感悟数学之美(2010-02-23 15:21:44)转载标签： 斐波那契数列黄金分割文君螺线宇宙文化数学世界五光十色，数学¬——世界之美的原型，即宇宙间一切事物都可以归纳为数的关系。近代、现代的许多奇异的发现和科技进步，有时是人类先用数学算出了它，然后才有了科学发现。大到宇宙，小到基因组合，数学都可以通过计算来认识世界，并揭示蕴藉其中的美。伟大的数学家往往高瞻远瞩，宏伟的构思由美作引导，在前人研究的基础上猜测求证，找出整个学问的大方向。回顾数学的历史，能够将几个不同的重要观念自然融合得出的结果，都成为数学发展的里程碑。
1、感受文学中的数学美
数学家丘成桐喜欢将数学与文学进行比较，他强调的一点是，良好的文化修养，对培养做学问的气质很重要。解除名利的束缚，使欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，是数学家最重要的一种气质。他说：“我本人深受中国古典文学的影响。从《诗经》我看到比兴方法对找寻数学方向的重要性；吟诵《楚辞》和《史记》激励起我对数学的热情，向大自然追寻真与美的感受。”在文学作品中感悟阅读和写作的乐趣，感受语言和文字对人类智慧的升华，感受美好的文学作品对心灵的净化。
有真才有美。数学家用简洁严谨的语言解释自然界的纷繁复杂，例如，人类的面部表情或肢体运动都可以用数学来描述，从中发现蕴涵的规律。以简驭繁，从朴素的外在表现得到美的感受，犹如一幅齐白石的国画，寥寥几笔，栩栩如生的自然美景便跃然纸上。又好比李白洋洋洒洒的诗篇“仰天大笑出门去，吾辈岂是蓬蒿人”寥寥数字，淋漓尽致地挥洒出胸中的豪情。
我国古代诗词是华夏文明的重要组成部分，是文学的瑰宝。在文学这个百花园中，有些诗词同数学时有联姻，如把数字嵌入诗、词之中，有的一首诗就是一道数学题。当你在读词吟诗时，既提高了文学修养，又学会了解题，还能得到美的享受。例如宋代邵雍描写春天里一路景物的诗，共20个字，把10个数字全部镶嵌其中：
“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花”。
这首诗用数字反映远近、村落、亭台和鲜花，通俗自然，脍炙人口，读后使人如沐春风之中。又如明代林和靖写的一首雪梅诗：
“一片二片三四片，五片六片七八片。九片十片无数片，飞入梅中都不见”。
全诗用表示雪花片数的数量词写成，读后如临其境，飞下的雪片由少到多，飞入梅林，难分是雪花还是梅花。
清代纪晓岚的十“一”诗，据说是乾隆皇帝南巡时，一天在江上看见一条渔船荡桨而来，就叫纪晓岚以渔为题作诗一首，要求在诗中用上十个“一”字，纪晓岚很快吟出一首：
“一篙一橹一渔舟，一个渔翁一钓钩，一俯一仰一场笑，一人独占一江秋。”此诗写了景物，也写了情态，自然贴切，富有韵味，读来令人心旷神怡。
东汉时期司马相如与卓文君的爱情故事千古流传，家喻户晓。其中正是数学与文学融合的力量，使他们的爱情峰回路转，绚丽夺目，流芳至今。
风流倜傥的司马相如告别新婚妻子卓文君，到长安求取功名，说是用不多久就来接妻子一同到长安。可是，几个月过去了，几年过去了，司马相如杳无音信。卓文君天天想、月月盼，望穿秋水，为伊消得人憔悴，终不见夫君把家归。一日，倚栏远眺，忽闻马蹄声由远而近，想必夫君归来，文君喜出望外，急奔到门口。马上跳下一人，不是夫君，而是一个信使。信使从囊中取出一封信交给文君，文君见是夫君来信，急忙拆开，只有一行数字映入眼帘：“一二三四五六七八九十百千万。”唯独无“亿”，文君知道夫君已对自己已无情无义（亿的谐音），原来这是一封休书，文君顿时百感交集，泪如雨下，万万没想到，日思夜想的郎君，竟要和自己情断义绝！
文君努力使自己平静下来，让信使稍等片刻，转身来到书房，拿起纸笔，一挥而就，写下一首千古绝唱：
“一别之后，二地相悬，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千系念，万般无奈把君怨。万语千言说不完，百无聊赖十倚栏，重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半焚香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒。五月石榴如火偏遇阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱。忽匆匆，三月桃花随水转。飘零零，二月风筝线儿断，噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。”
又是一二三四五六七八九十百千万，翻来覆去，贯穿两阙，如泣如诉，凄婉动人，即便是铁石心肠之人，也会为之动容！
司马相如看罢妻子的复信，一声叹息，两行泪流，十分羞愧，百感交集，千般滋味，万里相迎；从此后，一生不弃，两心相携，十分恩爱，百年偕老，千古流芳，万世景仰。
2、感受音乐中的数学美
J．J．西尔威斯特曾说：“难道不可以把音乐描述为感觉的数学，把数学描述为理智的音乐吗？”音乐是什么？音乐，是以数为原则，音乐即和谐。音乐的本质是比例与数的关系。数学抽象、枯燥、严谨，而音乐则丰富、有趣、充满着情感及幻想。但二者却有着千丝万缕的联系，音乐虽然千姿百态，但都是由7个音符（音名）组成，数字1～7在音乐中是神奇的数字；音乐中的节奏、强弱等都存在着数学中量的差异。旋律中所有甜美的东西，都是数以复杂的关系而产生出来的，而节奏中所有使人愉悦的东西，即在旋律中，也在节奏的运动中，只源于数。
乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域。在乐稿上，我们看到速度、节拍（4／4拍、3／4拍，等等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等等。书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似──不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应。作曲家创作的音乐是乐谱严密结构中美丽而又毫不费力地融为一体的和谐曲。如果将一件完整作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计
算机科学相联系。
毕达哥拉斯学派，最先用比率将音乐与数学联系起来。传说古希腊哲学家毕达哥拉斯有一天外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小，发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。而后，他又在琴弦上做试验，进一步发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。毕达哥拉斯第一次找出了音乐和数学的联系，发现了和谐音标。13世纪的格鲁赛斯特，提出了更为完美的5种比例关系，他认为，所有协调的东西，其协调与和谐只来自4个数之间，简单的比例关系是：
1、
2、
3、4之间的比例，即1/2，1/4，2/3，3/4这五种比例。这五种和谐音的比例，在音乐的曲调、运动、节奏中产生出甜美的和谐，音乐稍纵即逝，而数则犹存。
小提琴大师梅纽因所仰慕的巴赫的赋格曲和平均律音阶，正是西方严肃音乐中所有基本逻辑和数学般严密的音响推理的集中体现。巴赫的48首十二平均律钢琴曲，实际上是数学计算得出的声音的和谐曲。而许多著名音乐作品，高潮的出现又大多与黄金分割点接近。
3、感受大自然中的数学美
先哲庄子说：“判天地之美，析万物之理。”这两句话是人类学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎，天———大宇宙；地，自然界及其中一切动植物———中宇宙；人———最精密、最完善的小宇宙。数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本，所有这些都是美的标志。人类的生存是按照美的原则来构建世界的。发现美、认识美和运用美，是人类生存的要求。反过来，美又是人类进步的动力。追求美的实质就是追求自然界的数学美。人类一步一步地揭示自然界的数学规律，就越了解我们所处的宇宙的美。希腊箴言说：美是真理的光辉。因而追求美就是追求真。英国诗人济慈写道：
“美就是真，真就是美-------这就是你所知道的，和你应该知道的”。
大自然中有许多美丽的曲线，荷叶在幼嫩时总是卷曲着，它的展开就是美丽的螺旋曲线，接近于阿基米德螺线。在蜘蛛网中，可以看到笛卡尔等角螺线或对角螺线的近似曲线，在蜗牛、鹦鹉螺和某些花朵（如月季花）中，可以看到更为近似的这种曲线。天地宇宙间，太阳和满月的轮廓线、作旋转运动的物体留下的轨迹，投入水中的石子荡起的一圈圈波纹，都是圆的形象，给人以柔美感。透过云层的道道霞光、挺拔笔直的树干、坦荡无垠的平原尽头的地平线，都是典型的直线形象，则给人以刚直的美感。
在大自然中许多美妙的东西都是按照黄金分割比所构成，（黄金分割比即把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618）。
植物学家发现，植物叶片上下两层叶子之间相差137.5°，这个度数的奥妙在于，圆周角为360°，而360° －137.5°= 222.5°，137.5:222.5 = 222.5:360 = 0.618。研究发现，这样便于光合作用。植物花瓣中也体现黄金比，花瓣数目大多为3，5，8，13，21等，比如：百合花、蝴蝶花、延龄草为3瓣；毛莨属植物、金凤花、飞燕草、野玫瑰为5瓣；血根草、翠雀花为8
瓣；而金盏草、万寿菊则为13瓣，紫菀为21瓣，它们符合斐波那契数列规律（斐波那契数列即除前两个数之外，每个数都是它前面两个数之和）。另外，向日葵果实排列（由内向外）符合斐波那契数列，兔子繁殖也遵从斐波那契数列规律。
人体中也充满黄金分割数。比如：以肚脐为界的下半身与身高之比，眉毛到脖子的距离与头顶到脖子的距离之比，下半身中以膝盖为界，上臂以肘关节为界的比值都接近黄金分割数。
黄金分割数也出现在天体中，比如：月球密度3.4g/cm3，地球密度5.5g/cm3，而3.4:5.5 = 0.618。
五角星看起来那么赏心悦目，是因为其中充满黄金分割，它的边互相分割为黄金比，不论横看、竖看，它都是匀称的。人们在制作五角星时的口诀，如：九五顶五九，五八两边分；一六中间坐，五八两边分等，都反映了五角星中的黄金分割美。
蜜蜂建造的峰房排列整齐，大小一致，每个峰房的侧面是一个正六棱柱的侧面，底部是由三个全等的菱形拼成，这样的结构是最优结构，因为它用料最省、强度最高。蜜蜂是“天才建筑师”。和谐是杂多的统一，是对立的协调，是经过数学变化出现的统一的均衡美。
世界著名建筑，如金字塔，其高与底座的边长之比，艾菲尔铁塔，其最底两层的高与塔高之比均是0.618。一座雕像，一所建筑物的美，正是取决于各部分适当的联系，这“适当”是具有尺寸的联系，而尺寸取决于数。鸟和蜜蜂都按照适当的数的关系筑巢，而人类尤应有意识的去这样做。
4、结语
数学具有其美好的地方，也有其令人畏惧的地方。无论是人文科学，社会科学，自然科学，工程技术科学，都是如此。一种学科的美，一般体现在两个方面。一是探索之美，它指导人类认识世界；二是应用之美，它指导人类改造世界。我们在生活中感受数学之美要注意以下三个方面：首先，创设生活情境，感受美，即从自己比较熟悉的情景入手真正认识到数学知识就在身边，生活中充满着数学，感受着数学的趣味和作用，体验到数学的内在美。其次，创设美好的心境，领悟美，即保持积极向上的乐观情绪和努力探索获得成功的强烈愿望，主动地、自由地，开放性地去探索、去发现、去创造美。再次，创设成功情境，享受美，即从不同角度、不同层面去思考问题，感受自己智慧的力量，品尝劳动的过程，享受美的快乐。
