21.1 二次函数-教案
安庆市开发区实验学校 王琪琼 秦奋
一、教学目标：
（1）经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
（2）知道实际问题中存在的二次函数关系中，对自变量的取值范围可能有不同的要求。
二、教材分析：
（1）内容分析：本节从实际问题入手，结合学生已有的知识经验观察、归纳出二次函数的概念，以及二次函数的一般表达式y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)，并使学生从中体会函数的思想。
（2）教学重点：二次函数的概念。
（3）教学难点：具体地分析、确定实际问题中函数关系式。
三、教学过程： 1．基础回顾，铺垫新知
（教师）在八年级我们已经学习了函数的相关知识，那么哪位同学能帮助大家回忆一下函数的基本概念？
（学生）在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。 （教师）那么目前为止，我们已经学习了哪种函数类型？ （学生）一次函数以及一次函数的特殊形式—正比例函数 今天我们将学习一种新的函数
【设计意图：本课时内容是九年级的第一节，先帮助学生回忆函数的基本概念以及已经学习过的一次函数，能让学生更好地接受新知识】
2．设置情景，引入新知 问题1：正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=6x2
问题2：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。要使围成的水面面积S最大，它的长应是多少米? 解：设长为x m，
则宽为（20-x）m 由题意，得：S=x（20-x）= -x2 + 20x
问题3：一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装配玩具190个，但如果每增加一人，那么每人每天可少装配10个。问增加多少人可使每天装配总数最多？最多时是多少个？
解：设增加x人，装配总数为y 由题意，得：y=（190-10x）（15+x）= -10x2 + 40x + 2850
【设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，同时能让学生感受到身边的数学。学生通过分析、交流，探求二次函数的概念，加深对概念的理解，为解决问题打下基础。】
3．观察概括，学习新知
（1）教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)、（3），提出以下问题让学生思考回答：
① 函数关系式(1)、(2)、（3）中的自变量各有几个? (各有1个) ② 函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?(都是自变量最高次项为二次) （2）让学生讨论、交流，发表意见，归结为
二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。
注意：①等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式 ②a,b,c为常数，且a≠0 ③等式的右边最高次数为2.二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
【设计意图：通过上述具体事例中列出的关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数的概念。并且让学生结合引例各不相同的特点总结特殊情况下二次函数的解析式，有助于学生更好地理解、掌握其特征，为接下来的二次函数相关性质的学习做好铺垫。】
4．课堂练习，巩固新知
例
1、说一说，下列函数中，哪些是二次函数？ 1 (1) y=3(x－1)² +1 (2) y=x+
x (3) s=3－2t² (4) y=(x+3)²－x² (5) y=
例
2、函数y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数)当a、b、c满足什么条件时 （1）它是二次函数 （2）它是一次函数 （3）它是正比例函数
例3：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？
1 －x (6) v=8πr² x²例如：圆的面积 y(cm2)与圆的半径 X（cm)的函数关系是y =πX2 其中自变量x能取哪些值呢？ (还是一切实数吗？负数能取吗?) 注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.回顾前三个问题中的自变量取值范围。
例
4、一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。
【设计意图：学习了二次函数的概念后，让学生在练习中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践应用中。例1加强了学生对二次函数概念的理解，并且通过对各种解析式的辨别，熟练、正确、全面地理解了二次函数的概念。例2的设置更是融合了新旧知识，将已学的函数类型进行分析比对，理解各种函数之间的联系与区别。例3的意图是希望学生注意实际问题中自变量的取值范围，为后面学习函数实际应用打下基础。例4是课本上的引例1的改编，在提升了难度之后，把此题放在本课的最后。此时，学生对二次函数的知识已有一定的基础和相应的能力，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出是二次函数。通过这样的实际例题，让学生用所学的知识解决生活中的问题，体验成功的快乐。】
5．课堂小结，再温新知 （1）请叙述二次函数的定义。
（2）许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。
【设计意图：学生归纳本节课学习的主要内容，让学生自觉对所学知识进行梳理，形成体系，养成良好的学习习惯。】
6．布置作业,加强新知
课堂作业:课后练习、习题21.1第
1、2题。
家庭作业：习题21.1第
3、
4、
5、6题。(补充题选做)
【设计意图：根据学生的个性特点及基础水平情况，设计不同的作业，兼顾不同层次的学生，使学生都能得到不同程度的提高，体现因材施教的原则。】
板书设计：
21.1二次函数
导入练习：（1）y=6x2 （2）S= -x2 + 20x （3）y= -10x2 + 40x + 2850 二次函数一般形式：
（1） y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，a≠0) 特殊形式：
（2） y=ax2
（a≠0，但是b＝c＝0） （3） y=ax2＋bx (a≠0，且b ≠0,而c＝0） （4） y=ax2＋c (a≠0，且c ≠0,而b＝0）
