概率论文~

发布时间：2020-03-01 19:01:42 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

概率论与数理统计发展史

1014101班 1101410112 化工学院张晨阳

一、历史背景

17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期\"使欧几里得几何相形见绌\"的若干重大成就之一。

二、概率论的起源：

概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。

概率论起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利(L.Pacioli,1445-1517)、塔塔利亚(N.Tartaglia,1499-1557)和卡尔丹(G.cardano,1501-1576)的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。1657年，荷兰数学家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布•伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。

伯努利之后，法国数学家棣莫弗(A.de Moivre,1667-1754)把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。之后法国数学家蒲丰(C.de Buffon,1707-1788)提出了著名的“普丰问题”，引进了几何概率。另外，拉普拉斯、高斯和泊松(S.D.Poion,1781-1840)等对概率论做出了进一步奠基性工作。特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。泊松则推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。

19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。

19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论

中基本概念存在的矛盾与含糊之处。这些问题却强烈要求对概率论的逻辑基础做出更加严格的考察。

三、概率论在实践中曲折发展：

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。

四、概率论理论基础的建立：

概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的\"大数定律\"。所谓\"大数定律\"，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。

为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。

五、概率论的应用：

20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应

用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。

六、概率论的公理化

俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯•米西斯(R.von Mises,1883-1953)对概率论的严格化做了最早的尝试。但它们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立。测度论的奠基人，法国数学家博雷尔(E.Borel,1781-1956)首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，并且他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索。特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。他在1926年推倒了弱大数定律成立的充分必要条件。后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般的结果，从而解决了概率论的中心课题之一——大数定律，成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。

1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作《概率论基础》，这是概率论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支密切地联系者。科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，他还是出色的教育家。由于概率论等其它许多领域的杰出贡献，科尔莫戈罗夫荣获80年的沃尔夫奖。

七、进一步的发展

在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程——马尔可夫过程的理论基础。

科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维(P.Levy,1886-1971)、辛钦、杜布(J.L.Dob)和伊藤清等。1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1939年，维尔(J.Ville)引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础。

像任何一门公理化的数学分支一样，公理化的概率论的应用范围被大大拓广。

概率的性质推导

（一）对任一事件A，有0P(A)1。

证：由于任何事件A包含的基本事件数不超过基本事件的总数，故

（一）成立。

（二）P(S)1

证：由于必然事件S包含一切基本事件，故

（二）成立。

（三）若A,B互不相容，则P(AB)P(A)P(B)

证：设S{e1,e2,,en},A{ei1,ei2,,eir},B{ek1,ek2,,ekt}

由于A,B互不相容，它们不包含相同的基本事件，故AB{ei1,,eir,ek1,,ekt} 由公式得， P(AB)rtrtP(A)P(B) nnn

（四）P(A)1P(A)