学要要点点]]
内能、热力学 一定律、热力学 二定律．
[[教教学学内内容容]]
内能、热量、热力学 一定律、理想气体的等容过程和等压过程、能量分布定律、理想气体的
-21- 等温过程和绝热过程、循环过程、热力学 二定律、可逆过程和不可逆过程、卡诺循环．
八
静电场(12学时) [[教教学学要要点点]]
电荷守恒定律、电场强度的计算、高斯定理及其应用、电势能．
[[教教学学内内容容]]
电荷的量子化、电荷守恒定律、点电荷、真空中的库仑定律、电场、电场强度、场强叠加原理、电力线、电场强度通量、高斯定理及其应用、电势能、电势差、电势叠加原理、等势面、场强与电势的关系．
三、参考教材
1、马文蔚、柯景凤，《物理学》．北京：高等教育出版社，1982．
2、刘可哲等《大学物理学》（第三版）．北京：高等教与出版社，2005．
3、程守洙等《普通物理学》（第三版）．北京：高等教与出版社，2005．
4、王高雄编《常微分方程》（第三版）．北京：高等教与出版社，2005．
-22- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
数学分析Ⅲ教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《数学分析（Ⅲ）》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程．它是进行数学研究的理论基础，着重研究解决数学问题的基础方法及其理论．
（二））教学目的
使学生掌握数学分析的基本原理和思想，掌握方法处理的技巧，要熟练掌握极限和连续、微积分、级数等基本概念与理论；其次，要通过例子，初步掌握用分析的方法解决实际应用问题．
（三）教学内容
数学分析第三部分的内容包括多元函数的微分学、重积分、曲线积分、曲面积分与场论、含参变量的积分等．
（四）教学时数及学分
90学时，学分：5分．
二、本文
十六 多元函数的极限和连续（16学时）
[[教教学学要要点点]]
平面点集、开集、闭集、开区域、闭区域，平面点集的完备性定理，多元函数的定义，重极限和累次极限，多元函数的连续，有界闭区域上的多元连续函数的性质．
[[教教学学内内容容]]
1平面点集与多元函数
Descartes乘积集，平面点集，内点、外点、界点、聚点、孤立点、开集、闭集、边界、连通集、开域、闭域、有界集，闭包，开集和闭集及其关系， Euclid空间，Euclid的距离．平面点列及其极限，Cauchy收敛定理，闭域套定理，
Bolzano-Weierstra聚点定理， Heine-Borel有限 -23- 覆盖定理等．多元函数的定义、图像．
2 二元函数的极限
二元函数的重极限和累次极限及其关系，二元函数极限的运算性质．
3 二元函数的连续性
二元函数的连续性概念，间断点类型，二元连续函数的性质，复合函数的连续性．有界闭区域上的连续映射概念，有界闭区域上连续函数的性质：有界性、最值定理、一致连续性定理、中间值定理等，连通集和区域．
十七 多元函数的微分学（14学时）
[[教教学学要要点点]]
全微分、偏导数、全微分及其之间的关系、可微的几何意义，复合函数的链式法则，高阶偏导数和高阶全微分．Taylor 公式与极值．
[[教教学学内内容容]]
1 可微性
偏增量与全增量，可微性与全微分，偏导数，可微条件，全微分、连续，可偏导、可微之间的关系，全微分的几何意义与应用．
2 多元复合函数的求导法则
多元复合函数的链式法及其应用，一阶全微分的形式不变性．
3 方向导数与梯度
方向导数，梯度，方向导数与梯度的关系．
4Taylor 公式与极值
高阶偏导数和高阶全微分，混合偏导数的相等．中值定理与Taylor 公式与Lagrange余项的计算；Taylor公式的简单应用，如计算常数幂和偏导数的近似值．多元函数的极值与极值存在的条件，极值的计算．无条件极值在几何及不等式中的应用．
十八 隐函数的存在定理（12学时）
[[教教学学要要点点]]
隐函数的存在定理，隐函数与隐函数组的求导法则．多元函数的微分在几何中的应用，条件极值与Lagrange乘数法．
[[教教学学内内容容]]
1 隐函数
隐函数的概念，隐函数的存在条件，一元及多元隐函数存在定理，隐函数的可微性，反函数
-24- 的存在性与其导数．
2 隐函数组
隐函数组概念，由方程或方程组所确定的隐函数的偏导数的计算．Jacobi行列式，反函数与坐标变换．
3 几何应用
空间曲线的切线与法平面的概念及对应的切线与法平面方程的计算；曲面的切平面与法线的概念；会计算曲面在给定点处的切平面与法线方程；偏导数与在几何中的其它应用．
4 条件极值与Lagrange乘数法
最小二乘法，Lagrange乘数法及条件极值的必要条件；函数的条件极值与最值的计算：条件极值在几何、不等式及其它实际问题中的应用．
十九 重积分（18学时）
[[教教学学要要点点]]
重积分的概念，二重积分与三重积分算法；二重积分与三重积分的变量代换．重积分的应用．
[[教教学学内内容容]]
1 二重积分概念
矩形区域二重积分引入、定义，二重积分的几何意义，二重积分的可积条件，一般区域上的二重积分．二重积分的七条基本性质．
2 二重积分的计算
矩形区域上化二重积分为累次积分的计算方法；含参积分、对于一般区域上重积分的计算，要适当选取累次积分的次序．Jacobi行列式的几何意义和应用，二重积分变量代换公式及应用，选取适当的坐标变换计算重积分，选取极坐标计算二重积分的方法．含参积分的导数，含参变量的常义积分的计算．
3 三重积分
三重积分的概念，三重积分的可积性讨论，三重积分的计算．三重积分的换元法，柱坐标和球坐标之下的三重积分计算．
4 重积分的应用
重积分的几何应用：面积、体积、曲面面积，物理应用：质量、质心、转动惯量、引力．
二十 重积分（续）与含参变量积分（10学时）
[[教教学学要要点点]]
本段继续重积分可积的条件．系统讨论含参变量的非正常积分的一致收敛的判别法及一致收
-25- 敛积分的分析性质，掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系．
[[教教学学内内容容]]
1 二重积分中一些问题的讨论
二重积分的可积性条件、一般区域上二重积分定义的说明、平面有界点集可求面积的充要条件，二重积分的证明．二重积分的变量变换定理．
2 含参变量的非正常积分
含参变量的非正常积分的一致收敛的定义及判别法；Cauchy收敛原理、Weierstra判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法及Dini定理；一致收敛积分的分析性质；连续性定理、积分次序交换定理与积分号下求导定理．Beta函数和Gamma函数的定义、性质、递推公式及二者之间的关系，余元公式和Stirling公式．
二十一 曲线积分与曲面积分（20学时）
[[教教学学要要点点]]
第一、二类曲线积分与曲面积分的概念，第
一、二类曲线积分与曲面积分的计算方法，Green公式、Gau公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法．曲线积分与路径无关的条件．梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念．
[[教教学学内内容容]]
1 ． 第一类曲线积分与第一类曲面积分
第一类曲线积分的概念；第一类曲线积分的性质；线性性质与路径可加性；第一类曲线积分的计算公式及其应用；第一类曲面积分的概念、计算及应用．
2． 第二类曲线积分
第二类曲线积分的概念及性质：方向性、线性性质与路径可加性；第二类曲线积分的计算公式及其应用．第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系．
3．Green公式、曲线积分与路线无关的条件
Green公式的形式及意义；Green公式与Newton-Leibniz公式的关系；用Green公式计算曲线积分及求区域的面积；曲线积分与路径无关的条件及其应用．
4．第二型曲面积分
曲面的侧的相关概念及应用；第二类曲面积分的概念及性质：方向性、线性性质与曲面可加性；第二类曲面积分的计算及应用．两类曲面积分的联系．
5． Gau公式与Stokes公式
Gau公式及其应用；Stokes公式及其应㎝用；Newton-Leibniz公式、Green公式、Gau
-26- 公式和Stokes公式三者之间的关系．
6．场论初步
梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念、意义、计算及简单应用；Hamilton算子及调和函数的概念与计算；Green第一公式和Green第二公式；场论中的一些基本关系式；保守场与势函数的概念：保守场与有势场的关系．
三、参考教材
1、华东师范大学数学系．数学分析（第二版）．北京
：高等教育出版社，1996．
2、陈传璋 ， 金福临 ， 朱学炎，
欧阳光中．数学分析（第二版）．北京
：高等教育出版社，2002．
3、陈纪修 ， 於崇华 ， 金路著．数学分析（第-一版）．北京
：高等教育出版社，2002．
4、、、菲赫金哥尔茨．微积分学教程．北京
：人民教育出版社，1957．
5、吉米多维奇．数学分析习题集．北京
：人民教育出版社，1958．
-27- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
高等代数II教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《高等代数Ⅱ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，也是理科各学科的一门重要基础课．它是中学代数的继续和提高，它的思想和方法已经渗透到数学的各个领域．高等代数的全部内容分两大部分，多项式理论和线性代数理论．其中线性代数理论显得十分重要，不仅在自然科学的各分支有着重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用．目前在师范院校，除了文学专业和外语专业外，大部分专业都开设了线性代数课程，值得一提的是，在体育专业和政治专业也开设了线性代数课程，而且大家一致认为十分必要．
（二）教学目的
通过高等代数的学习，使学生掌握其基本理论和方法，主要是从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法，这和中学代数思想方法有着很大的不同．掌握了高等代数的基本知识和思想方法，必然会提高学生分析问题和解决问题的能力，对数学专业后继课程的学习至关重要，教师必须清楚地认识到这一点，教学目的不能偏离这个方向．
（三）教学内容
高等代数II的主要内容有：向量空间、线性变换、欧氏空间和二次型．
（四）教学时数及学分
90学时，学分：5分．
二、本文
六 向量空间（26学时）
[[教教学学要要点点]]
向量空间的由来、子空间、向量的线性相关性、基和维数、向量的坐标、向量空间的同构、线性方程组解的结构．
[[教教学学内内容容]]
1．
定义及例子
主要讲授向量空间的定义，并给出大量的例子，因为这是高等代数中第一个采用公理化定义
-28- 的概念．
2．
子空间
主要介绍向量空间的子空间、交子空间、和子空间及子空间的判定定理． 3．
向量的线性相关性
主要介绍向量的线性组合、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的等价、向量组的秩．
4．
基和维数
主要介绍向量空间的基、维数、向量空间的维数公式、余子空间． 5．
坐标
主要介绍向量由基的表示式、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式． 6．
向量空间的同构
主要介绍向量空间之间的同构、映射、向量空间的同构． 7．
矩阵的秩、齐次线性方程组的解空间
主要介绍矩阵的行空间、列空间、行空间的秩与矩阵的秩、齐次线性方程的解空间、基础解系、解空间的结构．
七 线性变换（30学时）
[[教教学学要要点点]]
线性变换的定义、性质和运算、线性变换和矩阵的关系、本征值与本征向量、可以对角化的矩阵与线性变换．
[[教教学学内内容容]]
1．
线性映射
主要介绍两个向量空间的线性映射、映射的像Im()、映射的核Ker()． 2．
线性变换的运算
主要介绍向量空间到自身的线性变换、线性变换的和、数乘线性变换、线性变换的乘积、线性变换的逆线性变换．
3．
线性变换的矩阵
主要介绍线性变换在一个基下的矩阵、矩阵确定的线性变换、线性变换的运算与相应的矩阵运算、同一个线性变换在不同基下矩阵的关系（相似矩阵）．
4．
不变子空间
主要介绍线性变换下子空间的不变性、像不变子空间、核不变子空间、不变子空间与线性变
-29- 换的对角化之间的关系．
5．
本征值与本征向量
主要介绍矩阵的特征值、特征向量、线性变换的本征值与本征向量、特征子空间． 6．
可以对角化的矩阵
主要介绍一个线性变换可以对角化的充分必要条件．
八 欧氏空间（18学时）
[[教教学学要要点点]]
欧氏空间、内积、度量矩阵、正交变换、对称变换、正交基、标准正交基．
[[教教学学内内容容]]
1．
向量的内积
主要介绍实数域上向量空间的内积、欧氏空间、向量的长度、夹角、哥西——许瓦兹不等式． 2．
正交基
主要介绍向量的正交性、正交向量组、正交基、标准正交基、度量矩阵、施密特正交化方法、正交矩阵．
3．
正交变换
主要介绍正交变换的概念和性质，正交变换的四个等价条件． 4．
对称变换和对称矩阵
主要介绍对称变换、对称矩阵、对称变换的对角化问题、实对称矩阵的特征值问题．
九 二次型（16学时）
[[教教学学要要点点]]
n元二次齐次多项式（简称二次型）、二次型与对称矩阵的关系，复数域和实数域上的二次型、正定二次型、惯性定律．
[[教教学学内内容容]]
1．
二次型和对称矩阵
主要介绍n元二次齐次多项式总可以用一个对称矩阵来表示，从而通过矩阵的乘法转化了二次型的表达形式，这样把一个二次齐次型（既一个多项式的问题）用对称矩阵及矩阵的合同变换（成对的行、列初等变换）来处理．从而使问题简单明了．
2．
复数域和实数域上的二次型
主要介绍了复系数二次型与实系数二次型的典范形式． 3．
正定二次型
-30- 主要介绍了正定二次型的概念和判定． 4．
主轴问题
主要介绍了通过正交变换化二次型为平方和形式的方法．
三、参考教材
1、张禾瑞、郝炳新，《高等代数》（第四版）．北京：高等教育出版社，2003．
2、北大数学系，《高等代数》（第二版）．北京：高等教育出版社，1991年．
3、王蕚芳等《高等代数》．北京：清华大学出版社，1997年
4、丘维声编著《高等代数》（上、下）．北京：高等教育出版社，1996
5、蓝以中编著《高等代数简明教程》（上、下）．北京：北京大学出版社，2002
-31- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
普通物理II教学大纲
一、说明
（一）课程性质
本课程是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的专业必修课程之一．
（二）教学目的
通过本课程的学习，使学生较系统地掌握物质运动的基本规律，培养学生运用基本规律对一般问题进行理论分析和计算的能力．同时为数学与应用数学专业诸多数学课程（如解析几何、数学分析、常微分方程、概率论和泛函分析等）的学习和巩固提供一些重要实际背景知识．
（三）教学内容
静电场中的导体和点介质、稳恒电流、磁介质、机械振动、机械波、电磁振荡、电磁波、波动光学简介、狭义相对论简介．
（四）教学时数及学分
72学时，其中理论54学时，实验18学时，学分：3分．
二、本文
十
静电场中的导体和电介质(8学时) [[教教学学要要点点]]
电容、电位移矢量、电场中的能量．
[[教教学学内内容容]]
静电场中的导体、电容、电容器、静电场中的介质、电位移矢量、有电介质的高斯定理、电场的能量、能量密度、静电的应用．
十一
稳恒电流(8学时) [[教教学学要要点点]]
电流密度、欧姆定律、焦耳定律、基尔霍夫定理．
[[教教学学内内容容]]
电流、电流密度、电阻率、欧姆定律、电功率、焦耳定律、电动势、基尔霍夫定理．
-32-
十二
磁
场(8学时) [[教教学学要要点点]]
磁感强度、磁场的高斯定理、安培定律、安培环路定律．
[[教教学学内内容容]]
磁场、电流密度、磁通量、磁场的高斯定理、洛仑磁力、安培定律、磁场对载流线圈的作用、毕奥—萨伐儿定律、两无限长载流导线间的相互作用、安培环路定律．
十三
磁介质(8学时) [[教教学学要要点点]]
磁化强度矢量、磁场强度、磁介质中的安培环路定律．
[[教教学学内内容容]]
磁介质、磁化强度矢量、磁场强度、磁介质中的安培环路定律、铁介质．
十四
电磁感应
电磁场(8学时) [[教教学学要要点点]]
电磁感应现象、电磁感应定律、自感和互感．
[[教教学学内内容容]]
电磁感应现象、电磁感应定律、自感和互感、动生电动势和感生电动势、涡电流、电磁场基本方程．
十五
机械振动(8学时) [[教教学学要要点点]]
谐振动；谐振动中的振幅、周期、频率和相位；谐振动的能量；阻尼振动、共振．
[[教教学学内内容容]]
谐振动、谐振动中的振幅、周期、频率和相位、转动矢量、单摆和复摆、谐振动的能量、谐振动的合成、阻尼振动、共振．
十六
机械波(8学时) [[教教学学要要点点]]
机械波的波长、周期、频率、波速、谐波的方程、惠更斯原理、波的衍射、波的干涉．
[[教教学学内内容容]]
机械波的波长、周期、频率、波速、谐波的方程、惠更斯原理、波的衍射、波的干涉、驻波．
-33-
十七
电磁振荡和电磁波(4学时) [[教教学学要要点点]]
电磁振荡、电磁波．
[[教教学学内内容容]]
电磁振荡、电磁波．
* 十八
波动光学(8学时) [[教教学学要要点点]]
相干光源、光程、光的衍射、偏振光．
[[教教学学内内容容]]
相干光源、杨氏双缝实验、牛顿环、迈克尔孙干涉仪、光的干涉、光的衍射、子然光、偏振光、马吕斯定律．
* 十九
狭义相对论(4学时) [[教教学学要要点点]]
爱因斯坦假设、狭义相对论的长度和时间、狭义相对论的动量和能量．
[[教教学学内内容容]]
牛顿的绝对时空观、迈克尔孙—莫雷实验、爱因斯坦架设、狭义相对论的长度和时间、狭义相对论的动量和能量．
三、参考教材
1、马文蔚、柯景凤，《物理学》，高等教育出版社，1982．
2、刘可哲等《大学物理学》，高等教与出版社．2005年第三版
3、程守洙等《普通物理学》，高等教育出版社，2005年第三版
4、王高雄编《常微分方程》，高等教育出版社．2005年第三版 注：标*者为选讲内容
-34- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
数学建模教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《数学建模》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的必修课程．
（二）教学目的
使学生掌握数学建模的基本概念与基本方法，为进一步应用数学知识解决实际问题奠定必要的基础．
（三）教学内容
一 数学建模的步骤、原则与方法；
二 初等数学方法建模； 三 差分、微分方程建模； 四 最优化方法及图论法建模； 五 随机性模型； 六 层次分析法建模．
（四）教学时数及学分
总学时 72学时，学分：4分．
二、本文
一
数学建模的步骤、原则与方法(6学时) [[教教学学要要点点]]
数学建模的一般方法和步骤，几种重要的数学建模方法．
[[教教学学内内容容]]
（一）数学建模的一般方法和步骤
1、数学建模的一般方法；
2、数学建模的步骤．
（二）数学建模方法介绍
-35-
1、理论分析法；
2、模拟方法；
3、类比分析法；
4、数据分析法．
（三）习题课
二
初等数学方法建模(10学时) [[教教学学要要点点]]
初等数学建模的一般方法与步骤，几个重要的数学模型．
[[教教学学内内容容]]
（一）初等数学建模的一般方法和步
1、初等数学建模的一般方法；
2、初等数学建模的步骤．
（二）几个重要的数学模型
1、代表名额的分配；
2、双层玻璃窗的功效；
3、动物的身长和体重；
4、实物交换模型；
5、核武器竞赛模型
（三）习题课
三
差分、微分方程建模(18学时) [[教教学学要要点点]]
差分方程的基本概念及其解法；微分方程建模的一般方法与步骤，微分方程建模举例．
[[教教学学内内容容]]
（一）差分方程简介
（二）差分方程建模举例
（三）微分方程建模举例
1、人口模型；
2、传染病模型；
3、静态优化模型；
4、价格形成及营销模型；
-36-
5、战争模型；
6、香烟过滤嘴的作用；
（四）习题课．
四
最优化方法及图论法建模(18学时) [[教教学学要要点点]]
变分法的基本概念，最优化方法及图论法．
[[教教学学内内容容]]
（一）变分法的基本概念
（二）变分法在建模中的应用举例
1、生产计划的制定；
2、生产与贮存的控制；
3、国民收入的增长；
4、林木砍伐的最佳时机；
5、投入产出模型．
（三）图论法建模举例
1、图论法建模；
2、循环比赛名次；
3、最短路径问题．
4、习题课．
*五
随机性模型(10学时) [[教教学学要要点点]]
概率方法建模举例．
[[教教学学内内容容]]
概率方法建模举例
1、随机存贮模型；
2、广告中的学问；
3、随机人口模型；
4、零件的预防性更换模型；
5、设备检查方案．
-37-
*六
层次分析法建模(10学时) [[教教学学要要点点]]
层次分析法建模的一般方法和步骤，层次分析法建模中的若干问题．
[[教教学学内内容容]]
(一)、层次分析法建模的一般方法和步骤
1、层次分析法建模的一般方法；
2、层次分析法建模的步骤． (二)、层次分析法建模中的若干问题
1、正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质；
2、正互反阵最大特征根和对应特征向量的算法；
3、层次分析法建模的基本步骤及应用举例；
4、习题课．
三、参考教材
1、姜启源等编 《数学模型》（第三版）． 北京：高等教育出版社
1993年8月
2、杨启帆、边馥萍著 《数学模型》． 浙江：浙江大学出版社
1990 注：标*者为选讲内容
-38- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
概率论与数理统计教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《概率论与数理统计》是数学与应用数学、信息与计算科学两个专业的一门重要的核心课程．随着社会的发展，对随机现象规律性的研究已广泛地渗透到自然科学、社会科学与人们的日常生活中.概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的一门学科，它与其它数学学科互相渗透或结合，但它有别于数学的其他分支，是一门应用性很强的学科.
（二）教学目的
通过教学，使学生正确理解基本概念，准确掌握基本思想、基本方法和基本结论，使学生弄清概率统计中主要概念和方法产生的直观背景和实际意义，引导学生学习用数学的语言来刻划表达随机现象，注重培养学生对随机现象的理解和概率统计直觉能力，具备一定的综合应用所学知识分析和解决一些实际问题的能力.
（三）教学内容
第一部分介绍概率论的基本概念、基本公式和基本方法；第二部分引进随机变量的概念，研究随机变量的概率分布，第三部分介绍介维随机向量及其概率分布；第四部分介绍随机变量的数字特征；第五部分是概率论与数理统计的连接界面，介绍大数定律和中心极限定理；第六部分介绍数理统计的基本、概念，介绍抽样分布，讨论如何利用随机样本估计总体参数的方法，并提出评价估计量优良性的标准；第七部分介绍利用样本对总体的特征进行检验的方法（假设检验）；第八部分介绍方差分析及回归分析.
（四）教学时数及学分
教学时数：90学时，学分：4分.
二、本文
一
随机事件与概率(18学时) [[教教学学要要点点]]
随机事件与样本空间基本概念，有关古典概型和贝努里概型概率的计算，概率论中几个最基本的公式及其应用.
-39- [[教教学学内内容容]]
1、
随机事件与样本空间
介绍随机试验、事件及样本空间等基本概念，讨论事件之间的各种关系及运算.
2、
随机事件与概率
阐述频率与概率之间的关系，给出概率的统计定义.
3、
讨论古典概型
古典定义，并给出应用实例
4、
概率的公理化定义和概率的性质
介绍概率的公理化定义，讨论概率的基本性质及其应用.
5、
条件概率
介绍条件概率及与条件概率有关的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式及应用.
6、
事件的独立性
介绍独立性的概念和有关结论，并利用独立性来讨论系统的可靠性.
二
一维随机变量及其分布(12学时) [[教教学学要要点点]]
随机变量的分布列密度函数及分布函数的概念、常见的离散型和连续型分布、随机变量函数的分布．
[[教教学学内内容容]]
1、
随机变量与分布函数
介绍随机变量的概念.
2、
离散型随机变量
讨论一维离散型随机变量的分布列及其性质，介绍常见离散型分布.
3、
连续型随机变量
连续型随机变量的概念，常见连续型分布——均匀分布、正态分布和指数分布.
4、
随机变量函数的分布
介绍简单的随机变量函数的分布（简单情形）
三
二维随机变量及其分布(14学时) [[教教学学要要点点]]
二维随机变量的联合分布、边缘分布、随机变量的独立性（多维可仿照二维类推）. -40- [[教教学学内内容容]]
1、
二维随机变量的联合分布
重点介绍二维随机变量（向量）的联合分布、联合密度函数及其相关性质.
2、
边际分布与条件分布
边际分布的概念，由联合分布确定边际分布，简单介绍条件分布.
3、
随机变量的独立性
随机变量独立性概念及其应用.
4、二维随机变量函数的分布
介绍卷积公式，二维随机变量函数的分布的求法（只介绍几个特殊函数的做法）.
5、
x2分布、t－分布和F－分布
介绍x2分布、t－分布和F－分布的基本性质及其分布表的应用.
四
随机变量的数字特征(12学时) [[教教学学要要点点]]
期望、方差、相关系数等概念的准确理解，有关数字特征的计算.[[教教学学内内容容]]
1、
数学期望
数学期望的概念、性质及计算公式，常见分布的数学期望.
2、方差
方差的概念、性质及计算公式、常见分布的方差.
3、
协方差和相关系数
协方差和相关系数的概念、计算公式、性质和相互关系.
4、
其他数字特征
介绍中位数、众数、矩、偏态系数的概念.
五
大数定律和中心极限定理(4学时) [[教教学学要要点点]]
大数定律、中心极限定理.[[教教学学内内容容]]
1、
大数定律
引入切比雪夫不等式，介绍贝努里大数定律，切比雪夫大数定律和辛钦大数定律.介绍随机变量序列依概率收敛，弱收敛的概念.
-41-
2、
中心极限定理
介绍林德贝格——勒维中心极限定理和德莫佛——拉普拉斯中心极了定理及其应用.
六
统计估计(14学时) [[教教学学要要点点]]
抽样分布定理和几种常用统计量、矩估计法、极大似然估计法的原理和应用、区间估计的基本方法，估计量优良性的标准.[[教教学学内内容容]]
1、数理统计的基本概念
数理统计概述、介绍总体、个体和简单随机样本的概念.
2、
统计描述
样本的数字特征，介绍频率直方图.
3、
*未知分布的估计
经验分布函数的概念及未知分布估计的介绍
4、
抽样分布
统计量的概念、常用统计量、正态总体场合的抽样分布定理.
5、参数的点估计
介绍估计量优良性的判断标准——无偏性、有效性和一致性.
6、
参数的区间估计
置信区间的概念、正态总体场合对总体均值和方差的估计.
七
假设检验(12学时) [[教教学学要要点点]]
假设检验的基本原理和步骤.[[教教学学内内容容]]
1、问题提出
假设检验的基本原理，统计假设，给出假设检验的基本程序与步骤，假设检验的两类错误.
2、单个正态总体参数的检验
结合实际问题讨论三种常见场合总体参数的假设检验问题.
3、两个正态总体的检验
讨论双正态总体场合均值差和方差比的假设检验问题.
4、总体分布函数的假设检验
-42- 分布拟合优度检验和柯尔莫哥洛夫检验的概念和方法.斯未尔诺夫检验和独立性检验.
5、两类错误与最佳检验
假设检验的两类错误，介绍最佳检验的概念.
*八 回归分析和方差分析 (4学时) [[教教学学要要点点]]
方差分析的基本思想，一元线性加归分析的原理和方法.[[教教学学内内容容]]
1、单因素方差分析
介绍单因素方差分析的有关概念，如指标、因素、水平等，建立单因素方差分析的数学模型.
2、
双因素方差分析
主要介绍无交互作用的双因素试验的方差分析的基本思想和步骤.
3、
回归分析
主要介绍一元线性回归分析的方法——最小二乘法，同时简要介绍非线回归分析的主要内容.
三、参考教材
1、峁诗松等《概率论与数理统计教程》．北京：高等教育出版社，2004年7月
2、魏宗舒等《概率论与数理统计教程》．北京：高等教育出版社，2003年
3、杨复兴等，《概率论与数理统计》（第二版）．陕西：西安地图出版社，2001年.
4、齐民友主编，《概率论与数理统计》（第一版）．北京：高等教育出版社，2002年.注：*为选讲内容
-43- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
数学实验教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《数学实验》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门专业必修课程．以Mathematica 4.0(或5.0 ) 软件为载体，与高等数学、线性代数、概率论与数理统计等课程相配套，通过上机实验，达到充分调动学生的数学理论知识、软件知识、计算机知识和动手能力，改善学生的知识结构，提高学生的综合能力和素质的一门实验性学科．
数学实验的实验方法是：给定实验问题，用一定的数学方法，设计算法，用Mathematica编写计算程序，上机操作，得出结论，完成实验报告．开设这门课程的目的之一是使学生深入理解与掌握数学基本概念、基本方法和基本理论.数学实验是“微积分”与“线性代数”教学的补充, 是让学生直观接受理论知识的手段, 是与“微积分”、“线性代数”等课程同步开设的重要教学环节, 它将数学知识、数学建模与计算机应用溶为一体.充分利用数学软件的图形演示、数值计算与符号运算的强大功能, 可以使学生深入理解与掌握数学基本概念、基本方法和基本理论.“数学实验”课程内容体现了继承与创新、传统与现代的结合，任何创新都是在继承的基础上进行的.“微积分”是人类文明史的瑰宝, 它体系完整, 结构严密, 应用广泛, 至今仍然是理工科学生的必修基础课.但知识要通过学生自身学习与实践才能深化与巩固, 有了计算机为学习与研究数学提供了新的途径, 因此,“数学实验”课程必须与“微积分”和“线性代数”课程紧密结合, 通过问题的解决帮助学生加深与巩固所学的理论知识，做到理论课与实验课的结合．
“数学实验”课程使用的数学软件是Mathematica, 它具有界面友好, 易学易用，便于扩充等特点.数学软件具有集成化环境, 使得人们解决问题的效率得到充分的提高, 不再花大量时间去考虑编程等技术细节, 而是集中精力探索解决问题的方法、思想以及对问题作深层次的思考．数学软件具有强大的图形功能, 从数学函数出发可以得到可视化的图形, 能对很多难题及其计算结果给出直观上的表示．换言之, 数学软件具有非常强大的功能.软件业的发展已将计算机由单纯的解决数值计算问题推进到解决作图问题、符号运算问题等.
（二）教学目的
使学生通过数学实验加深和理解学过的数学理论；通过数学实验掌握应用数学的能力；体会 -44- 数学探索与发现的快乐与挫折；使学生掌握利用计算机解决实际问题的能力．
（三）教学内容
一元函数的图形、极限与连续、导数、导数应用、一元函数积分、空间图形的画法、多元函数微分、多元函数积分、无穷级数、微分方程、行列式与矩阵、矩阵的值与向量组的极大无关组、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、概率统计实验、用Excel软件解决数理统计问题．
（四）教学时数与学分
理论课周2学时，上机实习周2学时，共72学时．共2学分．
二、本文
按各实验项目给定的实验问题，用一定的数学方法，设计算法，用Mathematica4.0（5.0）编写计算程序，上机操作，得出结论，完成实验
一 Mathematica系统概述(12学时)
[[教教学学要要点点]]
Mathematica的基本功能和语言基本特点，对Mathematica有个初步的了解和掌握.[[教教学学内内容容]]
1 Mathematica软件介绍和基本功能.2 Mathematica中的数值类型,常量,变量,表,函数,符号,语句
二 微积分实验(34学时)
[[教教学学要要点点]]
通过下面的实验,让学生掌握利用Mathematica解微积分的基本题目，加深学生对微积分知识的理解和掌握以及多数学软件在解微积分内容方面的灵活应用.[[教教学学内内容容]]
1 实验一 一元函数的图形
通过图形加深对函数性质的认识与理解，通过函数图形的变化趋势理解函数的极限，掌握用Mathematica作平面图形的方法与技巧．
2 实验二 极限与连续
通过计算与作图，加深对数列极限概念的理解，掌握用Matmematica画散点图，以及计算极限的方法，深入理解函数的连续与间断．
3 实验三 导数
深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义，掌握用Matmematica求导数与高阶导数的方法，深入理解和掌握求隐函数的导数，以及求参数方程定义的函数的导数的方法．
4 实验四 导数应用
-45- 理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间，凹凸区间和函数的极值的方法，理解曲线的曲率，掌握方程求根、求函数极值的方法．
5 实验五 一元函数积分
掌握用Mathematica计算不定积分的方法，通过作图和观察，理解定积分的概念和几何意义，提高应用定积分解决各种问题的能力．
6 实验六 空间图形的画法
掌握用Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法，通过作图和观察，深入理解多元函数的概念，提高空间想象能力，深入理解二次曲面方程及其图形．
7 实验七 多元函数微分
掌握用Mathematica 计算多元函数偏导数和全微分的方法，并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法．
8 实验八 多元函数积分
掌握用Mathematica 计算二重积分与三重积分的方法，深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法，提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力．
9 实验九 无穷级数
掌握用Mathematica 计算无穷级数的和、求幂级数的收敛域、展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法．
10 实验十 微分方程
掌握用Mathematica 计算微分方程及方程组解的方法，学习求微分方程近似解得方法．
三 线性代数实验(14学时)
[[教教学学要要点点]]
通过下面的实验,让学生掌握利用Mathematica线性代数的基本题目，加深学生对线性代数知识的理解和掌握以及多数学软件在解线性代数方面的灵活应用.[[教教学学内内容容]]
1 实验十一 行列式与矩阵
掌握矩阵的输入方法，掌握利用Mathematica命令对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算，以及求逆矩阵和计算行列式．
2 实验十二矩阵的值与向量组的极大无关组
学习利用Mathematica 命令求矩阵的秩，矩阵的初等行变换，求向量组的秩与最大无关组． 3 实验十三 线性方程组
-46- 学习利用Mathematica 命令求线性方程组的解法以及解决有关问题． 4 实验十四 矩阵的特征值与特征向量
学习利用Mathematica 命令求方阵的特征值和特征向量，利用特征值求二次型的标准型．
四 概率统计实验(12学时)
[[教教学学要要点点]]
通过下面的实验,让学生掌握利用Mathematica概率统计的基本题目，加深学生对概率统计知识的理解和掌握以及多数学软件在解概率统计方面的灵活应用.
[[教教学学内内容容]]
1 *实验十五 数理统计基础
学习利用Excel求平均数、数据搜索与排序、样本方差、样本标准差以及估计均值和估计方差．
2 *实验十六 假设检验
学习利用Excel求解假设检验，包括t检验、u检验的方法． 3 实验十七 单因素方差分析
学习利用Excel进行单因素方差分析的方法． 4 实验十八 一元线性回归分析
学习利用Excel求解一元线性回归分析的方法．
三、参考书目
1 张栋恩
许晓革，高等数学实验，北京：高等教育出版社，2004.7 2 谢云荪 张志让等，《数学实验》，科学出版社，北京，1999 3 郭锡伯 徐安农，《高等数学实验讲义》，中国标准出版社，北京，1998
4 李尚志 陈发来 吴耀华 张韵华，《数学实验》，高等教育出版社，北京，1999 注：*为选讲内容
-47- 数学系信息与计算科学专业课程教学大纲
常微分方程教学大纲
一、说明
（一）课程性质
《常微分方程》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的必修课程，在第四学期开设．
分析数学研究的基本对象是函数（泛函、算子）和方程．在大量的实际问题中遇到比较复杂的运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易建立这些量和它们的导数（或微分）间的关系式，即微分方程．从数学发展史看，微分方程不仅是分析数学联系实际问题的重要桥梁，而且是体现分析数学的众多重要思想的窗口．
微分方程研究的主要内容是如何求解微分方程和解的适定性问题（各种属性），它是分析数学系列课程以及数学与应用数学专业其它后继课程的重要基础．
（二）教学目的
掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法；初步具有分析问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的数学理论问题和以微分方程为模型的应用问题）的能力；为分析数学的后继课程和数值分析等相关课程备好必要的基础知识．
（三）教学内容
分6部分．（1）微分方程的基本概念和初等积分法；（2）微分方程的基本理论；（3）线性微分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、常数变易法及Laplace变换；（4）一阶线性方程组的一般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易法；（5）定性理论和稳定性理论的初步知识；（6）一阶偏微分方程简介，重点介绍首次积分法．
（四）教学时数及学分
72学时，学分：4分．
二、本文
一 绪论(2学时) [[教教学学要要点点]]
-48- 微分方程、阶、解与隐式解、通解与特解、积分曲线与方向场、定解问题，建立微分方程求解应用问题的基本方法．
[[教教学学内内容容]]
1、微分方程：某些物理过程的数学模型
2、微分方程的背景，建立微分方程求解应用问题的基本方法．
3、基本概念
微分方程、阶、解与隐式解、通解与特解、积分曲线与方向场、定解问题
二 一阶微分方程的初等解法(12学时) [[教教学学要要点点]]
变量分离方程、可化为变量分离方程的方程、线性方程和常数变易法、恰当方程和积分因子法、一阶隐微分方程及参数解法．
[[教教学学内内容容]]
1、变量分离方程与变量变换
变量分离方程、可化为变量分离方程的类型、应用举例．
2、线性方程和常数变易法
线性方程、常数变易法、Bernoulli方程．
3、恰当方程和积分因子
恰当方程、积分因子法、分项组合法．
4、一阶隐式微分方程与参数表示 一阶隐式微分方程及参数解法．
三 一阶微分方程的解的存在唯一性定理(10学时) [[教教学学要要点点]]
解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微性定理、奇解．
[[教教学学内内容容]]
1、解的存在唯一性定理与逐次逼近法
解的存在唯一性定理及其证明、Lipschitz条件、Picard逼近序列、逐次逼近法．
2、解的延拓定理与延拓条件．
3、解对初值的连续依赖性和可微性定理
4、奇解、包络、奇解、Clairaut方程．
5、习题课
-49-
四 高阶微分方程(14学时) [[教教学学要要点点]]
高阶线性微分方程的一般理论，常数变易法、特征根法、比较系数法、Laplace变换，几种可降阶的高阶微分方程的解法．
[[教教学学内内容容]]
1、线性微分方程的一般理论
高阶线性微分方程的一般理论、常数变易法．
3、常系数线性微分方程的解法、特征根法、比较系数法、Laplace变换．
4、高阶方程的降阶和幂级数解法
几种可降阶的高阶微分方程的解法、*幂级数解法．
5、习题课
五 线性微分方程组(10学时) [[教教学学要要点点]]
线性微分方程组的一般理论、常数变易法．
[[教教学学内内容容]]
1、存在唯一性定理
微分方程组的存在唯一性定理．
2、线性微分方程组的一般理论
线性微分方程组的一般理论、常数变易法．
3、常系数线性微分方程组
矩阵指数、矩阵指数法、Laplace变换．
六 非线性微分方程和稳定性(16学时) [[教教学学要要点点]]
相平面、稳定性、Liapunov第二方法、．
[[教教学学内内容容]]
1、引言
存在唯一性定理、稳定性
2、相平面
相平面、奇点分类、按线性近似决定微分方程组的稳定性．
3、Liapunov第二方法
-50-
