24.1.4 圆周角
——圆周角定理及其推论
一、新课导入 1.导入课题：
情景：如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？
由此导入课题.（板书课题） 2.学习目标：
(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.3.学习重、难点：
重点：圆周角定理及其推论.难点：圆周角定理的证明与运用.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.（4）探究提纲： 1）圆周角的概念
①顶点在 圆上 ，并且两边 都与圆相交 的角叫做圆周角.②判别下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由.
② 猜一猜：一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？ ②量一量：用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.a.如图，∠ACB=∠AOB.b.你可以画多少个AB所对的圆周角？这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？
可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB的一半.③想一想：在⊙O中任画一个圆周角∠BAC，圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？
有3种位置关系.③ 证一证：
a.当圆心O在∠BAC的一条边上时(如图1）:
b.当圆心O在∠BAC的内部时(如图2）：作直径AD，同a，得
.c.当圆心O在∠BAC的外部时(如图3）.作直径AD,同a,得
⑤归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 .2.自学：学生可根据自学指导自主学习，相互交流.3.助学： （1）师助生：
①明了学情：关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内交流、研讨.4.强化：
（1）圆周角定理的内容.（2）证明圆周角定理所体现的数学思想.（3）练习：如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第86页最后5行至第87页例4.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.（4）探究提纲：
①探究图中∠ACB，∠ADB和∠AEB的数量关系.
1212
a.如图1，∵∠ACB=∠AOB,∠ADB=∠AOB,∠AEB=∠AOB， ∴∠ACB = ∠ADB = ∠AEB.即同弧所对的圆周角 相等 .b.如图2，AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB = ∠AOE.∵∠ACB=∠AOB, ∠ADE=∠AOE, ∴∠ACB = ∠ADE.即等弧所对的圆周角 相等 .c.由此可得，同弧或等弧所对的圆周角 相等 .d.练习：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把四个内角分成8个角， 1212121212这些角中哪些是相等的角？
∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8 ②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 .为什么？
因为半圆（或直径）所对的圆心角是180°，所以它所对的圆周角是90°，即直角.90°的圆周角所对的圆心角是180°，所以它所对的弦是直径.④ 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？
第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.④如图, ⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC，BD的长.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴在RtACB中，BCAB2AC210262（.8cm）同理∠ADB=90°，又CD是∠ACB的平分线， ∴∠DCA=∠DCB=∠ACB=45°, ∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.在RtADB中，AD2+BD2=AB2,∴BD1AB252cm.212⑤ 如图，你能设法确定一个圆形片的圆心吗？你有多少种方法？ 能，方法很多，例如：利用三角尺的直角可以找出两条直径（90°的圆周角所对的弦是直径），
两直径交点就是圆心.2.自学：学生可在自学指导的指引下自主学习，相互交流.3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生是否会完成任务.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内交流、研讨.4.强化：
（1）常规辅助线：遇直径，想直角.（2）点一名学生口答探究提纲中的问题②，点两名学生板演问题④，并点评.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第87页“思考”到第88页“练习”之前的内容.（2）自学时间：7分钟.（3）自学方法：阅读课文，完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：
①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
和BCD所对的圆心角，②在图中标出BAD这两个圆心角有什么关系？
∠BAD+∠BCD＝ 180 度，同理可得：∠ABC+∠ADC＝ 180 度.③圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 互补 .④练习：
a.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD＝ 50° ，
∠BCD＝ 130° .b.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠ADC=180°， 又∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ADE=∠B=110°.
c.求证：圆内接平行四边形是矩形.∵圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等，
∴圆内接平行四边形四个角都是直角.∴圆内接平行四边形是矩形.d.已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F．若CD∥EF，求证：四边形EFDC是平行四边形.连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形， ∴∠C+∠ABE=180°.
又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形.∴∠D+∠ABF=180°.又∵∠ABE+∠ABF=180°.∴∠C+∠D=180°.∴CE∥DF.又∵CD∥EF，
∴四边形EFDC是平行四边形.2.自学：学生可结合自学指导自主学习.3.助学： （1）师助生：
①明了学情：明了学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：
（1）圆内接四边形的性质.（2）让学生完成自学参考提纲中的第④题，并点评.（3）练习：圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6，求四边形ABCD各内角的度数.解：∵∠A∶∠C＝2∶6,∠A+∠C＝180°, ∴∠A＝45°，∠C＝135°.又∠A∶∠B＝2∶3, ∴∠B＝67.5°，∠D＝180°-∠B＝112.5°.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？在哪些方面还感到比较困难？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：
（1）这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探究的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.（2）圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（80分）
1.(10分)下列四个图中，∠x是圆周角的是（C）
2.(10分)如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=（D）
A.15°
B.40°
C.5°
D.35°
3.(10分)如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80° .4.(10分)如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝ 125° .5.(10分)如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．
解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.又∵∠B=∠AOC=39°.∴∠DAB=39°.
6.(10分)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且12∠ACB=45°，求弦AB的长.解：连接OA、OB.∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.∴ABOA2OB22OA22OA2.7.(10分)如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.解：△ABC是等边三角形.证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°， ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形.8.(10分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE, ∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E, ∴AD=DE, ∴△ADE是等腰三角形.
二、综合应用（10分）
9.(10分)如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是 30≤x≤60 ．
三、拓展延伸（10分）
10.(10分)如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上的中点，上一动点（点F不与B、C重合），A是BF设∠FBC=α，∠ACB=β．
（1）当α=50°时，求β的度数; （2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.解：（1）连接OA，交BF于点M.上的中点，∴OA垂直平分BF.∵A是BF∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=∠AOB=×40°=20°, 即β=20°.（2）β=45°-α.证明：由（1）知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝∠AOB, ∴β＝（90°-α）＝45°-α.121212121212
