全等三角形证明
１．已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
证明：延长AB到，使AE＝，连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠CAD（）
∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD（）
∴∠E＝∠C（）
∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD（）
∵AE＝AB+BE∴BD＝BE（）
∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E
∴∠ABC＝2∠C
2． 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，
求证：AE=AD+BE
证明： 在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°（）
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF（）
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA （）
∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（）∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
3．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 证明：在BC上截取BF=AB，连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE（）
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º（）
∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE（）
又∵∠DCE=∠FCE ， CE平分∠BCCE， CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（）
∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD
４．已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD
交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）．∵∠A=∠D，∴ ∠＝∠（） ∴△AED是等腰三角形（）
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∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE (）
∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.（）
５． 如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 证明：延长AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形（）
∴∠DBC=∠DCB（）
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2（）
即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形（）
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC（） ， ∠1=∠2（），BD=DC（）
∴△ABD≌△ACD（）∴∠BAD=∠CAD
∵ AB=AC∴AE是BC边上的）
∴AE⊥BC即AD⊥BC
６． 如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°（）
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC（）
即∠EAC=∠BAF， E 在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（）∴EC=BF；
C （2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（）∴∠ABF+∠BDM=90°（） 在△BDM中，∵∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．
７．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：（1） ∵BE⊥AC
，CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠CAN（） ∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC（）∴AM=AN （2）∵△ABM≌△NAC（）∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠４=90°∴∠３+∠４=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN
８．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． 证明：作CG⊥AB于Ｇ，交AD于H, ∵ △ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°
∴∠ACH=45º,∠BCH=45º ∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE（）
又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH≌△CBE（）∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB
∴△CFD≌△BED（）∴∠ADC=∠BDEEB
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